基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法研究

摘要：高光譜圖像具有圖譜合一的特點(diǎn)，充分利用礦物在圖像中的空間信息和光譜信息，將有利于實(shí)現(xiàn)高光譜圖像礦物填圖任務(wù)。提出了一種基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法，利用張量塊分解模型對(duì)高光譜圖像進(jìn)行三維分解，得到每種礦物的空間分布及其光譜曲線組合。該方法保持了礦物在原始三維高光譜數(shù)據(jù)中的空-譜約束關(guān)系，在礦物填圖領(lǐng)域體現(xiàn)出了獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。通過(guò)仿真和實(shí)測(cè)的高光譜圖像實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了方法的有效性。

關(guān)鍵詞：高光譜 ；礦物填圖；張量塊分解；空間信息；光譜信息

一、前言

高光譜圖像具有“圖譜合一”的特性，同時(shí)記錄了被觀測(cè)地物的光譜和空間信息。礦物填圖是一種專用于確定巖礦物質(zhì)組成的填圖技術(shù)，利用高光譜遙感手段進(jìn)行礦物填圖能夠充分發(fā)揮圖譜特征在巖石礦物識(shí)別方面的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)礦物的精細(xì)識(shí)別和定量提取。高光譜礦物填圖技術(shù)在地質(zhì)礦產(chǎn)勘查中逐漸發(fā)揮了重要作用，已成為當(dāng)前國(guó)內(nèi)外遙感地質(zhì)應(yīng)用領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)[1]。

目前，主流的高光譜礦物填圖技術(shù)主要分為三種[2]：基于全局光譜曲線匹配技術(shù)、基于局部光譜特征參數(shù)匹配技術(shù)和基于深度學(xué)習(xí)的方法。基于全局光譜匹配礦物填圖技術(shù)應(yīng)用廣泛，其核心思想是度量光譜曲線之間的相似度，常用的度量方法包括：光譜夾角度量（Spectral Angle Measure，SAM）、光譜相關(guān)系數(shù)度量（Spectral Correlation Measure，SCM）、光譜信息散度度量（Spectral Information Divergence Measure， SIDM）等。基于局部光譜特征參數(shù)匹配的礦物填圖技術(shù)主要是根據(jù)礦物光譜曲線的局部反應(yīng)的特征參數(shù)進(jìn)行礦物特性分析，從而確定礦物的類別，常用的局部光譜曲線特征參數(shù)包括：光譜吸收帶的波長(zhǎng)位置、對(duì)稱度、寬度、深度、斜度和偏斜度等，光譜吸收帶最大吸收位置、光譜斜率、面積和吸收指數(shù)等。

作為基于深度學(xué)習(xí)的礦物提取方法近幾年來(lái)的研究熱點(diǎn)，自編碼網(wǎng)絡(luò)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、殘差網(wǎng)絡(luò)、長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)等作為典型的網(wǎng)絡(luò)模型被應(yīng)用于高光譜圖像礦物分類中，與傳統(tǒng)方法相比，在分析提取礦物潛在特征時(shí)表現(xiàn)出了較大優(yōu)勢(shì)，能夠提高礦物提取精度[3]。

現(xiàn)有的大部分方法都是將礦物的光譜獨(dú)立看待，僅分析礦物的光譜特性[4]。然而，高光譜數(shù)據(jù)是一個(gè)三維立方體數(shù)據(jù)，除了光譜特性外，礦物的空間分布還構(gòu)成了其空間特性。礦物填圖的結(jié)果是既能指示出某種礦物的空間分布，還要能夠給出該礦物的光譜特征。

如果能夠同時(shí)利用高光譜數(shù)據(jù)的光譜和空間特性進(jìn)行礦物填圖分析，將非常契合礦物填圖的根本目標(biāo)。基于此，提出了一種基于張量塊分解模型的高光譜遙感圖像礦物填圖方法。

二、張量塊分解的基本原理

張量塊分解（Block Tensor Decomposition） [5]是一種應(yīng)用非常廣泛的張量運(yùn)算理論。

（一）張量塊分解的定義

一個(gè)三階張量X∈RI1×I2×I3 （I1 、I2 、I3分別代表三個(gè)維度的大小）經(jīng)過(guò)塊分解之后，得到一組秩為rank-（Lr，Lr，1）（Lr為前兩個(gè)維度的秩）的子項(xiàng)之和的形式。每個(gè)子項(xiàng)是由一個(gè)矩陣和一個(gè)向量外積組成，如下式：

其中，矩陣Mr∈RI1×I2 的秩為L(zhǎng)r，向量sr的維數(shù)為RI3 ，R為分解得到的子項(xiàng)個(gè)數(shù)。圖1展示了三階張量的塊分解示意圖。

如果進(jìn)一步將矩陣Mr進(jìn)行分解，得到：

其中，矩陣Ar∈RI1×Ir 和Br∈RI2×Ir的秩都為L(zhǎng)r。

（二）張量塊分解的求解過(guò)程

研究人員在2008年提出了一種交叉最小二乘方法（Block Tensor Decomposition-ALS） [6]，用于解決三階張量塊分解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體過(guò)程如下：

對(duì)于一個(gè)待分解的三階張量X，其優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)定義如下：

其中，X?為經(jīng)過(guò)張量塊分解后，得到的估計(jì)數(shù)據(jù)，可由公式（1）計(jì)算得到。

同理可得以下表達(dá)式：

上述公式可以采用交替迭代的思路進(jìn)行求解，即先固定其中兩個(gè)矩陣，迭代求解另外一個(gè)矩陣。收斂后，再固定另外兩個(gè)矩陣，迭代求解第三個(gè)矩陣。如此反復(fù)，直到最終收斂。具體實(shí)現(xiàn)由以下三個(gè)最小二乘的子優(yōu)化問(wèn)題組成：

公式（7）-（9）的求解過(guò)程可以描述為：首先給定三個(gè)因子矩陣的初始值A(chǔ)0、B0和S0，進(jìn)行迭代優(yōu)化。在迭代到第k+1次時(shí)，固定Bk和Sk，然后更新得到Ak+1。接著，固定Ak+1和Sk，更新得到Bk+1。同理，固定Ak+1和Bk+1，更新得到Sk+1。如此進(jìn)行下去，直到算法收斂。

為了更加形象地展示利用張量塊模型進(jìn)行礦物填圖的數(shù)學(xué)過(guò)程，圖2給出了相應(yīng)的示意圖。圖2（a）展示了由三種不同礦物分布組成的一個(gè)高光譜圖像數(shù)據(jù)，不同礦物分別用不同的顏色方塊進(jìn)行區(qū)分。圖2（b）展示了三種礦物所對(duì)應(yīng)的光譜曲線。理想情況下，高光譜礦物填圖的最終目標(biāo)是想要得到如圖2（c）— （h）所示結(jié)果，它們分別清晰地展示了每種礦物的空間分布及其對(duì)應(yīng)的光譜曲線，而張量塊分解模型與高光譜礦物填圖過(guò)程非常匹配。因此，本文選用張量塊分解模型對(duì)高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以期得到理想的礦物填圖結(jié)果。

三、基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法

本文提出了一種基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法，具體的步驟如下：

1.利用一個(gè)X∈RI1×I2×I3表示原始的高光譜圖像三維立方體，I1 、I2 和I3分別代表圖像的高度、圖像的寬度和波段個(gè)數(shù)；

2.對(duì)該數(shù)據(jù)實(shí)施三階張量塊分解，經(jīng)過(guò)分解后，得到多個(gè)子項(xiàng)Mrosr （r=1，2，…，R），每個(gè)子項(xiàng)為一個(gè)矩陣Mr和一個(gè)向量sr的外積，如公式（1）和圖1所示；

3.由于張量分解是特征變換過(guò)程，每個(gè)子項(xiàng)中的向量sr為原始光譜曲線的特征變換曲線。為了達(dá)到利用原始光譜曲線填圖的目的，本文取出每個(gè)Mr中能量最高的像元原始光譜的平均值作為該礦物對(duì)應(yīng)的光譜曲線。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

（一）數(shù)據(jù)介紹

1.仿真數(shù)據(jù)

仿真數(shù)據(jù)是通過(guò)從美國(guó)地質(zhì)勘探局（United States Geological Survey）標(biāo)準(zhǔn)光譜庫(kù)（Spectroscopy Lab）中選取的3條不同地物所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)光譜曲線按照設(shè)計(jì)的空間分布所生成的，如圖3所示。圖3（a）中展示了被選的3種地物的光譜曲線，分別記為光譜1，光譜2和光譜3。設(shè)計(jì)像元分布如圖3（b）所示，并將三種光譜曲線填充到對(duì)應(yīng)的區(qū)域，形成三維的高光譜放在數(shù)據(jù)。其中，B為圖像的背景區(qū)域，中間方框區(qū)域內(nèi)的上面8個(gè)像元為第一種礦物的分布，記為T1，下面8個(gè)像元為第二種礦物的分布，記為T2。

2.實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)源于美國(guó)內(nèi)華達(dá)州的Cuprite礦區(qū)高光譜圖像數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)覆蓋光譜區(qū)域?yàn)椋?00-2500nm，實(shí)驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)是去除了噪聲波段后的輻射能量數(shù)據(jù)。本部分實(shí)驗(yàn)截取了150×150大小的區(qū)域，如圖4所示，圖像中包含了3種主要礦物。

（二）實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

1.仿真數(shù)據(jù)結(jié)果

仿真數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖如圖4所示。圖5展示了兩種礦物（T1和T2）經(jīng)過(guò)張量塊模型分解后，得到其對(duì)應(yīng)的像元的空間分布結(jié)果。圖5（a）中像素能量主要展示了礦物T1的空間分布信息，而圖5（b）中像素能量主要展示了礦物T2的空間分布信息。

2.實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果

圖6中給出了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖。從圖中可以看出，本文提出的方法較好地完成了礦物填圖實(shí)驗(yàn)，分別找出了3種礦物的空間分布及其對(duì)應(yīng)的光譜曲線。

五、結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于張量塊分解的高光譜遙感圖像礦物填圖方法。該方法通過(guò)張量塊分解直接對(duì)原始的三維高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，這種處理方式保留了原始數(shù)據(jù)礦物的空間分布及其光譜曲線之間的原始結(jié)構(gòu)信息，體現(xiàn)了該方法在礦物填圖方向上的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。在仿真和實(shí)測(cè)高光譜圖像數(shù)據(jù)上分別進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分驗(yàn)證了提出方法的有效性。

參考文獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：湖南省自然資源廳科技計(jì)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2023-31）

作者單位：湖南工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院

責(zé)任編輯：張津平、尚丹