挖掘問題內涵，巧妙思維應用

1. 引言

含參不等式恒成立問題融入含參場景下的函數、方程或不等式等基本要素及其之間的綜合與應用，一直是高考命題中的重點與熱點．此類問題形式多樣，創新新穎，內涵豐富多彩，知識綜合性強，是全面考查考生“四基”與“四能”的一個很好場景，具有較好的選拔性與區分度，倍受各方關注．

2. 真題呈現

（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·8） 設函數f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（" ）.

A．18""" B．14""" C．12""" D．1

此題以含雙變元的函數解析式為問題場景，結合不等式恒成立來創設條件，進而確定雙變元的平方和a2+b2的最值問題．題目涉及雙變元的函數解析式，直接切入有點困難．該問題中，對應兩個函數有兩個零點，乘積恒大于等于0，一定會有零點相同，接下來就是二次函數的最值應用問題，全面考查轉化與化歸思維，以及邏輯推理能力．

基于問題應用場景，比較常見的思維方式就是對函數進行直接求導，然后陷入到一個分析雙變元的“怪圈”中去；或者將問題中的雙變元的平方和a2+b2，回歸代數式的幾何意義，看作對應距離的平方，然后陷入到變換主元的陷阱中去．而回歸函數解析式以及不等式恒成立的題設條件，或通過分類討論思維來“分拆”相應的解析式來討論與應用，或通過函數與導數思維來“求導”確定函數與導數的綜合應用，或通過函數圖象的平移變換思維來“變換”確定簡捷函數問題下的不等式恒成立問題等，這些基本思維方式都給問題的分析與求解創造一點突破的條件，使得問題得以巧妙轉化，實現問題的解決．

3．真題破解

3．1" 分類討論思維

解法1" 由于不等式f（x）≥0恒成立，則對函數f（x）=（x+a）ln（x+b）而言，

當x+a≥0時，可知x≥－a，此時必須滿足ln（x+b）≥0，即x≥1－b；

而當x+a≤0時，可知x≤－a，此時必須滿足ln（x+b）≤0，即x≤1－b.

綜上分析，要使不等式f（x）≥0恒成立，即兩者始終同號，則必須滿足－a=1－b，即b－a=1．所以a2+b2=12［（a－b）2+（a+b）2］≥12（a－b）2=12，當且僅當（a+b）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．所以a2+b2的最小值為12，故選C．

解法2" 同方法1解得b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2=（a+12）2+12≥12，當且僅當（a+12）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．所以a2+b2的最小值為，故選C．

點評" 根據函數解析式的乘積結構特征，合理分類討論，探究不同條件下自變量的取值情況，進而結合不等式恒成立加以統一思維處理，構建雙變元之間的關系式，為問題的進一步求解與應用創造條件．而在雙變元所滿足的關系式條件下，或通過代數式的變形，或利用消元法的處理，結合不等式的基本性質加以分析與求解．

3．2" 函數與導數思維

解法3" 函數f（x）=（x+a）ln（x+b）的定義域是{x|xgt;－b}．

考慮到f（－a）=0，以及不等式f（x）≥0恒成立，所以x=－a是函數f（x）的最小值點，則有－agt;－b，即a＜b．而由f（x）=（x+a）ln（x+b），求導得f′（x）=ln（x+b）+x+ax+b，則有f′（－a）=ln（－a+b）=0，可得b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2（a+12）2+12≥12，當且僅當（a+12）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．

所以a2+b2的最小值為12，故選C．

點評" 根據函數的定義域以及對應的函數零點，結合不等式恒成立的條件加以分析，確定函數的最小值點，這為進一步利用導數解決問題創造條件．而利用函數在最值點處導函數值為0，給問題的進一步求解與應用創造條件，這也是導數法的一大重要作用，要加以熟練理解與掌握，必要時還要判斷最值點處是否存在．

3．3" 平移變換思維

解法4" 由f（x）≥0恒成立，結合平移變換可知f（x－b）=（x+a－b）lnx≥0恒成立，整理得xlnx≥（b－a）lnx恒成立．

設函數g（x）=xlnx，h（x）=（b－a）lnx，而g（1）=h（1）=0，即滿足有公切點（1，0）的兩個函數所對應的不等式g（x）≥h（x）恒成立問題，此時應該滿足在公切點（1，0）處的切線相同．則g′（1）=h′（1），g（1）=h（1），即g′（1）=h′（1）．

而g′（x）=lnx+1，h′（x）=b-ax，則有ln1+1=b-ax，即b－a=1．所以a2+b2=a2+（a+1）2=（a+12）2+12≥12，當且僅當（a+12）2=0，即a=－12，b=12時等號成立．所以a2+b2的最小值為12，故選C．

點評" 依托不等式恒成立的條件加以合理的平移變換，優化函數解析式，使得雙變元問題轉化為以一個整體（b－a）為變元的單變元問題，實現問題的優化處理．而考慮單變元不等式的恒成立問題，只要考查不等式兩端所對應的函數解析式，利用這兩曲線有公切點時，其對應的公切線是同一條，這樣才能保證不等式恒成立，合理構建方程（組），給問題的突破創造條件．

4．變式拓展

根據解析可知確定代數式b－a的值是解決問題中最為關鍵的一環，從而有如下一個變式問題．

變式1" 設函數f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則b－a=．答案：1

該變式問題更加簡單，可采用原高考真題中的對應解析方法來處理，還可通過特殊值法進行“小題小做”，巧妙確定代數式的值．

5．教學啟示

涉及多變元（雙變元、三變元及以上）不等式恒成立問題，往往問題比較繁雜，以函數與方程、函數與導數等形式出現，而借助恒成立不等式的等價變形與轉化，給問題的切入與應用提供條件．在具體解題過程中，合理進行消元或整體處理，或合理進行構建函數處理，或合理進行參數取值的分類討論處理等，都是破解此類問題的常見技巧方法與解題思路．而結合具體問題的應用場景，合理挖掘問題內涵與實質，采取行之有效的其他思維方法來應用，有時也是非常不錯的選擇．

而涉及多變元（雙變元、三變元及以上）的綜合問題，成為近年高考數學試卷中的熱門與難點問題之一，形式多樣，變化多端，同時交匯融合的數學基本知識點比較多，對數學思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區分度．同時，借助此類綜合問題的考查與應用，可以很好考查學生思維的發散性、創新性與開拓性，養成良好的數學解題習慣，培養學生的數學核心素養．