核心素養(yǎng)背景下GeoGebra助力函數(shù)奇偶性概念教學(xué)

摘 要：發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科落實(shí)立德樹人的重要途徑.高中數(shù)學(xué)因其符號(hào)的抽象性，導(dǎo)致學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)概念，尤其是在函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)中特別突出.本研究以GeoGebra為平臺(tái)助力函數(shù)奇偶性概念教學(xué)，從整體到局部，再到整體，引導(dǎo)學(xué)生理解并構(gòu)建奇偶性的概念，發(fā)展核心素養(yǎng)，以期為GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；函數(shù)奇偶性；GeoGebra

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.”^［1］函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，對(duì)發(fā)展核心素養(yǎng)有著至關(guān)重要的作用，但是由于函數(shù)的抽象性以及符號(hào)形式化表示使得大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺很枯燥乏味，以至于學(xué)生的核心素養(yǎng)提升不明顯.

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)形成和發(fā)展的基礎(chǔ)，但是對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，大部分教師容易忽略對(duì)概念的生成進(jìn)行講解，尤其是用符號(hào)表示函數(shù)性質(zhì)的概念時(shí)特別明顯.在函數(shù)奇偶性概念的教學(xué)中，盡管大部分教師能夠使用教學(xué)工具進(jìn)行直觀演示讓學(xué)生分析具體函數(shù)的圖象，從而形成感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生歸納概念，并上升到理性認(rèn)識(shí)，但是在處理奇偶性“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”環(huán)節(jié)往往沒有引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義域的對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提，以至于在之后運(yùn)用奇偶性解決問題時(shí)，學(xué)生容易忽略定義域的對(duì)稱，從而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.

為了解決以上問題，筆者按照從函數(shù)圖象的整體到局部，再到整體的思路，以GeoGebra為平臺(tái)，設(shè)計(jì)“定義域?qū)ΨQ的直觀演示”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是函數(shù)奇偶性的重要前提，助力學(xué)生理解奇偶性的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 GeoGebra的特征與優(yōu)勢

1.1 GeoGebra簡介

由Markus Hohenwarter團(tuán)隊(duì)開發(fā)并推廣的GeoGebra，是一款用于教育教學(xué)的交互式動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件.它集代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、微積分于一體，因其操作簡單、功能強(qiáng)大、免費(fèi)開源被廣泛應(yīng)用.^［2］GeoGebra是一個(gè)幾何系統(tǒng)，可以讓學(xué)生和教師在軟件窗口看到包含點(diǎn)、向量、直線、圓錐和函數(shù)，然后進(jìn)行動(dòng)態(tài)修改這些數(shù)學(xué)對(duì)象.此外，GeoGebra還可以計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微積分，并具有各種指令，如繪制給定區(qū)間的函數(shù)圖象的指令.如圖1所示，輸入“如果（-2≤x≤3，x2-3）”，就會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象.

1.2 GeoGebra的特征

作為一款動(dòng)態(tài)互動(dòng)的教育教學(xué)軟件，GeoGebra具有構(gòu)建性、導(dǎo)向性、互動(dòng)性、準(zhǔn)確性等特性，有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力.

構(gòu)建性是指GeoGebra能使得學(xué)生反復(fù)嘗試來構(gòu)建數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行表示.例如，GeoGebra自帶快捷的工具——作交點(diǎn)、作平行線、作垂線等，在函數(shù)f（x）＝x2-3圖象上作出一個(gè)點(diǎn)，再作垂線與x軸相交并作出交點(diǎn)從而找到對(duì)應(yīng)x值；也能作出平行線與y軸相交并作出交點(diǎn)找到對(duì)應(yīng)y值（如圖2）.在這個(gè)過程中，學(xué)生通過嘗試進(jìn)行主動(dòng)構(gòu)建函數(shù)，從而深刻理解數(shù)學(xué)概念.

導(dǎo)向性是指學(xué)生和教師可以自由靈活地探索.GeoGebra有電腦版本和移動(dòng)手機(jī)版本，便于隨時(shí)隨地對(duì)思考的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行作圖探究.

互動(dòng)性是指學(xué)生能夠獲得即時(shí)和有效的反饋，使學(xué)生能夠及時(shí)意識(shí)到自己的錯(cuò)誤，進(jìn)而改變學(xué)習(xí)策略.GeoGebra可以同時(shí)呈現(xiàn)兩個(gè)繪圖區(qū)域，如圖3所示，函數(shù)f（x）＝x2-3顯示在繪圖一區(qū)域，函數(shù)f（x）＝x2-3（-2≤x≤3）顯示在繪圖二區(qū)域，學(xué)生可以觀察兩者的異同，進(jìn)而歸納數(shù)學(xué)知識(shí).

準(zhǔn)確性是指學(xué)生和教師可以精確地執(zhí)行創(chuàng)建數(shù)學(xué)對(duì)象的操作.對(duì)于不等式的解集、函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等，GeoGebra都能精確地進(jìn)行操作.

1.3 GeoGebra的優(yōu)勢

相較于其他教學(xué)軟件，GeoGebra具有工具便捷、功能豐富、幾何與代數(shù)相統(tǒng)一、“傻瓜式”輸入等許多優(yōu)點(diǎn)，這使得學(xué)生、教師以及其他教育教學(xué)工作者能夠輕松使用.GeoGebra的工具包含了基本幾何對(duì)象的構(gòu)建、變換、符號(hào)的表示等.“傻瓜式”輸入欄與繪圖區(qū)相結(jié)合，使得其可以演示復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象，如分段函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)分別與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系等.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).

2 基于GeoGebra的“奇偶性”教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教材分析

本次研究的課題，選自人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》第3.2.2節(jié)“奇偶性”的內(nèi)容.本節(jié)課編排在單調(diào)性之后，采用由觀察圖象特征—用符號(hào)語言描述數(shù)學(xué)概念—應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)思路.^［3］本節(jié)課主要的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性的概念，關(guān)鍵點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、類比遷移的數(shù)學(xué)思想方法，蘊(yùn)含直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.2 學(xué)情分析

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念，知道定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域作為函數(shù)的三要素以及了解了單調(diào)性的概念；積累了研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，有一定的學(xué)習(xí)思路.

2.3 課標(biāo)要求

實(shí)施課堂教學(xué)，必須以課程標(biāo)準(zhǔn)的要求為依據(jù).本節(jié)課要求學(xué)生能夠結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.教師要引導(dǎo)學(xué)生正確使用符號(hào)語言清晰地刻畫函數(shù)的性質(zhì).

2.4 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)課程方案與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，對(duì)教材和學(xué)情的分析，確定如下的教學(xué)目標(biāo)：①借助GeoGebra觀察函數(shù)圖象，了解奇偶性的概念與幾何意義;②能夠使用符號(hào)描述奇偶性的概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、類比等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力，感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

2.5 教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)如下.

教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)描述奇偶性的概念.

教學(xué)難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)一步使用符號(hào)語言表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象.

2.6 教學(xué)工具與方法

本節(jié)課的教學(xué)工具與方法如下.

教學(xué)工具：GeoGebra軟件與PPT.

教學(xué)方法：本節(jié)課教師采用問題驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的教法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、類比遷移、小組合作的學(xué)習(xí)方法.

2.7 教學(xué)思路

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，本節(jié)課采用整體—局部—整體的教學(xué)思路.通過函數(shù)圖象的對(duì)稱—坐標(biāo)點(diǎn)的對(duì)稱—定義域的對(duì)稱—函數(shù)值對(duì)稱—圖象的對(duì)稱的教學(xué)思路，使用GeoGebra觀察函數(shù)圖象的對(duì)稱性并結(jié)合反例進(jìn)行對(duì)比教學(xué).

2.8 教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境.

（PPT展示）橋梁文化是中國傳統(tǒng)文化的一部分，從古代的拱橋到新時(shí)代的高速大橋，都蘊(yùn)含了人民群眾的偉大智慧，觀察這些橋梁結(jié)構(gòu)（如圖4），在它們身上你發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)對(duì)象？這些數(shù)學(xué)對(duì)象有什么結(jié)構(gòu)特征？試用你已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)進(jìn)行描述？

預(yù)案：學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)展示的橋梁包含函數(shù)、幾何圖形等，它們都具有對(duì)稱性.學(xué)生也能用學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)對(duì)橋梁進(jìn)行刻畫.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)文化和中國傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，增強(qiáng)文化自信.

（2）探究新知.

問題1 畫出函數(shù)f（x）＝x2，函數(shù)g（x）＝2-｜x｜，函數(shù)h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的圖象，它們有什么相同和不同之處？

預(yù)案：學(xué)生能繪制出三個(gè)函數(shù)的圖象，并且觀察到前兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，最后一個(gè)函數(shù)圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.

教師活動(dòng)：教師使用GeoGebra在繪圖一區(qū)域繪制函數(shù)f（x）＝x2，在繪圖二區(qū)域繪制函數(shù)h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）同時(shí)展示這兩個(gè)圖象，為引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)異同做鋪墊.

思考 類比單調(diào)性的學(xué)習(xí)過程，思考如何使用數(shù)學(xué)符號(hào)描述函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱？

追問 函數(shù)圖象由什么幾何對(duì)象構(gòu)成？這些幾何對(duì)象又是如何確定下來的？

預(yù)案：學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象是由無窮多個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成，并且這些點(diǎn)是由函數(shù)定義域內(nèi)x的取值和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）組成，即（x，f（x））.

學(xué)生活動(dòng)：觀察函數(shù)f（x）＝x2，h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的圖象，分別寫出當(dāng)x＝-4和x＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上的坐標(biāo)點(diǎn)，并寫出該點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的坐標(biāo)點(diǎn)，觀察坐標(biāo)之間的聯(lián)系.

預(yù)案：除了不能寫出x＝3時(shí)第二個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)之外，學(xué)生能夠?qū)懗銎渌鄳?yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并且能夠發(fā)現(xiàn)“定義域內(nèi)函數(shù)圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等”，即f（-x）＝f（x），如果函數(shù)圖象不對(duì)稱則沒有這個(gè)結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過問題和追問，借助GeoGebra繪制的圖象引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象上對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)值的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，為歸納偶函數(shù)的概念作鋪墊.

問題2 對(duì)于不關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)圖象，為何不具有上述結(jié)論？它與關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)，還有哪些不同？試試從函數(shù)的三要素角度思考分析，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)案：學(xué)生再次對(duì)比圖象，能夠發(fā)現(xiàn)圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）其定義域也不對(duì)稱.

教師活動(dòng)：使用GeoGebra在x軸上作線段表示函數(shù)h（x）＝x2-2（-2≤x≤3）的定義域（如圖5），并進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感受定義域的分布，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)f（x）＝x2的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

追問 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域（區(qū)間）有什么特征？不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域（區(qū)間）又有什么特征？試著舉幾個(gè)例子進(jìn)行說明？你能得出什么結(jié)論并用符號(hào)表示這個(gè)結(jié)論嗎？

預(yù)案：學(xué)生能列舉（-3，3），［-2，2］，（-4，1），［-2，3］等例子，并發(fā)現(xiàn)對(duì)于［-2，2］定義域內(nèi)的一個(gè)取值，其相反數(shù)也屬于這個(gè)定義域，即任意x∈D，-x∈D.

追問 我們通過觀察函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，得到了f（-x）＝f（x）數(shù)量關(guān)系，再對(duì)比兩個(gè)函數(shù)圖象，得出了“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”并用符號(hào)語言進(jìn)行描述，現(xiàn)在試著用符號(hào)語言描述“圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的這類函數(shù)的特征？

預(yù)案：學(xué)生能夠總結(jié)出偶函數(shù)的概念及其幾何意義.

教師活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納偶函數(shù)的概念和研究思路并板書.

板書：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱—圖象上的點(diǎn)對(duì)稱—點(diǎn)坐標(biāo)值的數(shù)量關(guān)系—定義域的對(duì)稱—符號(hào)語言描述—得出結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示和舉例分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)由圖象的對(duì)稱到定義域的對(duì)稱，并用符號(hào)語言描述這些發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，體會(huì)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.教師板書研究結(jié)果和思路，有助于學(xué)生構(gòu)建研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路，為學(xué)生類比研究奇函數(shù)作鋪墊.

探究：在初中學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)與反比例函數(shù)中，它們的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，學(xué)生建立合作小組，試著用研究偶函數(shù)的思路，研究這類函數(shù)的共同特征“圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”，并用符號(hào)語言進(jìn)行描述.

預(yù)案：通過小組的合作，學(xué)生能夠歸納并用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)奇函數(shù)的概念.教師進(jìn)行板書.

（3）概念剖析.

討論：從奇偶性的概念及其幾何意義兩個(gè)角度出發(fā)，如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性并對(duì)比兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)？

教師活動(dòng)：教師使用GeoGebra繪制一個(gè)反例的函數(shù)圖象（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何直觀的判斷方法有一定的誤差，進(jìn)而突出符號(hào)化的重要性.

預(yù)案：學(xué)生能夠歸納判斷函數(shù)奇偶性的方法，并且能夠發(fā)現(xiàn)幾何直觀的判斷可能會(huì)出現(xiàn)誤差，因此采用符號(hào)語言進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砼袛嗖拍軠?zhǔn)確無誤.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生開展小組合作，類比應(yīng)用研究思路探究奇函數(shù)的概念，并使用符號(hào)進(jìn)行描述，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸、類比遷移、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，增強(qiáng)自信心.

3 結(jié)語

本次研究將GeoGebra與問題驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)啟發(fā)的教學(xué)方法相融合，借助該軟件的兩個(gè)繪圖區(qū)進(jìn)行對(duì)比作圖，讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.在教學(xué)中，教師需要恰當(dāng)使用GeoGebra，盡可能讓數(shù)學(xué)更簡單，使知識(shí)通俗易懂.

參考文獻(xiàn)

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*基金項(xiàng)目：2023年銅仁市基礎(chǔ)教育教學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂“基于應(yīng)用GeoGebra發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2023sj118）.