基于殘差修正GM(1,1)灰色動態模型群的城市用水量預測研究

摘 要：【目的】探究殘差修正GM（1，1）灰色動態模型群在城市用水量預測中的應用。【方法】在傳統單一GM（1，1）灰色模型的基礎上，采用對數曲線對預測結果進行殘差擬合修正，分別構建傳統單一GM（1，1）灰色模型和殘差修正GM（1，1）灰色動態模型群，利用濟寧市2013—2022年實際城市用水量數據進行實例驗證和預測分析。【結果】相對于傳統單一GM（1，1）灰色模型，殘差修正GM（1，1）灰色動態模型群擬合精度和預測精度均有明顯提升，傳統單一GM（1，1）灰色模型擬合相對誤差為0.22%～4.22%，預測相對誤差為0.91%～2.74%，預測平均相對誤差為1.62%，預測均方誤差為0.143，殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群擬合相對誤差在0.02%～3.09%，預測相對誤差為0.75%～2.42%，預測平均相對誤差為1.32%，預測均方誤差為0.102。【結論】濟寧市未來用水量呈下降趨勢，這與濟寧市嚴格落實最嚴格水資源管理制度、剛性約束用水相關指標、用水效率得到提升的情況吻合。殘差修正GM（1，1）灰色動態模型群能夠滿足城市用水量預測。

關鍵詞：殘差修正；灰色動態模型群；用水量預測；濟寧市

中圖分類號：TV213.9" " "文獻標志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2024）22-0090-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.22.019

Prediction of Urban Water Consumption Based on Residual Modified GM（1，1） Grey Dynamic Model Group

Abstract：[Purposes] This paper aims to explore the application of residual modified GM（1，1） grey dynamic model group in urban water consumption prediction.[Methods] On the basis of the traditional single GM（1，1） gray model， the logarithmic curve was used to fit and correct the residual results， and the traditional single GM（1，1） gray model and the residual modified GM（1，1） gray dynamic model group were constructed， the actual urban water consumption data of Jining City from 2013 to 2022 were used for case verification and prediction analysis. [Findings] Compared with the traditional single GM（1，1） gray model， the fitting accuracy and prediction accuracy of the traditional single GM（1，1） gray model group were significantly improved， and the fitting relative error of the traditional single GM（1，1） gray model was 0.22%～4.22%， the prediction relative error was 0.91%～2.74%， the prediction average relative error was 1.62%， the prediction mean square error was 0.143， and the residual modified GM（1，1）0 gray dynamic model group fitting relative error was 0.02% ～3.09%， the relative error of prediction is 0.75%～2.42%， the average relative error of prediction is 1.32%， and the mean square error of prediction is 0.102.[Conclusions] Through the prediction results of Jining's water consumption from 2023 to 2030， it can be seen that Jining's future water consumption is on a downward trend， which is consistent with Jining's strict implementation of the strictest water resources management system， rigid constraints on water-related indicators， and the improvement of water use efficiency.And the residual modified GM （ 1，1 ） gray dynamic model group can meet the prediction of urban water consumption.

Keywords：residual correction; grey dynamic model group; water consumption forecasting; Jining City

0 引言

灰色模型因具有建模所需數據樣本較少、計算簡單且預測精度較好等特點而被廣泛應用［1］。目前，灰色模型在地質演變、經濟指標、氣候環境等方面的預測應用較多［2］。在城市用水量預測中，大多學者采用基于單一灰色模型用水量的預測［3-4］，但灰色模型本身具有隨預見期增長誤差增大的特點。為解決這一問題，蔣白懿等［5］提出了神經網絡與灰色模型相結合的計算方法，該方法提高了預測精度，但需要較多的原始數據變量，對原始數據的要求高，而且單一灰色模型難以消除氣候變化、政策調整等不確定因素的影響，會造成預測結果不準確。因此，本研究在傳統GM（1，1）灰色模型的基礎上提出構建殘差修正GM（1，1）灰色動態模型群。該方法計算簡便，能夠克服氣候變化、政策調整等不確定因素的影響，提高預測精度以濟寧市為研究對象，對構建的模型進行實例驗證和預測分析，探索灰色模型在城市用水量預測中的應用，為濟寧市水資源優化配置提供參考。

1 GM（1，1）灰色動態模型群的構建

1.1 單一傳統GM（1，1）灰色預測模型構建

傳統GM（1，1）灰色模型的構建主要有3個步驟：一是對收集的原始樣本數據進行處理使其呈現指數規律；二是構建一階微分方程并計算結果；三是對計算結果累減得到預測值。

1.1.1 GM（1，1）模型微分方程。設初始非負數據序列見式（1）。

[X（0）=x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）]" " " " " " （1）

通過累加運算后得到X（0）的一階累加序列可以弱化x（0）的擾動，見式（2）。

Z（1）是X（0）的緊鄰均值生成的序列見式（3）、式（4）。

得 GM（1，1）模型對應微分方程為式（5）。

[x（0）（k）+az（1）（k）=b] （5）

式中：z（1）為GM（1，1） 模型的背景值。

1.1.2 構建數據矩陣B及數據向量Y。矩陣B和向量Y見式（6）。

1.1.3 預測模型公式。灰色微分方程的最小二乘估計參數列滿足式（7）。

[u=abT=BTB-1BTY]" " " " " " "（7）

式中：a為發展系數，決定樣本序列的演化趨勢和速度；b為灰色作用量，體現樣本序列的變動關聯。?

構建傳統GM（1，1）灰色模型的一階微分方程并計算結果，計算結果經過累減即為模型預測結果。方程為式（8）。

1.2 單一殘差修正GM（1，1）灰色預測模型構建

為提升殘差修正效果，需要對殘差進行正化處理，根據殘差正負符號，構建殘差符號矩陣C式（19）。

利用傳統GM（1，1）灰色預測模型計算擬合值與實際值的殘差序列，對殘差序列進行正化處理，建立正化殘差序列見式（11）。

殘差修正目的是將所有殘差序列的平方和最小化，此時的曲線就是新建立的殘差非線性的擬合曲線，再使用該殘余偏差曲線調整所有的預測值，以此達到提高估計準確性的目的。通過對照試驗取可用對數公式校正殘差，校正方法見式（12）。

式中：a0、a1為系數。

采用公式（12）對正化殘差序進行擬合，得到修正正殘差序列[ε+0（k）]。

將得到的殘差修正值進行正負符號恢復，見式（13）。

1.3 殘差修正灰色動態模型群構建

以GM（1，1）表示傳統灰色模型，以GM（1，1）0表示殘差修正灰色模型。對于灰色模型，構建模型使用的樣本數據的數量應至少4個。假定樣本數據序列X（1）（k）的數量為n，那么樣本數據序列的最后一個數的組合數為n－3，則可建立起n－3個子模型共同構建的灰色動態預測模型群，單一殘差修正GM（1，1）0灰色模型按式（14）構建，以單一模型預測值的算術平均值作為灰色動態模型群的預測值。

1.4 模型精度檢驗

模型殘差精度檢驗采用相對誤差法（MAPE）和均方誤差法（MSE）。利用參加模型構建的用水量數據實際值與擬合值計算擬合相對誤差，未參加模型構建的用水量數據實際值與預測值計算預測相對誤差和預測均方誤差。

2 實例驗證與預測應用

2.1 研究區域概況

濟寧市位于山東省魯西南腹地，與泰安、臨沂、菏澤、棗莊、江蘇徐州接壤，降雨量空間分布不均勻，降水量自東南向西北遞減。根據《第三次濟寧市水資源調查評價報告》，濟寧市多年平均年降水量為695.3 mm，多年平均天然水資源總量為224 960萬m3。濟寧市降水年內分布變化較大，汛期降水占全年降水量的70%以上，季節性缺水、工程性缺水的問題依然突出。因此，開展濟寧市城市需水量預測具有重要意義。根據《濟寧市水資源公報》濟寧市2013—2022年用水量見表1。

2.2 不同模型對比分析

2.2.1 濟寧市用水量灰色模型群構建。采用濟寧市2013—2019年用水量數據，分別構建傳統單一GM（1，1）灰色模型和4個殘差修正GM（1，1）0灰色模型，4個殘差修正GM（1，1）0灰色模型組成濟寧市GM（1，1）0灰色動態模型群。傳統單一GM（1，1）灰色模型采用2013—2019年數據構建，單一殘差修正GM（1，1）0模型1采用2016—2019年數據，模型2采用2015—2019年數據，模型3采用2014—2019年數據，模型4采用2013—2019年數據，殘差修正GM（1，1）0模型群的輸出結果為4個單一殘差修正GM（1，1）0模型的平均值。本次以單一殘差修正GM（1，1）0模型4為例，說明單一灰色模型構建方法。

首先構建傳統單一GM（1，1）灰色模型，采用2013—2019年濟寧市用水量數據，因此X（0）=（24.10，22.39，23.60，23.50，21.59，21.53，21.36），X1（0）=（24.10，46.49，70.08，93.58，115.18，136.71，158.06）。

根據式（6）構建數據矩陣B及數據向量Y，見式（16）。

矩陣B和向量Y帶入式（8）得a=0.017，b=23.87，因此，傳統單一GM（1，1）灰色模型為式（17）。

（k）=-1 380.02e-0.017（k-1）+1 404.12 （17）

k=2，…，n

根據式（11）模型的殘差修正公式為式（18）。

按照上述方法構建4個不同的濟寧市用水量預測殘差修正GM（1，1）0灰色模型，構建公式見表2。

4個不同的濟寧市用水量預測殘差修正GM（1，1）0灰色模型組成灰色動態模型群，取各模型輸出結果的算數平均作為灰色動態模型群的預測結果。

2.2.2 模型精度對比。對傳統單一GM（1，1）灰色模型和殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群的擬合精度和預測精度進行對比。采用參加模型構建的2013—2019年實際值和擬合值對比計算擬合相對誤差（MAPE），采用未參與模型構建的2020—2022年用水量實際值和預測值對比計算預測相對誤差（MAPE）和預測均方差（MSE）。結果表明，傳統單一GM（1，1）灰色模型擬合相對誤差為0.22%～4.22%，擬合平均相對誤差為2.14%，預測相對誤差為0.91%～2.74%，預測平均相對誤差為1.62%，預測均方誤差為0.143。殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群擬合相對誤差在0.02%～3.09%，擬合平均相對誤差為0.03%～1.26%，預測相對誤差為0.75%～2.42%，預測平均相對誤差為1.32%，均方誤差為0.102。可見，相對于傳統單一GM（1，1）灰色模型，殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群相對誤差和均方誤差更小，擬合精度和預測精度均有提升。兩種模型擬合精度結果見表3，預測精度結果見表4。

2.2.3 濟寧市用水量預測。利用上述方法構建殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群對2023—2030年濟寧市用水量預測，預測結果見表5。可以看出濟寧市用水量呈下降趨勢，到2025年用水量減少為20.22×108m3，比2022年下降2.9%；到2030年用水量減少為18.84×108m3，比2022年下降9.5%。用水量減少的主要影響因素是“十三五”以來，濟寧市嚴格落實水資源管理制度，將用水總量控制、萬元GDP用水量、萬元GDP用水量下降率、萬元工業增加值用水量下降率、工業用水重復利用率、農田灌溉水有效利用系數等指標作為濟寧市“十三五”和“十四五”規劃的剛性約束指標。根據《濟寧市統計年鑒》《濟寧市水資源公報》，得到2013—2022年濟寧市用水效率指標，濟寧市萬元GDP用水量和萬元工業增加值用水量呈下趨勢，2013—2022年的10年間，萬元GDP用水量由68.8m3下降到39.2m3，下降了43.0%；萬元工業增加值用水量由18.4m3下降到14.3m3，下降了22.3%。通過對2013—2022年濟寧市用水量與萬元GDP用水量、萬元工業增加值用水量之間的Pearson相關系數分析可以看出，濟寧市用水量與萬元GDP用水量相關系數達到0.964，為極強相關等級，與萬元工業增加值用水量相關系數為0.557，為中等相關等級。可見，用水效率的提升是濟寧市用水量減少的重要因素之一。Pearson相關系數等級［6］見表6，濟寧市各指標與用水量Pearson相關系數及相關程度見表7。

3 結論

①通過對傳統GM（1，1）灰色動態模型和殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群的構建和對比可以看出，殘差修正灰色動態模型群的精度有了較大提升，殘差修正GM（1，1）0灰色動態模型群可以應用于用水量的預測。

②根據預測結果，濟寧市用水量呈下降趨勢，這與“十三五”以來濟寧市嚴格落實水資源管理制度，剛性約束用水相關指標的情況吻合。參照預測結果，水資源管理部門可在水資源用水趨勢的預見期內，提前布局，適時提升高新技術產業規模，合理優化配置水資源。

③構建的殘差修正GM（1，1）0灰色模型群為動態模型，隨時間推移可以不斷更新構建模型的原始數據系列，達到提高預測精度的目的。

參考文獻：

［1］蔣延軍，李運德，李樹德，等.基于灰色GM（1，1）模型的桂林市GDP預測研究［J］.桂林航天工業學院學報，2022，27（4）：533-538.

［2］秦杰.凈零目標下長江中游城市群空氣質量的分數階灰色預測研究［D］.重慶：重慶工商大學，2023.

［3］蔣白懿，杲紅雙，孫志民，等.基于ES殘差優化的GM（1，1）模型預測城市用水量［J］.水電能源科學，2022，40（12）：85-88.

［4］趙偉麗，林洪娟.基于灰色預測模型的水資源現狀分析和預測探討［J］.中國設備工程，2021（9）：255-256.

［5］蔣白懿，牟天蔚，王玲萍.灰色遺傳神經網絡模型對居民年需水量預測［J］.給水排水，2018，54（1）：137-142.

［6］張健，劉猛，梁斐斐，等.近二十年南四湖水環境演變及其驅動因素分析［J］.寧波大學學報（理工版），2023，36（4）：42-47.