合理參數設置，巧妙函數思維

摘 要：涉及解三角形中的最值（或取值范圍）問題，是高考命題中比較常見的一類熱點問題.本文結合一道解三角形中面積最值及其應用的求解，依托解三角形的應用情境創設，挖掘問題的本質與內涵，從不同數學思維角度切入，結合不同的技巧方法應用，總結解題思維方法與技巧規律，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：解三角形；邊參；角參；變式

作為高考中主干知識之一的解三角形，其中與三角形中相關的最值（或取值范圍）問題的設置與考查，是高考考查中最為常見的一類綜合應用題，也是高考中的一個熱點與重點問題.三角形中相關的最值（或取值范圍）的場景是多變的，涉及角、邊的最值（或取值范圍），周長、面積的最值（或取值范圍），綜合關系式的最值（或取值范圍）等，需要學生根據不同的場景與應用條件，選取合適的技巧與方法，這成為突破與解決問題的關鍵.三角形最值題也是模擬試卷、高考試卷中最為經常出現的一種基本類型與實際應用，要加以熟練理解與掌握.

1 問題呈現

問題 （2024年湖北省武漢市高三年級五月模擬訓練試題數學試卷第8題）在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足c2－a2＝ab，c＝2，則△ABC面積取最大值時，cosC＝（" ）.

A. 3-12

B. 3+14

C. 2-22

D. 2+24

此題為三角形面積問題，結合三角形中對應邊的值以及對應邊所滿足的關系，進而確定三角形面積取得最大值時對應角的余弦值.問題的實質還是探究解三角形中的最值問題，以三角形的面積來設置，探究對應的最值與應用.

解決問題的關鍵就是構建三角形面積的關系式，合理選擇相應的參數，或邊參數，或角參數，結合關系式的結構特征和函數的構建，利用函數與導數的思維或不等式思維等來處理，往往是解決此類問題中比較常用的技巧方法.

2 問題破解

2.1 邊參思維

方法1：邊參法1.

依題，利用余弦定理可得cosC＝a2+b2-c22ab＝b2-ab2ab＝b-a2a.

由c2－a2＝ab，c＝2，可得c2＝a2+ab＝4.

結合三角形的面積公式可得S＝12absinC＝12ab1-cos2C＝12ab4a2-（b2+a2-2ab）4a2＝12·ab（3a2+2ab-b2）4a2＝12b23a2+2ab-b24＝12·b23a2+2ab-b2a2+ab＝12b23a-ba＝b2（3a-b）4a＝b2（3a-b）a（a2+ab）＝3ba2-ba31+ba.令x＝bagt;0，則S＝（3x2-x3）1+x，構建函數f（x）＝3x2-x31+x，xgt;0，求導可得f′（x）＝2x（3-x2）（1+x）2，令f′（x）＝0，解得x＝3.

當x∈（0，3）時，f′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增；當x∈（3，+∞）時，f′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減，

所以f（x）max＝f（3）＝9-331+3＝63－9，此時cosC＝b-a2a＝12ba－1＝3-12，故選擇A.

方法2：邊參法2.

依題，利用余弦定理可得cosC＝a2+b2-c22ab＝b2-ab2ab＝b-a2a，結合c2－a2＝ab，c＝2，可得cosC＝b-a2a＝ab-a22a2＝4-2a22a2＝2a2 －1.

結合三角形的面積公式可得S＝12absinC＝12ab1-cos2C＝12（4－a2）1-2a2-12＝12·（4－a2）4a2-4a4＝4-a2a2a2-1.

令x＝a2-1gt;0，則S＝（3-x2）xx2+1＝3x-x3x2+1，構建函數f（x）＝3x-x3x2+1，xgt;0，求導可得f′（x）＝-x4-6x2+3（x2+1）2，令f′（x）＝0，解得x2＝23－3，即x＝23-3.

當x∈（0，23-3）時，f′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增；當x∈（23-3，+∞）時，f′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減.

f（x）max＝f（23-3）＝63-9，此時cosC＝2a2 －1＝3-12，故選擇A.

方法3：邊參法3.

依題，由c2－a2＝ab，c＝2，可得b＝4a－a，記△ABC的半周長為p，則p＝12（a+b+c）＝2a+1，1lt;alt;2.

由海倫公式，得S＝p（p-a）（p-b）（p-c）＝2a+12a+1-aa-2a+12a-1＝4a2-11-a-2a2＝4a2-15-a2-4a2＝24a2-16a4+a2-9.

令x＝1a2 ∈14，1，則S＝24x-16x2+1x-9，構建函數f（x）＝24x－16x2+1x－9，x∈14，1，求導可得f′（x）＝24－32x－1x2 ，令f′（x）＝0，解得x＝1+34，此時1a2 ＝1+34.

當x∈14，1+34時，f′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增；當x∈1+34，1時，f′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減.

f（x）max＝f1+34＝63－9，此時cosC＝b-a2a＝ab-a22a2＝4-2a22a2＝2a2 －1＝3-12，故選擇A.

點評：根據解三角形問題的實質與內涵，以邊參思維來確定三角形面積所對應的關系式，利用代數式的結構特征，借助整體換元，減少變量個數，為進一步利用函數思維來確定相應的最值問題創造條件.邊參思維下，利用整體思維來合理換元處理，構建函數處理問題時，數學運算量中等，解題過程比較流暢.

2.2 角參思維

方法4：角參法1.

依題，由c2－a2＝ab，可得c2＝a2+ab，利用余弦定理可得c2＝a2+b2－2abcosC，整理可得b2＝（1+2cosC）ab，即ba＝1+2cosCgt;0，可得cosCgt;－12.

結合b＝a（1+2cosC），將c＝2代入c2－a2＝ab，可得4－a2＝a2（1+2cosC），即a2＝21+cosC，可得a＝21+cosC，此時b＝a（1+2cosC）＝（1+2cosC）21+cosC.

結合三角形的面積公式可得S＝12absinC＝1221+cosC（1+2cosC）21+cosC1-cos2C＝1+2cosC1+cosC1-cos2C.

令t＝cosC∈（－12，1］，則S＝（1+2t）1-t21+t，構建函數g（t）＝（1+2t）1-t21+t，t∈（－12，1］.

求導可得g′（t）＝（2-t-4t2）1+t-（1+2t）1-t2（1+t）2＝（2-t-4t2）-（1+2t）（1-t）（1+t）1-t2＝-2t2-2t+1（1+t）1-t2，令g′（t）＝0，解得t＝3-12.

當t∈－12，3-12時，g′（t）gt;0，函數g（t）單調遞增；當t∈3-12，1時，g′（t）lt;0，函數g（t）單調遞減.

g（t）max＝g3-12＝63-9，此時t＝cosC＝3-12，故選擇A.

方法5：角參法2.

依題，由c2－a2＝ab，可得c2＝a2+ab，利用余弦定理可得c2＝a2+b2－2abcosC，整理可得b2＝（1+2cosC）ab，即ba＝1+2cosCgt;0，可得cosCgt;－12，即0lt;Clt;2π3.

結合b＝a（1+2cosC），將c＝2代入c2－a2＝ab，可得4－a2＝a2（1+2cosC），即a2＝21+cosC，可得a＝21+cosC，此時b＝a（1+2cosC）＝（1+2cosC）21+cosC.

結合三角形的面積公式可得S＝12absinC＝1221+cosC（1+2cosC）21+cosCsinC＝1+2cosC1+cosCsinC＝sinC+sin2C1+cosC.

構建函數g（C）＝sinC+sin2C1+cosC，0lt;Clt;2π3，求導可得g′（C）＝2cos2C+2cosC+cos2CcosC+1（1+cosC）2＝（1+cosC）（2cos2C+2cosC-1）（1+cosC）2＝2cos2C+2cosC-11+cosC，令g′（C）＝0，解得cosC＝3-12，此時角C記為C0.

當cosC∈3-12，1時，g′（C）gt;0，函數g（C）在區間（0，C0）上單調遞增；當cosC∈－12，3-12時，g′（C）lt;0，函數g（C）在區間C0，2π3單調遞減.

g（C）max＝g（C0）＝63-9，此時cosC＝3-12，故選擇A.

方法6：角參法3.

依題，由c2－a2＝ab，結合正弦定理可得sin2C－sin2A＝sinAsinB，利用正弦平方差公式sin2C－sin2A＝sin（C+A）sin（C－A），可得sin（C+A）sin（C－A）＝sinAsinB，即sin（C－A）＝sinA，可得C－A＝A或C－A+A＝π（舍去），即C＝2A.

結合正弦定理有asinA＝csinC，即asinC＝2sinA，可得asin2A＝2sinA，則有a＝1cosA.

結合三角形的面積公式可得S＝12acsinB＝1cosAsin3A＝sin3AcosA.

構建函數g（A）＝sin3AcosA，0lt;Alt;π3，求導可得g′（A）＝

8cos4A-4cos2A-1cos2A，令g′（A）＝0，解得cos2A＝1+34.

函數g（A）取得最大值時，cos2A＝1+34，此時cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝3-12，故選擇A.

點評：根據解三角形問題的實質與內涵，以角參思維來構建對應的邊與角等的關系式，進而得以確定三角形面積所對應的關系式，同時利用換元思維來構建相應的函數，借助函數思維來確定相應的最值問題.角參思維下，三角形面積的解析式與對應角的余弦值直接聯系，解析式比較繁雜，具體求解過程中數學運算量比較大，操作起來比較困難.

3 變式拓展

3.1 回歸本源

結合原問題及其解析過程，回歸問題的本質與內涵，其實質就是求解對應三角形面積的最大值，進而直接加以變式與應用.

變式1 在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足c2－a2＝ab，c＝2，則△ABC面積的最大值為""" .

具體解析過程直接參考原問題的解法即可.

3.2 拓展應用

變式2 （2024年江西省八所重點中學高三聯考數學試卷第13題）在△ABC中，BC＝4，角A的平分線AD交BC于點D.若BDDC＝13，則△ABC面積的最大值為""" .

解析：依題，角A的平分線AD交BC于點D，且BDDC＝13，結合三角形內角平分線定理，有ABAC＝cb＝13，即b＝3c.

在△ABC中，由余弦定理可得16＝b2+c2－2bccosA，將b＝3c代入并整理有c2＝85-3cosA.

△ABC面積S＝12bcsinA＝12sinA5-3cosA，則有5S＝12sinA+3ScosA＝144+9S2sin（A+φ），可得5S≤144+9S2，解得S≤3，當且僅當cosA＝35，sinA＝45時，等號成立.

△ABC面積的最大值為3，故填答案3.

4 教學啟示

解決三角形中的最值（或取值范圍）問題，需要合理尋覓并挖掘對應關系式的結構特征與題設條件，解題思維往往基于解三角形思維、建系思維、幾何思維、公式思維等，解題的關鍵在于合理進行恒等變形與轉化，借助解題經驗的積累與技巧方法的應用，選取行之有效的數學思維方法與對應的技巧策略.

在解決一些比較復雜的解三角形中的最值（或取值范圍）問題時，經常需要借助函數與方程、函數與導數、平面幾何性質、不等式等相關知識，實現三角形中最值（或取值范圍）問題的求解，從而有效養成良好的數學思維品質，提升數學解題能力，拓展數學應用與創新思維.