求解逆擬變分不等式的時滯神經網絡

摘要：文章主要研究求解歐氏空間中逆擬變分不等式問題的一種時滯神經網絡。首先，在余強制和Lipschitz連續性的條件下，利用不動點原理得到逆擬變分不等式問題解的存在性和唯一性。進一步考慮求解逆擬變分不等式問題的一種時滯神經網絡，并且在強單調和Lipschitz連續性的條件下證明該時滯神經網絡的全局指數穩定性。

關鍵詞：余強制；Lipschitz連續性；強單調；逆擬變分不等式；時滯神經網絡；全局指數穩定

中圖分類號：O221文獻標志碼：A文章編號：1673-5072（2025）01-0036-06

Time-delay Neural Networksfor Solving Inverse Quasi-variational Inequalities

Abstract：In this paper，a delay neural network for solving inverse quasi-variational inequalities in Euclidean space was studied.Firstly，under the conditions of cocoercion and Lipschitz continuity，we obtained the existence and uniqueness of the solution of the inverse quasi-variational inequality problem by using the fixed point principle.Furthermore，we considered a delayed neural network for solving the inverse quasi-variational inequality problem，and proved the global exponential stability of the delayed neural network under the conditions of strongly monotone and Lipschitz continuity.

Keywords：cocoercion；Lipschitz continuity；strongly monotone；inverse quasi-variational inequality；time-delay neural network；global exponential stability

變分不等式在經濟、交通、優化、運籌學和工程科學等領域有著廣泛的應用，逆擬變分不等式（IQVI）是一類重要的變分不等式。2004年，Xia和Wang［1］ 提出了一種求解變分不等式的通用投影神經網絡，并研究其全局指數穩定性。2012年，Noor ［2］使用投影算子技術建立了一般擬變分不等式與不動點問題和維納-霍普夫方程之間的等價性。2020年，張從軍等［3］研究了Hilbert空間中逆擬變分不等式問題，利用不動點原理得到逆擬變分不等式問題解的存在性和唯一性，利用投影技巧給出求解逆擬變分不等式的迭代算法以及誤差界。2022年，常浩等［4］借助不動點理論，給出擬均衡問題解存在唯一的充分條件并考慮了一個動力系統方法來求解擬均衡問題。2023年，Dey 和Reich ［5］研究了一類擬變分不等式逆問題解的存在唯一性，考慮了相關的動力系統，并建立了該系統解的存在唯一性。

近年來，應用神經網絡求解變分不等式問題已經取得很好的成果，但是在神經網絡電路實現中，時滯往往是不可避免的，時滯的存在會導致系統的不穩定，但也可以改變神經網絡的拓撲結構，因而可以利用時滯來改善網絡動態行為，研究時滯神經網絡求解優化問題更具有實際價值［6-10］。2007年，畢紅梅和王婧［9］考慮了一類新的非線性變分不等式，提出了求解的一個神經網絡模型，證明了該網絡是Lyapunov穩定的。2014年，黃博南［10］提出一類用于求解非線性逆變分不等式問題的時滯投影神經網絡模型，根據泛函微分方程理論給出神經網絡平衡點的存在性和唯一性證明，根據Lyapunov穩定性理論并利用線性矩陣不等式技術和自由矩陣技術得到了神經網絡是全局指數穩定的。

本文首先提出逆擬變分不等式在余強制和Lipschitz連續性的前提下，通過不動點原理證明了該問題解的存在性和唯一性。同時，考慮求解該問題的一種時滯神經網絡，根據Lyapunov穩定性理論，利用線性矩陣不等式技術和自由矩陣技術，在強單調和Lipschitz連續性的條件下證明該時滯神經網絡的全局指數穩定性。

1預備知識和基本概念

2解的存在性和唯一性

3時滯神經網絡

下面提出一種求解逆擬變分不等式的時滯神經網絡

在文獻［13］中也給出了類似的時滯神經網絡全局指數穩定性的定義。

由定義5可以看出，x*∈Rn是IQVI（F，g，K）問題的解，當且僅當x*是系統（3）的平衡點。

在系統（3）中，當F（x）=x且K（x）≡K，K是Rn中的非空閉凸子集，則可以退化為文獻［10］提出的求解逆變分不等式的時滯神經網絡，如下

則系統（3）的平衡點是全局指數穩定的，且

令（5）式為N，則上式中c=λmin（－N），b=λmin（P）。

證明考慮如下Lyapunov泛函

對以上式子進行整理可得

從而，對任意的正定對角矩陣D，都有如下不等式成立

2（G（x）－G（x*））TD（G（x）－G（x*））2［γ2+L2+α2β2+2（γL+γαβ－αη）］（x－x*）TD（x－x*）。（7）

又因為‖g（x）－g（x*）‖L‖x－x*‖，所以對任意正定對角矩陣H，都有如下不等式成立

（g（x）－g（x*））TH（g（x）－g（x*））L2（x－x*）TH（x－x*）。（8）

將式（7）和（8）代入式（6）中可得

其中c=λmin（－N）gt;0。

注釋3當F（x）=x且K（x）≡K時，定理3退化為文獻［10］中的結果，如下。

設g是L-Lipschitz連續的，若存在正定對稱矩陣P，Q∈Rn×n，正定對角矩陣D，H∈Rn×n和正常數α，使如下的線性矩陣不等式成立

參考文獻：

［1］XIA Y，WANG J.A general projection neural network for solving monotone variational inequalities and related optimization problems［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2004，15（2）：318-328.

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［3］張從軍，李楊，孫杰，等.逆擬變分不等式問題的相關研究［J］.數學雜志，2020，40（3）：341-353.

［4］常浩，馮世強，李軍.求解強偽單調擬均衡問題的動力系統方法［J］.西華師范大學學報（自然科學版），2022，43（2）：170-175.

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