深入學(xué)習(xí)“整式的乘法與因式分解”

因式分解是把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，而利用整式乘法則可以把幾個整式的積化為一個多項式的形式，由此可見，因式分解與整式乘法是方向相反的變形．下面，我們就深入討論一下整式乘法與因式分解之間的關(guān)系．

數(shù)是為表示客觀事物的多少或大小而形成的抽象概念，數(shù)的運(yùn)算產(chǎn)生于對數(shù)量關(guān)系的研究，為了突破數(shù)值的局限，人們想到用更抽象的符號（如字母）代表數(shù)，數(shù)的運(yùn)算也隨之發(fā)展為含有抽象符號（如字母）的式的運(yùn)算，這一變化是從算術(shù)到代數(shù)的開始，是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個里程碑，它開拓了對數(shù)量關(guān)系更具有一般性的認(rèn)識，例如，數(shù)的乘法（9+7） （9-7）=92-72只表達(dá)了9與7的和差相乘等于這兩數(shù)的平方差，而式的乘法（a+b）（a-b）=a2-b2則表達(dá)了任意兩數(shù)的和差相乘與其平方差相等，即對a，b取任意數(shù)值代人此式，左邊總等于右邊．一般地，式中的字母取使式子有意義的任意數(shù)值時都成立的等式，叫作恒等式，從恒等式的任何一邊得出另一邊，叫作恒等變形，本文要討論的整式乘法與因式分解，就是整式的兩種關(guān)系密切的恒等變形．

一、整數(shù)乘法與因數(shù)分解

含有字母的算式是由數(shù)的算式抽象出來的．為了更好地認(rèn)識整式乘法與因式分解，我們先回顧整數(shù)乘法與因數(shù)分解．

數(shù)的乘法是數(shù)之間的一種運(yùn)算，其過程為：由兩個數(shù)按照乘法法則得到一個數(shù)，如2×3=6.這種運(yùn)算過程可以概括成a×b=c，其中a和b是因數(shù)（乘數(shù)），c是積．

乘法的逆運(yùn)算是除法，其過程為：由乘法的結(jié)果（積）和一個因數(shù)，按照乘法法則逆推得到另一個因數(shù)，如6÷3=2．這種運(yùn)算過程可以概括成c÷a=b，其中c是被除數(shù)，a是除數(shù)，b是商．

如上所述，乘法及其逆運(yùn)算除法，都是由參與運(yùn)算的兩個數(shù)按照運(yùn)算法則得到一個數(shù)，你會注意到，兩個整數(shù)相乘的積仍是整數(shù)，即整數(shù)對于乘法是封閉的；但兩個整數(shù)相除的商不一定是整數(shù)，例如7÷3=7/3，即整數(shù)對于除法不封閉．

如2×3=6，2×5×7=70，整數(shù)乘法是由兩個或更多個整數(shù)（因數(shù)）得到一個整數(shù)（積），即“由多到一”的“合成”變形，把這個變形反過來，如6=2×3，70=2×5×7，由一個整數(shù)（積）得到多個整數(shù)（因數(shù)），即“由一到多”的“分解”變形叫作因數(shù)分解．顯然因數(shù)分解與整數(shù)乘法是方向相反的等式變形，因數(shù)分解在數(shù)的運(yùn)算（如分?jǐn)?shù)的約分或通分）中經(jīng)常使用．

二、整式乘法與因式分解

整式是在用字母表示數(shù)后出現(xiàn)的，整式乘法與因式分解，是整數(shù)乘法與因數(shù)分解的延伸，由數(shù)的乘法法則和運(yùn)算律發(fā)展成整式乘法法則和運(yùn)算律，以冪的運(yùn)算法則為基礎(chǔ)，單項式相乘的積仍為單項式，如3×2·5×y=15×3y.單項式乘多項式或多項式乘多項式的積為多項式，如3m2n（m3+3n3）=3m5n+9m2n4，2a2 （a+b） （a-b） =2a-（a2-b2）=2a4-2a2b2，這些等式都表示整式的乘法，其左邊為幾個整式相乘的形式，右邊以一個整式作為積．

交換上面后兩個等式的左右兩邊，則有等式3m5n+9m2n4=3m2n（m3+3n3）， 2a4-2a2b2=2a2 （a+b） （a-b）．這樣，等式左邊是一個多項式，右邊是幾個整式相乘，一般地，把一個多項式分解成幾個整式相乘的形式，叫作這個多項式的因式分解（也叫作把這個多項式分解因式）．

對比整式乘法與因式分解，可知前者是南幾個整式相乘“合成”為一個多項式的過程，而后者是一個多項式“分解”為幾個整式相乘的過程．顯然，兩者是方向相反的整式恒等變形．

由于整式乘法與因式分解密切相關(guān)，所以常有人以為因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算，其實這種認(rèn)識不正確，與因數(shù)分解與整數(shù)乘法的關(guān)系類似，乘法的逆運(yùn)算仍是除法，如整式乘法（a+b） （a-b ）=a2-b2的逆運(yùn)算，是整式除法（a2-b2）÷（a+b）=a-b或（a2-b2）÷（a-6）=a+b．因式分解a2-b2=（a+b） （a-b），表達(dá)的不是被除式除以除式等于商的運(yùn)算，所以它不是整式乘法的逆運(yùn)算，而只是將整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2等號兩邊左右對調(diào)的恒等變形．

三、因式分解的方法出自對整式乘法作逆向恒等變形

整式乘法的基礎(chǔ)是其法則、公式和運(yùn)算律，因式分解的基本方法，如提公因式法和公式法，都出自對整式乘法作逆向的恒等變形，乘法分配律為a（b+c）=ab+ac，其中字母a，b，c是參與運(yùn)算的元素（數(shù)或式），等號右邊各項有公因式a．將這一等式左右對調(diào)，即ab+ac =a（b+c），這是對乘法分配律的逆用，即提公因式法分解因式，為簡捷地計算某些特殊形式的乘法，人們總結(jié)出一些乘法公式，如（a+b） （a-b）=a2-b2，（a+b ）2=a2+2ab+b2等．將這些公式左右對調(diào)，即a2-b2=（a+b） （a-b），a2±2ab+b2=（a+b）2等，這是對乘法公式的逆用，由此得出因式分解的公式，用它們可以簡捷地對某些特殊形式的多項式分解因式，即公式法分解因式．

四、整式乘法與因或分解都需因題制宜，靈活運(yùn)用

整式乘法與因式分解的基本方法不難掌握，但要靈活機(jī)動地運(yùn)用它們，還需認(rèn)真思考，結(jié)合具體問題選擇最佳解法．

例1 （1）計算：（2a2b3-3b2C3+4c2d3-5d2f3）（2a2b3+3b2c3-4c2d3-5d2f3）.

（2）把a(bǔ)2c+a2+2ab+b2-b2c分解因式．

解：（1）原式=[（2a2b3-5d2f3）-（3b2c3-4c2d3）][（2a2b3-5df3）+（3b2c3-4c2d3）]=（2a2b3-5d2f3）2- （3b2c3-4c2d3）2=4a4b6-20a2b3d2f3+25d4f6-9b4c6+24b2c5d3-16c4d6.

（2）原式=（a2c-b2c ）+（a2+2ab+b2）

=c（a+b）（a-b）+（a+b）：

=（a+b）Ic（a-b）+（a+b）]

=（a+b）（ac-bc+a+b）．

回顧：（1）（2）的解法中，都是先把題中的多項式適當(dāng)分組，這為后續(xù)解題作了必要的鋪墊．

例2 （1）已知a＞b，a+b=m，ab =n，m2＞4n，求a-b．

（2）把a(bǔ)4-4a3+2a2+4a+1分解因式．

解：（1） （a+b ）2=a2+2ab+b2=m2，

（a-b）2=a2-2ab+b2

=a2+2ab+b2-4ab

=m2-4n.

∵a＞b．

∴a-b=根號下m2-4n．

（2）原式=a4-4a3+4a2-2a2+4a+1

=（a4-2a2+1）-（4a3-4a ）+4a2

=（a2-1）2-4a（a2-1）+4a2

=（a2-2a-1）2．

回顧：（1）（2）的解法中，都使用了“拆項”.（1）的解法中，把-2ab拆為2ab -4ab，這就使（a-b）2可用已知字母表示.（2）的解法中，把2a2拆為4a2-2a2，意在適當(dāng)分組后可用完全平方公式，而且后續(xù)能再用公式完成原式的因式分解．

五、因式分解的作用

整式乘法是代數(shù)式的基本運(yùn)算之一，它的作用很多，在此不贅述，因式分解雖不屬于基本運(yùn)算，但這種恒等變形也是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，在計算、化簡、解方程等問題中，因式分解可以發(fā)揮重要作用．

例3 解方程：x3+6x2-4x-24=0.

分析：這是一元三次方程，右邊等于0．如果左邊能分解因式，則可知當(dāng)這些因式中任何一個等于0時，乘積等于0，于是可以根據(jù)這些因式求方程的解，代數(shù)學(xué)中有一個重要的定理：任一實系數(shù)一元n次多項式（n≥1），在實數(shù)范圍內(nèi)都可以分解為一次因式或二次不可再分解的因式的積，例如，二次多項式6x2+x-1=（3x-1）（2x+1），即分解得兩個一次因式的積；三次多項式x3+x2+x-3= （x-1）·（x2+2x+3），即分解得一個一次因式與一個二次因式的積，而且這個二次因式x2+2x+3在實數(shù)范圍內(nèi)不可再分解，根據(jù)這個定理，可通過分解因式來解一元n次方程．

解：把原方程左邊作恒等變形，依次得x2（x+6）-4（x+6）=0，（x+6）（x2-4）=0，（x+6）（x-2）（x+2）=0．顯然，使x+6，x-2，x+2這三個因式中任意一個為0的。的值都是原方程的解，因此，x1=-6，x2=2，x3=-2是原方程的三個解．

回顧：高次方程的解法目前還沒學(xué)，但利用因式分解巧妙地解決了這個問題．以后同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)，這是解高次方程的重要方法．

綜上所述，整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，它們都有重要的作用，隨著今后的深入學(xué)習(xí)，同學(xué)們會不斷加深對它們的認(rèn)識．