高中數(shù)學(xué)試題情境的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

基金項(xiàng)目：2024年龍巖學(xué)院面向龍巖市基礎(chǔ)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“基于‘五育’視角下高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究”（編號：2024JCJY03）；2023年龍巖市高級中學(xué)教育組團(tuán)課題“高中數(shù)學(xué)試題命制的實(shí)踐研究”

1.引言

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查”“選擇合適的問題情境”，還要求“問題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)自然、合理”.數(shù)學(xué)試題命制涵蓋小到練習(xí)小測、大到質(zhì)檢考和高考，命題者在命制數(shù)學(xué)試題時(shí)，應(yīng)考慮知識點(diǎn)的覆蓋面、思想方法與核心素養(yǎng)的滲透、試題的難易度等，更離不開試題情境的創(chuàng)設(shè).

2.試題情境的特征

試題情境的命題背景在不斷創(chuàng)新，不斷創(chuàng)設(shè)新情境，更多地將學(xué)科外延、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)之美、生活情境、科學(xué)情境的案例滲透教材、融入課堂，植根在數(shù)學(xué)試題中，讓數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)試題變得生動有趣，為數(shù)學(xué)問題的設(shè)置提供了一片片沃土.問題情境是考查學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體，課標(biāo)指出，情境包括數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境、科學(xué)情境等熟悉的、關(guān)聯(lián)的、陌生的或綜合性的.

3.試題情境創(chuàng)設(shè)的方法

3.1" 呈現(xiàn)求解方法

在數(shù)學(xué)知識與方法形成和發(fā)展的進(jìn)程中，可能會滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法或解題策略，比如，教材中對數(shù)換底公式、正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)過程就是解題方法.在命制試題時(shí)，直接給出解題方法求解簡單問題，從側(cè)面讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美麗和數(shù)學(xué)的魅力，展示數(shù)學(xué)既是一門工具學(xué)科，更是一門具有藝術(shù)美的基礎(chǔ)學(xué)科.

例1" 36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6=22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）×（1+3+32）=91，參照上述方法，可求得4 000的所有正約數(shù)之和為.

3.2" 類比所學(xué)方法

任何一道經(jīng)典試題在命制過程中都有原型或命題背景，考查有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和能力.以數(shù)列為例，我們知道數(shù)列的通項(xiàng)ABCD與前A項(xiàng)和B的遞推關(guān)系為C（－2，1）.此遞推關(guān)系式的應(yīng)用在各種練習(xí)、考試已經(jīng)屢見不鮮，如an+Sn=2，可以消an求Sn，也可以消Sn求an，命題者如何改變試題情境再次考查遞推關(guān)系式呢？比如，這樣命制：已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且lga11+lga22+lga33+…+lgann=n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

顯然，在命題形式上有一定的變化，但是，它的原型還是見過，能否有新的變化，不要呈現(xiàn)“相減”，而是其他運(yùn)算呢？聯(lián)想到πn=a1a2a3…an，則可這樣命制：已知非零數(shù)列{an}滿足（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）=2n（n+1）2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.可見，由原來常見的相減、轉(zhuǎn)化思想切換為相除求通項(xiàng)公式，命題思想沒變，但是試題情境發(fā)生了較大變化，題目新穎，能有效考查學(xué)生的思維品質(zhì).

3.3" 條件不變，變換設(shè)問

不改變試題情境，但對設(shè)問可以不斷地改變，考查不同的數(shù)學(xué)知識與思想方法，如文［2］例1的設(shè)問可以有7個(gè)小問，再深入探究，或許有更多的設(shè)問方式.海納百川，同一條件不同的設(shè)問，可以涉及更多的基礎(chǔ)知識與核心素養(yǎng)，一題多問可以帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海戰(zhàn)術(shù)，是對數(shù)學(xué)問題的“再創(chuàng)造”，是“減負(fù)增效”的一種有效方式，更是提升教師自身專業(yè)發(fā)展的有效途徑.以橢圓的定義為例，可以創(chuàng)設(shè)以下不同的設(shè)問，且具有明顯的層次性和遞進(jìn)性：

例2" 已知P是橢圓x210+y26=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，則|PF1|+|PF2|=.

設(shè)問1：ΔPF1F2的周長為.

設(shè)問2：若|PF1|=7，則|PF2|=.

設(shè)問3：|PF1|·|PF2|的最大值為.

設(shè)問4：|PF1|2+|PF2|2的最小值為.

設(shè)問5：1|PF1|+4|PF2|的最小值為.

設(shè)問6：若點(diǎn)M（1，－2），則ΔMPF2周長的最大值為.

設(shè)問7：點(diǎn)M與F1，F(xiàn)2不重合，若M關(guān)于F1，F(xiàn)2對稱的兩個(gè)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，則|AN|+|BN|=.

3.4" 改變情境，解法不變

教材的例習(xí)題是高考命題的重要題源，對教材的“再改編”是數(shù)學(xué)命題的重要法寶，如文［3］對教材的一道例題精心、深入探究，對問題情境從7個(gè)維度進(jìn)行拓展，得到一系列有趣的結(jié)論.文［4］從拋物線切換到橢圓，再到雙曲線，變換試題情境，精彩紛呈，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，尋找解法的共性，多題歸一，領(lǐng)悟解決此類問題的本質(zhì).

例3" 已知點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)F是雙曲線E：x24－y212=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是E右支上的動點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為.

情境改編1：雙曲線E：x29－y240=1上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為9，則P到右焦點(diǎn)的距離為（" ）.

A．15" B．3" C．3或15" D．5或12

情境改編2：已知點(diǎn)A（5，2），點(diǎn)F是雙曲線E：x24－y212=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是E右支上的動點(diǎn)，則|PF|－|PA|的最大值為.

情境改編3：已知點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)F是橢圓C：x24+y23=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的動點(diǎn)，則|PA|－|PF|的最小值為.

情境改編4：已知點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的動點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為.

點(diǎn)評" 通過改變問題情境，考查問題的本質(zhì)“圓錐曲線的定義和三點(diǎn)共線求最值問題”，試題的解法沒有改變，“一題多變”可以促進(jìn)學(xué)生加深理解、掌握對某類問題的解決.

3.5" 情境不變，創(chuàng)新解法

例4" （文［3］探究1改編）已知O為原點(diǎn)，一直線l與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B.若OA⊥OB，試探究直線l恒過定點(diǎn).

創(chuàng)新解法" 設(shè)直線l的方程為mx+ny=1，A（x1，y1），B（x2，y2）.由y2=2x可得y2=2x（mx+ny），整理得y2－2nxy－2mx2=0，則（yx）2－2n（yx）－2m=0，由韋達(dá)定理有y1x1·y2x2=－2m，即y1y2=－2m·x1x2" ①.由OA⊥OB得OA·OB=x1x2+y1y2=0" ②.由①②解得m=12，代入mx+ny=1得12x+ny=1，可知直線l恒過定點(diǎn)（2，0）.

點(diǎn)評" 在三角函數(shù)中有齊次式，也用過1的代換，這類數(shù)值代換的齊次式方法遷移到圓錐曲線，可以有效處理更多的相關(guān)問題，起到化繁為簡之效.

例5" 已知A，B是橢圓E：x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)（2，0）的直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)（不同于A，B），求證：直線AM與直線BN的交點(diǎn)必在定直線上.

析解" 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線l的方程為x=my+2.聯(lián)立x29+y25=1消x整理得（5m2+9）y2+20my－25=0，由韋達(dá)定理有y1+y2=－20m5m2+9，y1y2=－255m2+9.直線AM的方程為y=y1x1+3（x+3），BN的方程為y=y2x2－3（x－3），消y得它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=32my1y2+5y2－y1y1+5y2=32my1y2+5y2－y1y1+y2+5y2=32m－255m2+9+5y2+（20m5m2+9+y2）－20m5m2+9+5y2 =34×－30m+（5m2+9）·6y2－5m+（5m2+9）y2=92.

點(diǎn)評nbsp; 解答題中涉及有關(guān)定點(diǎn)、定值和最值問題是圓錐曲線考查的熱點(diǎn)、重點(diǎn)與難點(diǎn).不少同學(xué)在化簡橫坐標(biāo)x的表達(dá)式的過程中，沒有善于利用韋達(dá)定理和轉(zhuǎn)化思想而放棄后續(xù)的求解過程，甚是可惜.對于非對稱的韋達(dá)定理問題，應(yīng)合理把未知關(guān)系轉(zhuǎn)化為顯性關(guān)系，未必要把參數(shù)逐一轉(zhuǎn)化，能整體消元便達(dá)到目的了.事實(shí)上，對本例一般化，直線l過焦點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)必在橢圓的準(zhǔn)線上，還可推廣到非焦點(diǎn)情形，有興趣的讀者可以嘗試證之.

3.6" 優(yōu)化情境，切入點(diǎn)寬

例6" 已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（－2，1），（－1，3），（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo). ［5］

分析" 平行四邊形是一類特殊圖形，有其特殊的性質(zhì).本例看起來樸實(shí)，卻是經(jīng)典，在試題情境上可以做文章，，利用“ABCD”等價(jià)的說法改編試題情境，可以增加考生的閱讀量和轉(zhuǎn)化思想；解法上也為后續(xù)空間幾何求點(diǎn)和向量的坐標(biāo)作了鋪墊，在知識與方法的遷移上有很好的示范性.

情境1：已知AB=DC，且點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（－2，1），（－1，3），（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

情境2：已知AB∥CD，AD∥BC，且點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（－2，1），（－1，3），（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

情境3：已知四邊形ABCD，AB=DC，對角線AC與BD互相平分，且點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（－2，1），（－1，3），（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

解法1" （利用向量相等）設(shè)D（x，y），則CD=（x－3，y－4）.由于BA=（－1，－2），CD=BA，那么x－3=－1，

y－4=－2， 解得x=2，y=2， 故D（2，2）.

解法2" （利用向量加法）設(shè)D（x，y），則BD=（x+1，y－3）.

由BA=（－1，－2），BC=（4，1）得BD=BA+BC=（3，－1），

從而x+1=3，y－3=－1， 解得x=2，

y=2， 故D（2，2）.

解法3" （利用向量減法）BA=（－1，－2），由CD=BA得OD－OC=BA.

所以O(shè)D=OC+BA=（2，2），故D（2，2）.

解法4" （利用中點(diǎn)坐標(biāo)）設(shè)D（x，y），記ABCD兩條對角線的交點(diǎn)為M.

由A（－2，1），C（3，4）及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（12，52）.

由于M也是BD的中點(diǎn)，因此x－12=12，

y+32=52， 解得x=2，y=2， 故D（2，2）.

解法5" （利用直線相交）易求得直線AD的方程為x－4y+6=0，直線CD的方程為2x－y－2=0，聯(lián)立解得x=2，

y=2， 故D（2，2）.

點(diǎn)評" 以上從五個(gè)維度求解點(diǎn)的坐標(biāo)，從運(yùn)算過程分析，策略3比較簡潔. 教材中的性質(zhì)、定理、公式和結(jié)論的推導(dǎo)過程，以及經(jīng)典例習(xí)題蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法、解題策略和數(shù)學(xué)運(yùn)算. 在解題中靈活運(yùn)用，并推廣、遷移，能豐富數(shù)學(xué)知識方法和思維體系，拓寬數(shù)學(xué)視野，為今后解決數(shù)學(xué)問題提供方向.一題多解，通過多視角研究問題、解決問題，再比較求解過程，可以避繁就簡，減少不必要的運(yùn)算量.

4.結(jié)語

教師應(yīng)加強(qiáng)對試題情境進(jìn)行研究與實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與應(yīng)用意識，舉一反三、融會貫通，以不變應(yīng)萬變，提升思維品質(zhì)與解題能力，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng).在教學(xué)中，教師可根據(jù)教學(xué)需要，認(rèn)真鉆研教材，鉆研真題，結(jié)合學(xué)情，創(chuàng)設(shè)真實(shí)又合適的問題情境，滲透數(shù)學(xué)思想與方法，點(diǎn)撥解題的各種策略與對應(yīng)的視角，積極培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，體驗(yàn)簡約又深刻的探究過程，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)相長，才能相得益彰，提升思維品質(zhì)和核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］ .北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 謝盛富. 探究試題出“新題”，推理題干得“結(jié)論”［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（7）：12-14.

［3］ 謝盛富. 源自例題 現(xiàn)于真題 探究“新題”［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2020（11）：16-18.

［4］ 謝盛富. 一類圓錐曲線試題的解法探究［J］. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（3）：32-34.

［5］ 章建躍，李增滬主編. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修第二冊）［M］.北京：人民教育出版社，2019.