活用全概率公式 破解概率計算題

摘" 要：分析了全概率公式的內涵及復雜隨機事件完備事件組的尋找過程，總結了高考題中常見完備事件組的幾種典型場景及分析方法，有助于考生正確使用全概率公式，破解復雜隨機事件的概率計算問題.

關鍵詞：全概率公式；完備事件組；概率統計；遞推關系

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0073-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：周小興（1972—），男，江西省樂安人，碩士，中學高級教師，從事高中數學教學研究；

朱麗華（1975—），女，江西省樂安人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：晉江市基礎教育教學改革專項課題年度課題“‘四新’背景下基于深度學習理論的高中學段校本作業設計實踐研究”（項目編號：JJ2022-ZX08）.

復雜隨機事件的概率計算是高考概率部分?？純热?，對考生是一個難點，原因在于復雜事件過程復雜，此時要找出引起復雜事件發生的全部原因，從而找到樣本空間的一個劃分，即完備事件組.首先通過這個完備事件組把復雜事件分成若干個互不相容的簡單事件之和，于是把求一個復雜事件的概率問題轉化為求若干個互斥事件概率和的問題，然后利用乘法公式求出各個積事件的概率，最后運用全概率公式求出該復雜事件的概率.可見，找到樣本空間的一個劃分即完備事件組是使用全概率公式的關鍵.

1" 全概率公式

完備事件組" 一般n個事件A1，A2，…，An滿足下列三個條件：

①A1，A2，…，An是兩兩互斥，

②A1∪A2∪…∪An=Ω，

③P（Ai）gt;0，i=1，2，…，n，

則n個事件A1，A2，…，An構成樣本空間Ω的一個完備事件組，也構成樣本空間Ω的一個劃分.

定理

設n個事件A1，A2，…，An是樣本空間Ω的一個劃分，則對任意事件BΩ，有P（B）=

∑ni=1P（Ai）P（B|Ai），稱為全概率公式.2" 全概率公式的內涵特征

2.1" 全概率公式簡要說明

遇到求復雜隨機事件概率時，可以按照某種標準，即樣本空間Ω的一個完備事件組A1，A2，…，An，把一個復雜隨機事件BΩ拆分成幾個互斥簡單事件AiB（i=1，2…n）的和，記作B=∑ni=1AiB，也可以記作B=A1B∪A2B∪…∪AnB.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（∑ni=1AiB）=∑ni=1P（AiB）.又由概率的乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B|Ai）.所以P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）［1］.

2.2" 全概率公式使用說明

把引起某一目標事件B發生的各種可能的“原因”所對應的事件記作Ai（i=1，2，…，n），由Ai引起的事件B發生的概率記作P（AiB），于是事件B發生的概率就是∑ni=1P（AiB）.全概率公式中的“全”就是全部的意思，故對事件B發生有貢獻的原因必須全部找出來.

尋找與目標事件B相關的完備事件組是應用全概率公式的關鍵.當事件的發生與相繼兩個步驟有關，第一步驟產生的各種結果直接影響第二步驟，因此可從第一步驟入手找出完備事件組.當事件的發生是由一些兩兩互不相容的原因引起的，且只能在這些原因下發生，那么這些原因就構成一個完備事件組.一定要把產生結果的原因全找出來，并且確保這些原因為兩兩互不相容事件.

實際應用時可能出現這種情況：目標事件B的發生與一系列互斥事件有關，但這一系列互斥事件概率相加之和肯定小于1，故其自身并不能構成樣本空間，但是通過添加某些事件Aj（j=1，2，…，n）后可以構成樣本空間Ω的一個劃分，但要確保所添加的這些Aj（j=1，2，…，n）事件對目標事件B的發生沒有影響，即其條件概率P（B|Aj）為零，此時全概率公式仍然成立.

完備事件組和目標事件并非一定來自同一個樣本空間.如兩層試驗中第一層試驗中樣本空間為Ω1，第二層試驗中樣本空間為Ω2，一般來說Ω1≠Ω2，待求的目標事件B是Ω2的子事件，而不是Ω1的子事件，此時全概率公式照樣適用［2］.

3" 活用全概率公式，破解概率計算題

3.1" 從導致目標事件發生的兩兩互斥的諸原因尋找完備事件組

例1" （2023年天津卷第13題節選） 甲乙丙三個盒子中裝有一定數量的黑球和白球，其總數之比為5∶4∶6．這三個盒子中黑球占總數的比例分別為40%，25%，50%．現將三個盒子混合后任取一個球是白球的概率為．

解析" 設A1，A2，A3分別表示球來自甲乙丙盒，B表示三個盒子混合后任取一個球是黑球，且P（A1）=13，P（A2）=415，P（A3）=25，P（BA1）=40%，P（BA2）=25%，P（BA3）=50%，由全概率公式得P（B）=∑3i=1P（Ai）P（B|Ai）=13×40%+

415×25%+25×50%=25.

所以混合后任取一個球是白球的概率為

P（B）=1-P（B）=1-25=35．

3.2" 添加某些事件后構成樣本空間完備事件組

例2" （2023年新課標全國Ⅱ卷第12題節選）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為α（0lt;αlt;1），收到0的概率為1-α；發送1時，收到0的概率為β（0lt;βlt;1），收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.證明：當0lt;αlt;0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率.

解析" 記X表示三次傳輸0時收到的信號仍然為0的次數，則X∽B（3，1-α）.

即P（X=k）=Ck3（1-α）kα3-k（k=0，1，2，3）.

設A表示目標事件“若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0”，按題目給的譯碼規則：三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼，因此導致目標事件A發生原因為三次傳輸0時有兩次以上收到的信號均為0.顯然∑3k=2P（X=k）lt;1，故事件X=2∪X=3

不是樣本空間的一個完備事件組，還要添加事件X=0∪X=1才能構成樣本空間的一個完備事件組.因為三次傳輸0時收到的信號仍然為0的次數所有可能情況有4種：0，1，2，3次，故四個事件X=k（k=0，1，2，3）構成樣本空間Ω的一個劃分，也稱構成一個完備事件組.

又P（AX=k）=0（k=0，1），

P（AX=k）=1（k=2，3），

由全概率公式，得

P（A）=∑3k=0P（X=k）P（A|X=k）

=∑3k=2P（X=k）P（A|X=k）

=∑3k=2Ck3（1-α）kα3-k·P（AX=k）

=C23（1-α）2α·P（AX=2）

+C33（1-α）3·P（AX=3）

=3（1-α）2α×1+（1-α）3×1

=（1-α）2（1+2α）.

又單次傳輸發送0，則譯碼是0的概率為1-α，而0lt;αlt;0.5，因此（1-α）2（1+2α）-（1-α）=

（1-α）α（1-2α）gt;0.

3.3" 從第一次試驗入手尋找完備事件組

例3" （2023年新課標全國Ⅰ卷第21題） 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

解析" （1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，記第i次投籃的人是乙”為事件Bi，

所以，

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

3.4" 目標事件的概率需要通過遞推等式推出

解決概率統計與數列交匯問題的關鍵是根據題意得出數列的遞推關系，進而求出數列的通項公式．筆者將其總結為兩類題型：第一類是題干給出數列的遞推關系，需要考生通過構造等比數列來求通項公式;第二類是題干沒有給出數列的遞推關系，學生要懂得利用全概率公式獲得數列的遞推關系式，然后構造等比數列再求出通項公式．

例3第（2）問解析

設P（Ai）=pi，依題可知

P（Bi）=1-pi.

則P（Ai）=P（AiBi-1）+P（AiAi-1）

=P（Ai-1）P（AiAi-1）+P（Bi-1）P（AiBi-1），

即pi=0.6pi-1+（1-0.8）（1-pi-1）

=0.4pi-1+0.2.

構造等比數列pi+λ，

設pi+λ=25（pi-1+λ），解得λ=-13，則pi-13=25（pi-1-13）.

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首項為16，公比為25的等比數列，

即pi-13=16×（25）i-1.

所以pi=16×（25）i-1+13．

4" 結束語

利用全概率公式可以將求一個復雜事件的概率轉化為求若干個互斥的簡單事件概率的和，再利用乘法公式求出各部分積事件的概率.全概率公式體現了化歸和分類的思想，對于實際應用題，就是分情況討論.

參考文獻：

［1］

程海奎，章建躍.通過隨機變量刻畫隨機現象加深理解隨機思想［J］.數學通報，2022，61（1）：9-14.

［2］ 紀宏偉，李衛平.全概率公式及其應用分析［J］.呼倫貝爾學院學報，2018，26（6）：134-137.

［責任編輯：李" 璟］