例析奇偶分析法在數列前n項和中的求解策略

摘" 要：數列求和問題中，一般可以根據數列的結構特點進行必要的奇偶項分析.文章借助幾個典型問題，剖析這類數列前n項和問題的幾種求解策略.

關鍵詞：奇偶分析；數列前n項和；求解策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A" ""文章編號：1008-0333（2024）22-0017-06

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：吳茂龍（1972.10—），男，安徽省宿州人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

在數列求和問題中，我們經常遇到一些數列中的項數不確定，或者數列的結構復雜，從而整體上數列不易求和，這類問題是數列問題考查的難點之一，也更容易出錯.面對這類數列求和問題時，我們可以根據數列的結構特點，選取有效的求和處理策略，進行必要的奇偶項分析.本文借助幾個典型問題，剖析這類數列前n項和問題的求解策略，希望能給廣大師生提供解題思路和幫助.

1" 等和等積結構，使用典型公式

例1" 定義：若一個數列每相鄰兩項的和都等于同一個常數，則稱這個數列為等和數列，這個常數叫作公和.同樣道理，若一個數列每相鄰兩項的積都等于同一個常數，則稱這個數列為等積數列，這個常數叫作公積.已知數列{an}是首項為1，公和為4的等和數列，前n項的和為Sn，數列{bn}是首項為1，公積為4的等積數列，前n項和為Tn，則S2 012T2 012=.

解析" 由題意可得，an+an+1=4，a1=1，a2=3，a3=1，a4=3，…，則an=1，n為奇數，3，n為偶數.

所以S2 012=2 0122·（1+3）=4 024.

又bnbn+1=4，b1=1，有b2=4，b3=1，b4=4，…

則bn=1，n為奇數，4，n為偶數.

所以S2 012=2 0122·（1+4）=5 030.

故S2 012T2 012=4 0245 030=45.

評注" 等和數列與等積數列都是通項為an=a，n為奇數，b，n為偶數的數列，求其前n項和Sn時，要分類討論：當n為偶數時，Sn=n2（a+b）；當n為奇數時，n-1為偶數，可利用Sn=Sn-1+an（ngt;1，n∈N）求解.

變式" 定義等積數列{an}：若an·an-1=p（p為非零常數，n≥2，n∈N*），則稱數列{an}為等積數列，p稱為公積.若數列{an}為等積數列，公積為1，首項為a，則a2 007=；S2 007=.

答案" a；1 004a+1 003a.

2" 數列（-1）n位置不同，進行奇偶分析

例2" 設數列{an}的通項公式為an=1-3（-1）n+12n+2（n∈N*），求該數列的前n項和Sn.

解法1" 由an=1-3（-1）n+12n+2=12n+2-（-1）n+1×32n+2，

當n為奇數時，Sn=（123+124+…+

12n+2）-3（123-124+…+12n+2）=（1/23）（1-1/2n）1-1/2-

3×（1/23）（1+1/2n）1-（-1/2）=-12n+1，

當n為偶數時，

Sn=（123+124+…+12n+2）-3（123-124+…-12n+2）

=（1/23）（1-1/2n）1-1/2-3×（1/23）（1-1/2n）1-（-1/2）=0.

所以Sn=-12n+1，n為奇數，0，n為偶數.

解法2" 由于

an=1-3（-1）n+12n+2=-12n+1，n為奇數，12n，n為偶數，

當n為奇數時，an=-12n+1，奇數項構成以-14為首項，14為公比的等比數列，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=（-1/4）（1-1/4n+12）1-1/4+（1-1/4n-12）/41-1/4

=-13（1-14n+12）+13（1-14n-12）

=13×2n+1-13×2n-1

=-12n+1.

當n為偶數時，an=12n，偶數項構成以14為首項，14為公比的等比數列，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=（-1/4）（1-1/4n2）1-1/4+（1-1/4n2）/41-1/4

=0.

所以Sn=-12n+1，n為奇數，0，n為偶數..

評注" 由于因數（-1）n引起數列的項的表達式在奇數和偶數位置上的規律不同，因此需要對數列的通項進行奇偶分析.在此之后求和時，因為Sn的項數為奇數或偶數時，最后的尾數是奇數項還是偶數項是不同的，所以需要繼續進行奇偶分析.如當項數n為偶數時，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）；當項數n為奇數時，Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）.所以，當n為奇數時，an=-12n+1絕對不能認為是奇數項構成的數列自身的一個通項公式，否則你就會認為奇數項構成的數列的公比是12，因為奇數項a1，a3，…，an-1是間隔等比［1］.

變式" 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，首項a1=2，公差d=2，設bn=（-1）n·lnSn（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn.

答案" Tn=ln（n+1），n為偶數，-ln（n+1），n為奇數.

3" 優先確定偶數項，合理分組求和

例3" 在數列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=3an，求其前n項和Sn.

解法1" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*）是首項為a1=1，公比為3的等比數列；數列{a2n}（n∈N*）是首項為a2=2，公比為3的等比數列.因此a2n-1=3n-1，a2n=2·3n-1.

則

S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）

=（1+3+32+…+3n-1）+2（1+3+32+…+3n-1）

=3（1+3+32+…+3n-1）

=32（3n-1）.

所以S2n-1=S2n-a2n

=32（3n-1）-2×3n-1

=32（5×3n-2-1）.

令2n=N1，得n=N12.

令2n-1=N2，得n-2=N2-32.

綜上，Sn=32（5×3n-32-1），n為奇數，32（3n2-1），n為偶數.

解法2" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*），所以數列的奇數項a1，a3，…，a2n-1構成首項為a1=1，公比為3的等比數列；數列的偶數項a2，a4，…，a2n構成首項為a2=2，公比為3的等比數列.

當項數n為偶數時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=1-3n21-3+2（1-3n2）1-3

=12×（3n2-1）+22×（3n2-1）

=32（3n2-1）.

當項數n為奇數時，

Sn=a1+a2+…+an=Sn-1+an

=32×（3n-12-1）+1×3n+12-1

=32×3n-12+3n-12-32

=32（5×3n-32-1）.

綜上，Sn=32（5·3n-32-1），n為奇數，32（3n2-1），n為偶數.

解法3" 由an≠0，an+2=3an（n∈N*），所以數列的奇數項a1，a3，…，a2n-1構成首項為a1=1，公比為3的等比數列；數列的偶數項a2，a4，…，a2n構成首項為a2=2，公比為3的等比數列.

當項數n為偶數時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=1-3n21-3+2（1-3n2）1-3

=12×（3n2-1）+22×（3n2-1）

=32（3n2-1），

當項數n為奇數時，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=1-3n+121-3+2（1-3n-12）1-3

=12×（3n+12-1）+（3n-12-1）

=32×3n-12+3n-12-32

=32（5×3n-32-1）.

綜上，Sn=32（5·3n-32-1），n為奇數，32（3n2-1），n為偶數.

評注" an+2=3an，說明數列{an}的項間隔構成等比數列，即所有的奇數項和偶數項分別構成等比數列，所以分組求和可得到S2k-1，S2k.但是分組之后要綜述Sn的表達式，就會遇到n與k的轉化問題.解法1令2k-1=n，2k=n即可轉化，可惜理解起來有難度；解法2計算n為偶數時直接判斷項數n，沒有通過2k-1，2k間接轉化，那么，在最后的綜述時，就不需要k與n的轉化.但是解法1、解法2在計算項數為奇數時的前n項和都是借助項數為偶數時的結果，不過有一個難點是最后的那一項an容易出錯，除非題目給出通項公式；解法3理解起來較為容易，只要正確判定項數即可，且確定奇數項和偶數項的項數的最佳策略就是將偶數項的項數最先確定.

變式" 已知等差數列{an}的通項公式為an=2·3n-1+（-1）n·（ln2-ln3）+（-1）nnln3，求其前n項和Sn.

答案" Sn=3n+n2ln3-1，n為偶數，3n-n-12ln3-ln2-1，n為奇數.

4" 奇偶恰當分組，靈活選用公式

例4" 在數列{an}中，a1=0，a2=3，an-an-2=2（n≥3），求數列{an}的前n項和Sn.

解析" 由題意可知，數列{an}中的奇數項是由0，2，4，…構成的以2為公差的等差數列；數列{an}中的偶數項是由3，5，7，…構成的以2為公差的等差數列.

解法1" 當n為偶數時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=n2×0+n/2×（n/2-1）2×2+n2×3+（n/2）×（n/2-1）2×2

=12n2+12n.

當n為奇數時，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=n+12×0+［（n+1）/2］［（n+1）/2-1］2×2+n-12×3+［（n-1）/2］［（n-1）/2-1］2×2

=12n2+12n-1.

解法2" 當n為偶數時，

Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）

=a1+an-12·n2+a2+an2·n2

=12n2+12n.

當n為奇數時，

Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）

=a1+an2·n+12+a2+an-12·n-12

=12n2+12n-1.

綜上，Sn=12n2+12，n為偶數，12n2+12n-1，n為奇數.

評注" 當項數n為偶數時，奇數項有n2項，偶數項有n2項；當項數n為奇數時，奇數項有n+12項，偶數項有n-12項.奇數項和偶數項的項數確定后，需要選擇數列的前n項和公式，而等差數列和等比數列的前n項和公式都有兩個，如本例中兩個公式都可以選用，但難易程度很明顯.利用Sn=a1+an2·n時就需要專門計算an，如當項數n為偶數時，需要計算a1+an-12·n2，其中an-1易錯；而采用Sn=

a1n+n（n-1）2d就可以避免求尾項.

變式" 已知數列{an}滿足an=2n，若從數列{an}中剔除第1項，第4項，第7項，…，第3n-2項，…，剩下的項保持順序不變組成一個新的數列{bn}，求數列{bn}的前n項和Sn.

答案" Sn=127·8n2-127，n為偶數.57·8n+12-127，n為奇數. 5" 依據奇偶分類，分別求和解決

例5" 設an=n·（12）n-1，n為奇數，1n（n+2），n為偶數，求數列{an}的前n項和Sn.

解析" 當項數n為偶數時，

Sn=［1×（12）n+3×（12）2+…+（n-1）×（12）n-2］+12［（12-14）+（14-16）+（1n-1n+2）］.

設Tn=1×（12）0+3×（12）2+…+（n-1）×（12）n-2，①

則（12）2Tn=1×（12）2+3×（12）4+…+（n-3）×（12）n-2+（n-1）×（12）n.②

①-②，得

34Tn=1×（12）0+2×［（12）2+（12）4+…+（12）n-2］-（n-1）×（12）n

=1+2×1/4-（1/2）n1-1/4-（n-1）·（12）n.

則Tn=209-12n+209·（12）n.

所以Sn=209-12n+209·（12）n+n4（n+2）.

當項數n為奇數時，

Sn=Sn+1-an+1

=［209-12n+329·（12）n+1+n+14（n+3）］-1（n+1）（n+3）

=209-12n+329·（12）n+1+n-14（n+1）.

綜上，

Sn=209-12n+209·（12）n+n4（n+2），n為偶數，209-12n+329·（12）n+1+n-14（n+1），n為奇數.

評注" 對于一個奇數項和偶數項分別構成特殊數列的數列求和問題，由于所求項數是奇數與偶數在分組求和時，奇數項的項數有所變化，因此需要對數列的項數進行討論.當n為偶數時，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an），奇數項和偶數項的項數都是n2.當n為奇數時，Sn=（a1+a3+…+

an）+（a2+a4+…+an-1），偶數項的項數是n-12，奇數項的項數是n+12；簡便起見，當數列的通項已知，項數n為奇數時，只需要利用關系式Sn=Sn+1-an+1或Sn=Sn-1-an，其中Sn+1，Sn-1可以借助項數n為偶數時Sn的公式［2］.

變式" 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N*）.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}滿足bn=an+（-1）nlog3an，求數列{bn}的前n項和Tn.

答案" an=3n（n∈N*），

Tn=3n+12-n2-2，n奇數，3n+12+n2-32，n為偶數.

6" an+an+1位置相鄰，可以合并求和

例6" 已知數列{an}滿足an+an+1=4n-3（n∈N*）.

（1）若數列{an}是等差數列，求a1的值；

（2）當a1=2時，求數列{an}的前n項和Sn.

解析" （1）若數列{an}是等差數列，則

an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd.

由an+an+1=4n-3，得

d=2，a1=-12.

（2）由an+an+1=4n-3，得

an+1+an+2=4n+1.

兩式相減，得an+2-an=4.

所以數列{a2n-1}是首項為a1，公差為4的等差數列.

由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1.

所以an=2n，n為奇數，2n-5，n為偶數.

當n為奇數時，

an=2n，an+1=2n-3.

則Sn=a1+a2+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an

=1+9+…+（4n-11）+2n

=2n2-3n+52.

當n為偶數時，

Sn=a1+a2+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）

=1+9+…+（4n-7）

=2n2-3n2.

所以Sn=2n2-3n+52，n為奇數，2n2-3n2，n為偶數.

評注" 本題采用分組求和法，將相鄰的兩項分在一組；當n為偶數時，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）；當n為奇數時，Sn=

Sn-1-an+1.

變式" 已知數列{an}中，a1=1，an+1=13an+n，n為奇數，an-3n，n為偶數，

（1）證明數列{a2n-32}是等比數列，并求a2n.

（2）求數列{an}的前2n項和S2n.

答案" a2n=-12（13）n+32，

S2n=（13）n-3n2+6n-1.

7" 結束語

通過以上這五個數列求和問題中的奇偶項分析，不難發現，數列前n項求和問題的類型都是大同小異，基本原理和數學方法也是一致的，對于數學推理和計算的能力、技巧要求也并不高，以上這些解題策略也都是數列求和問題中的常用求解技巧.只要我們抓住數列結構特征，注意項數變化和位置規律，利用奇偶分析法，選取典型問題，舉一反三、多多練習，領悟解題本質和方法，就能對這類典型問題的解題策略做到熟練于心，真正實現輕松解決.

參考文獻：

［1］

王懷學，宋衛東.高中數學經典題型全解析［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2019.

［2］ 杜志建.一遍過 數學 選擇性必修第二冊（RJA）［M］.南京：南京師范大學出版社，2021.

［責任編輯：李" 璟］