利用仿射變換解決幾何圖象問題

摘" 要：研究幾何問題的關鍵在于對圖象的處理，我們通常需要進行例如平移、放縮、旋轉、翻轉等一系列操作，而這些操作就是對圖象的仿射變換，它主要的目的在于將一些復雜問題特殊化、簡單化，能夠讓讀者對題意有更深刻、更全面的理解.

關鍵詞：仿射變換；仿射對應；幾何圖形

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0060-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：王龍友（1977.11—），男，安徽省東至人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

幾何中，我們在研究圖形的點線結合關系、平行性、單比、面積比等問題時，若站在仿射變換的角度來思考，利用仿射變換的“關系性、映射性、反演性”對問題加以處理，即通過對特殊圖形的證明經仿射變換得出一般圖形的結論，能夠大大地降低解題的難度.所以，研究仿射變換在幾何中的應用，可以幫助讀者開闊視野、擴大幾何領域的知識面，極大地激發讀者學習幾何的興趣.

1" 基礎知識

1.1" 仿射變換定義

（1）f：p（x，y）→p′（x′，y′）是由x′=a11x+a12y+a13，y′=a21x+a22y+a23確定的平面xOy上的一個線性變換；

（2）Δ=a11a21 a12a22≠0，

則稱f是平面上的一個仿射變換［1］.

1.2" 仿射變換

仿射變換也叫仿射映射，它是指在幾何中，對一個向量空間進行線性變換并接上一個平移，從而變換成另一個向量空間的變換.

1.3" 仿射變換的性質

f保持同素性：點A→點A′，直線a→直線a′；

f保持結合性：若A∈a，f：A→A′，a→a′，則A′∈a′.

推論" （1）f保持共線三點單比不變：f：p1→p1′，

p2→p2′，p3→p3′，

則（p1， p2，p3）=（p1′，p2′，p3′） ；

（2）f保持平行性：若a∥b，f：a→a′， b→b′，則a′∥b′；

（3）f保持兩個圖形的面積比不變：一組三個不共線的點P1，P2，P3和另一組三個不共線的點Q1，Q2，Q3且f：P1→P1′，P2→P2′，P3→P3′， f：Q1→Q1′

，Q2→Q2′，Q3→Q3′，則有 S△P1P2P3S△Q1Q2Q3=S△P1′P2′P3′S△Q1′Q2′Q3′.

（4）伸縮變換：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在伸縮變換φ：x′=λx，λgt;0，y′=μy，μgt;0下，可以變成另一個橢圓或者圓，且變換后的面積S′與變換前的面積S滿足：S′=λμS.

1.4" 仿射變換在幾何問題中常見的幾個重要結論

（1）一般三角形可以經仿射變換成正三角形或等腰三角形；

（2）一般四邊形可以經仿射變換成平行四邊形或正方形；

（3）一般梯形可以經仿射變換成等腰梯形；

（4）橢圓可以經仿射變換成圓.

2" 應用舉例

例1" 證明三角形的三條中線交于一點.

圖1" 任意三角形仿射變換成等腰三角形

證明" 如圖1，將△ABC仿射變換成正△A′B′C′（或等腰 △A′B′C′），中線AD，BE，CF分別相應變換成A′D′，B′E′，C′F′.

由正三角形的對稱性知B′E′，C′F′的交點O′必在A′D′上.

由點線結合性可知AD，BE，CF相交于一點O.

例2" 證明梅涅勞斯定理.

梅涅勞斯定理" 任何一條直線截三角形的各邊或延長線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積［2］.

圖2" 三條線段不共線仿射變換成三條線段共線

分析" 本題要求證明：如圖2，當L，M，N三點共線時，BLLC·CMMA·ANNB=1成立.

證明

由于結論中的三條線段不在同一條直線上，證明起來比較困難，這時我們利用仿射變換分別將A，M，N平行投影到直線BC上，分別對應：A→K，M→L′，N→L′，則將原來不共線的三點對應成共線的點，則有BLLC·CMMA·ANNB=BL′L′C·CL′KL′·KL′L′B=1.

逆命題" 當有向線段BC，CA，AB上三點L′，M，N滿足BL′L′C·CMMA·ANNB=1時，L′，M，N三點共線.

證明" 設直線MN交BC于點L′時，

在△MCL′中由正弦定理知

CL′sin∠M=CMsin∠ML′C.

所以sin∠ML′Csin∠M=CMCL′.

在△AMN中由正弦定理知 MAsin∠MNB=ANsin∠M.所以sin∠Msin∠MNB=ANMA.

在△BL′N中由正弦定理知BNsin∠BL′N=BL′sin∠BNL′.所以sin∠BNL′sin∠BL′N=BL′BN.

則BL′NB·CML′C·ANMA=sin∠BNL′sin∠BL′N·sin∠BL′Nsin∠M·sin∠Msin∠MNB

=sin∠BNL′sin∠MNB=1.

所以點L′與點D重合，也即L′，M，N三點共線.

例3" 橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的內接△ABC，過點A，B，C分別作橢圓切線，分別相交于E，F，G三點，構成橢圓的外切△EFG，若BC∥EG，AC∥EF，求證：AB∥FG.

圖3" 三角形內切橢圓仿射變換成三角形內切圓

證明" 如圖3，作仿射轉換，

x′=xa，y′=yb，1a00 1bxy=x′y′.

所以橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）經仿射變換后得到圓x2+y2=1，相對應的點變換成：A→A′，B→B′，C→C′，E→E′，G→G′，F→F′.

因為B′C′∥E′G′，A′C′∥E′F′，

所以∠B′A′C′=∠E′B′A′，∠A′E′B′=∠C′B′F′.

所以∠G′E′F′=∠A′C′B′.

所以F′G′∥A′B′.

由仿射變換保持平行性可知FG∥AB.

例4" 在四邊形ABCD中，點E在AB上，點F在DC上，連接AF，DE交于點L，連接AC，BD交于點N，連接BF，CE交于點M，證明：L，M，N三點共線.

圖4" 任意四邊形經仿射變換為平行四邊形

證明" 如圖4，將四邊形ABCD經仿射變換成平行四邊形，A→A′，B→B′，C→C′，D→D′，E→E′，F→F′，L→L′，M→M′，N→N′，則在A′B′C′D′中很顯然L′，M′，N′三點共線.

由仿射變換的性質知L，M，N三點共線.

例5" 求橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的面積.

解析" 建立仿射變換：橢圓仿射成圓，由仿射變換性質“兩個圖形的面積比保持不變”得出結論：

圖5" 橢圓經仿射變換為圓

如圖5，進行仿射變換：

A（-a，0）→A′（-1，0），B（0，b）→B′（0，1），C（a，0）→C′（1，0）.

所以S△A′B′C′=12×2×1=1.

所以S△ABCS△A′B′C′=S橢圓S圓.

所以ab1=S橢圓π×12.

所以S橢圓=abπ.

3" 結束語

從以上的一些典型例題中不難看出，通過對特殊幾何圖形的證明得到一般幾何圖形的證明，可以大大地降低解題的難度，而這一過程的轉換只需要通過“仿射變換”就可以實現.事實上，仿射變換的好處還遠不止于此，甚至還可以自己動手編制和構建新的幾何題型.

當然，仿射變換在幾何中不是萬能的，不能面面俱到，它一般運用于幾何中屬于仿射幾何的那部分內容，對于一旦牽涉到長度、角度等幾何內容時，我們的仿射變換就失去了效果，因此讀者們在研究時要注意.

參考文獻：

［1］ 朱得祥.初等幾何［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 陳啟旭，林達堅.高等幾何［M］.北京：高等教育出版社， 1983.

［責任編輯：李" 璟］