圓錐曲線中一個(gè)與面積、斜率有關(guān)的定值結(jié)論

摘" 要：針對(duì)一道與橢圓中面積、斜率都有關(guān)的定值問題，首先對(duì)題目背景進(jìn)行探究，得到橢圓中的結(jié)論，接著探究了逆命題并把結(jié)論類比到雙曲線中，并提煉出橢圓與雙曲線的統(tǒng)一充要條件結(jié)論，最后在拋物線中也得到相關(guān)結(jié)論.探究推廣所得試題模型及結(jié)論簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、適用.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定值；定點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0013-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：晏炳剛（1983.12—），男，碩士，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線試題的運(yùn)動(dòng)模型中，點(diǎn)、線、角度、斜率、距離、面積等會(huì)跟著聯(lián)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過程中幾何特征或數(shù)值的不變性是值得思考和關(guān)注的［1］.斜率、距離、面積等自己與自己或者互相之間的加減乘除混合運(yùn)算式子的值的不變性也值得關(guān)注 ［2-3］.與之相關(guān)的高考題也有出現(xiàn) ［4］.2023年2月連云港南通聯(lián)考是與面積和斜率有關(guān)的混合運(yùn)算式子為定值的題型.本文首先對(duì)題目背景進(jìn)行探究，得到橢圓中的結(jié)論，接著探究了逆命題并把結(jié)論類比到雙曲線中，提煉出橢圓與雙曲線的統(tǒng)一充要條件結(jié)論，最后在拋物線中也得到相關(guān)結(jié)論.探究推廣所得試題模型與結(jié)論簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、適用.

1" 題目與思考

題目" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為12，A，B，O分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，△PAB面積最大值為23.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線n：x=4的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，求證：S|k1-k2|為定值.

第（1）問的答案：x24+y23=1.第（2）問的答案：32.

思考" 題干中F為焦點(diǎn)，直線n為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，有混合運(yùn)算式子的定值結(jié)論.在此不難思考以下問題：

（1）若點(diǎn)F為x軸上任一點(diǎn)，直線n為對(duì)應(yīng)極線，是否仍有定值結(jié)論？

（2）若點(diǎn)F為y軸上任一點(diǎn)，直線n為對(duì)應(yīng)極線，是否仍有定值，若有定值，定值式子會(huì)有什么變化？

（3）雙曲線和拋物線有相應(yīng)結(jié)論嗎？

本文帶著問題，對(duì)題目作了探究，有如下結(jié)論.

2" 題目探究

結(jié)論1" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過x軸上的點(diǎn)T（t，0）（t≠0，t≠±a）的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線x=a2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有S|k1-k2|=|a2-t2|2.

證明" 由題知，直線斜率必不為0，設(shè)直線l方程為x=my+t，與橢圓x2a2+y2b2=1聯(lián)立，得

（m2b2+a2）y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0.

由題△gt;0，設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），有

y1+y2=-2tmb2b2m2+a2，

y1y2=b2t2-a2b2b2m2+a2.

由題可知三角形面積為

S=12|t|·|y1-y2|.

DE的中點(diǎn)G坐標(biāo)為G（ta2b2m2+a2，-tmb2b2m2+a2），

垂足為點(diǎn)N（a2t，-tmb2b2m2+a2）.

斜率差的絕對(duì)值計(jì)算如下：

|k1-k2|=|y1+tmb2/（b2m2+a2）x1-a2/t-

y2+tmb2/（b2m2+a2）x2-a2/t|

=|［t3m2b2/（b2m2+a2）-（t3-a2t）］（y2-y1）t2m2y1y2+tm（t2-a2）（y1+y2）+（t2-a2）2|

=|ta2-t2（y2-y1）|，

所以S|k1-k2|=|t||y1-y2|/2|t（y2-y1）/（a2-t2）|

=|a2-t2|2.

命題成立.

本文例題背景為結(jié)論1的特殊情況，即T為焦點(diǎn)，線為準(zhǔn)線，即是下面的推論.

推論1" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過右焦點(diǎn)F（c，0）的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線x=a2c的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有S|k1-k2|=b22.

當(dāng)點(diǎn)T為y軸上的點(diǎn)，直線n為對(duì)應(yīng)極線，也有定值，結(jié)論如下.

結(jié)論2" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過y軸上的點(diǎn)T（0，t）（t≠0，t≠±b）的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線y=b2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

證明" 由題知，直線斜率必不為0，設(shè)直線l方程為y=kx+t，與橢圓x2a2+y2b2=1聯(lián)立，得

（a2k2+b2）x2+2tka2x+a2t2-a2b2=0.

由題△gt;0，設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），有

x1+x2=-2tka2a2k2+b2，

x1x2=a2t2-a2b2a2k2+b2.

由題可知面積為

S=12|t|·|x1-x2|，

DE的中點(diǎn)G坐標(biāo)為G（-tka2a2k2+b2，tb2a2k2+b2），

垂足為點(diǎn)N（-tka2a2k2+b2，b2t）.

|1k1-1k2|的值計(jì)算如下：

|1k1-1k2|=|x1-（-tka2）/（a2k2+b2）y1-b2/t-

x2-（-tka2）/（a2k2+b2）y2-b2/t|

=|［t3k2a2/（a2k2+b2）-（t3-b2t）］（x2-x1）t2k2x1x2+tk（t2-b2）（x1+x2）+（t2-b2）2|

=|tb2-t2（x2-x1）|，

所以

S|1/k1-1/k2=|t||x1-x2|/2|t（x2-x1）/（b2-t2）|

=|b2-t2|2

命題成立.

對(duì)比結(jié)論1與2，定點(diǎn)T位置由x軸變到y(tǒng)軸，定值式子中的斜率變?yōu)榈箶?shù)，定值仍然相同.結(jié)論1、2不失為一組優(yōu)美對(duì)稱的結(jié)論.

3" 逆向探索

結(jié)論1、2即推論1的逆命題是成立的，因此可得如下的定值定點(diǎn)充要條件.

結(jié)論3" 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓C，過x軸上的點(diǎn)T的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線x=a2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有T坐標(biāo)為T（t，0）（t≠0，t≠±a）的充要條件是S|k1-k2|=|a2-t2|2.

推論2" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過右焦點(diǎn)F（c，0）的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線x=a2c的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有F坐標(biāo)為（c，0）的充要條件是S|k1-k2|=b22.

結(jié)論4" 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓C，過y軸上的點(diǎn)T的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線y=b2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有T坐標(biāo)為T（0，t）（t≠0，t≠±b）的充要條件是S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

4" 類比推廣

基于橢圓與雙曲線知識(shí)體系的統(tǒng)一性，橢圓置換為雙曲線后得如下結(jié)論.

結(jié)論5" 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，過x軸上的點(diǎn)T（t，0）（t≠0，t≠±a）的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線x=a2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有T坐標(biāo)為T（t，0）（t≠0，t≠±a）的充要條件是S|k1-k2|=|a2-t2|2.

結(jié)論6" 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，過y軸上的點(diǎn)T（0，t）（t≠0，t≠±b）的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線y=b2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有T坐標(biāo)為T（0，t）（t≠0，t≠±b）的充要條件是S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

觀察結(jié)論3～6，得橢圓與雙曲線的統(tǒng)一結(jié)論為：

結(jié)論7" 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線或橢圓C，過x軸上的點(diǎn)T的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線x=a2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有T坐標(biāo)為T（t，0）（t≠0，t≠±a）的充要條件是S|k1-k2|=|a2-t2|2.

結(jié)論8" 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線或橢圓C，過y軸上的點(diǎn)T的直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作直線y=b2t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則有T坐標(biāo)為T（0，t）（t≠0，t≠±b）的充要條件是S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

由結(jié)論7、8知：統(tǒng)一結(jié)論更為簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、適用.

在拋物線中，也有類似結(jié)論如下：

結(jié)論9" 已知拋物線C：y2=2px，直線l與C交于D，E兩點(diǎn)，記△ODE的面積為S，過線段DE中點(diǎn)G作x=-t的垂線，垂足為點(diǎn)N，設(shè)直線DN，EN的斜率分別為k1，k2，則S|k1-k2|=t2的充要條件是直線l過定點(diǎn)T（t，0）.

證明" 必要性.由題知直線斜率必不為0，設(shè)過點(diǎn)T的直線為x=my+t，與y2=2px聯(lián)立有

y2+2pmy-2pt=0.

設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2）有

y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

由題可知面積為

S=12|t|·|y1-y2|，

DE的中點(diǎn)G坐標(biāo)為G（pm2+t，pm），

垂足為點(diǎn)N（-t，pm2+t）.

斜率差的絕對(duì)值計(jì)算如下：

|k1-k2|=|y1-pmx1+t-y2-pmx2+t|

=|（pm2+2t）（y1-y2）m2y1y2+2mt（y1+y2）+4t2|

=|（pm2+2t）（y1-y2）m2（-2pt）+2mt（2pm）+4t2|

=|12t（y1-y2）|.

所以S|k1-k2|=|t|·|y1-y2|/2|（y2-y1）/（2t）|=t2.

結(jié)論成立.

充分性證明略.

5" 結(jié)束語(yǔ)

推廣是數(shù)學(xué)研究中極重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣［5］.解析幾何中的定值定點(diǎn)問題是高考命題的重要素材，而考試題目是深刻背景的外在表現(xiàn).思考和探究定值定點(diǎn)問題的背景、推廣背后的結(jié)論有利于把握本質(zhì)，升華思維.解析幾何的解題教學(xué)，教師不能只作簡(jiǎn)單的解答分析與過程表述，更應(yīng)深層次對(duì)試題的命題背景作思考，思考一般化結(jié)論，并就結(jié)論的特殊與一般、類比與推廣作探究.只有如此，才能有效培養(yǎng)學(xué)生更高的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力 ［6］.

參考文獻(xiàn)：

［1］

晏炳剛，劉燕.圓錐曲線中一類斜率乘積為定值、動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓的優(yōu)美性質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2024（05）：34-36.

［2］ 高繼浩.對(duì)一道系數(shù)和為定值試題的探究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（28）：19-22.

［3］ 胡芳舉.橢圓內(nèi)接三角形的幾個(gè)斜率定值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（11）：40-41.

［4］ 王寅，李兆慶，陶閨秀.新舊課標(biāo)下高考圓錐曲線定點(diǎn)定值問題探究：以近5年全國(guó)卷試題為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2022，41（06）：60-64.

［5］ 朱華偉，張景中.論推廣［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（04）：55-57，28.

［6］ 晏炳剛.一道橢圓檢測(cè)題的解答、探究和推廣［J］.數(shù)理化解題研究，2024（10）：29-33.

［責(zé)任編輯：李" 璟］