弗里德曼數

數學是一門浩瀚偉大的學科，看似平平無奇的數字中卻存在著很多玄妙而有趣的現象．

52=25．

認真觀察這個等式，你會發現一個很有意思的現象，算式52中僅含有數字2和5，而結果25中也僅含有2和5．

類似的算式還有很多，比如：

112=121．

（4÷2）10=1 024，

[（86+2x7）5-91]÷34=123 456 789.

如果一個數可以用自己的各位數字通過加、減、乘、除和乘方算出，這個數就叫作“弗里德曼數”（以美國數學家埃里希·弗里德曼的名字命名）．剛才我們看到，25，121，1 024，123 456 789都是弗里德曼數．

弗里德曼數有多少呢？在所有的兩位數中，只有25是弗里德曼數，占比約為1.1 0-10.在所有的三位數中，弗里德曼數一共有17個，占比約為1.9％．看起來，在自然數當中，弗里德曼數的分布很稀疏．如果數字位數更多，組合出的算式就有更豐富的可能，是不是更容易算出自己呢？在所有的四位數中，弗里德曼數一共有58個，占了大約0.6％．數字位數變多，弗里德曼數所占的比例竟然下降了！

會不會到了位數特別多的時候，就再也沒有弗里德曼數了呢？不會！借助52=25，我們能構造出無數多個弗里德曼數：

502+0=2 500．

5002+0+0=250 000．

5 0002+0+0+0=25 000 000.

事實上，對于任意正整數n，都有：

（5×10n）2=52×102n=25×102n．

其中5×10n里面有n個0，25×102n里面有2n個0．因此，在（5×10n）2的后面添加n個“+0”，這個式子里用到的數字就和25×102n完全一樣了．

利用上面的“模板”，我們還能證明一個更加厲害的結論：弗里德曼數可以用任意數字串結尾！比方說，有沒有哪個弗里德曼數以123結尾呢？有！例如：

5 0002+123=25 000 123.

今年是2024年，有沒有哪個弗里德曼數以2 024結尾呢？有！例如：

50 0002+2 024=2 500 002 024.

這一招適用于任意一個n位數．如果把這個n位數記作N，那么：

（5×10n）2+N=52×102n+N=25×102n+N.

其中5×10n里面有n個0，25×102n里面有2n個0，但加上N之后，后n位數字就變得和N相同．所以，（5×10n）2+N和25×102n+N就擁有完全相同的一組數字．

邁克，里德發現，弗里德曼數也能以任意數字串開頭，比方說，下面這兩個弗里德曼數就分別以123和2 024開頭：

123×（4+6）5+66=12 346 656，

2024×（4+6）5+66=202 446 656.

這一招也可以用于任意一個n位數．如果把這個n位數記作N，那么N乘（4+6）5再加上66，就相當于在N的末尾添加5個0．再加上46 656，本質上也就是直接在N后面添加數字46 656.而46 656正好把“×（4+6）5+66”里的數字用了個遍，因此它就是弗里德曼數了．

有一類非常漂亮的弗里德曼數：算式和得數當中的數字順序也能完全一樣，這樣的弗里德曼數就叫作“好的弗里德曼數”，比如：

-1+27=127．

（3+4）3=343，

163×（8-4）=16 384.

其實，好的弗里德曼數也有無數多個：

2+502=2 502，

2+（500+0）2=250 002，

2+（5 000+0+0）2=25 000 002，

這樣的式子能無限地寫下去，背后也是有原因的．對于任意正整數n．都有：

2+（5×10n）2=2+52×102n=25 000…00+2.

等式最右邊現在有2n個0，但加了2之后，最后那個0會變成2，所以得數實際上有2n-1個0．等式最左邊，數字5的后面一共有n個0．所以，在括號里面添加n-1個“+0”即可．

還有一類更厲害的弗里德曼數，算式里面只有一種數字，例如：

[（11-1）11-1×1]÷（11-1-1）

=11 111 111 111．

[5×（5+5）5+5-5]÷（5+5-5÷5）

=5 555 555 555.

顯然，這樣的弗里德曼數都是好的弗里德曼數，這樣的弗里德曼數又有多少個呢？答案還是無數多個，布倫丹·歐文發現，對于1到9中的任意數字a，25個a或者更多的a連在一起，形成的都是弗里德曼數．

看到這里，你是不是突然覺得，當數字位數夠多時，弗里德曼數的分布應該還是挺密集的？