貌合神離的條件概率與積事件概率

條件概率與積事件的概率是概率重點(diǎn)和難點(diǎn)，一直是教學(xué)中的困頓點(diǎn)，學(xué)生經(jīng)常把積事件的概率與條件概率搞混淆，還不容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，究其原因，無(wú)非是沒(méi)有理解條件概率與積事件概率之間的區(qū)別與聯(lián)系.

1.情景導(dǎo)入

典例" 一個(gè)密碼鎖的密碼有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè).小明忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求任意按最后一位數(shù)字，第一次按錯(cuò)，第二次按對(duì)的概率.

題目的意思是一共按了二次，第一次按錯(cuò)了，第二次才按對(duì)，記Ai（i=1，2）表示第i次按對(duì)的事件，事件A2發(fā)生是事件A1發(fā)生的條件下再發(fā)生，還是兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生？這是很多師生弄不明白的一個(gè)問(wèn)題.

2.分析問(wèn)題

圖1

要解決這個(gè)問(wèn)題我們先回顧相關(guān)的概念.

一般地，事件A事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作A∩B （或AB）.可以用圖1中的陰影區(qū)域表示這個(gè)交事件.

含義是A與B同時(shí)發(fā)生，符號(hào)語(yǔ)言記作A∩B 或AB.

事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率稱為積事件的概率，記作P（AB）.

一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）gt;0，我們稱P（B|A）=P（AB）P（A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

條件概率和積事件的概率是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率，要厘清兩個(gè)事件發(fā)生的概率到底是條件概率還是積事件概率，關(guān)鍵是要弄清，做這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)之前是不是已經(jīng)知道試驗(yàn)的第一個(gè)事件發(fā)生的結(jié)果.如果是不知道第一個(gè)事件發(fā)生的結(jié)果，那么這兩個(gè)事件發(fā)生的概率就積事件的概率，如果知道，那就是條件概率.

情景中，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是指按兩次密碼，在按密碼之前，我們是不能確定第一次按對(duì)還是按錯(cuò)的，故第一次按錯(cuò)、第二次按對(duì)的概率就是指第一次按錯(cuò)和第二次按對(duì)同時(shí)發(fā)生的概率，記Ai（i=1，2）表示第i次按對(duì)的事件，故PA1A2=110.

但有很多學(xué)生還是不能從概念上深刻的理解，常常誤認(rèn)為第一次按錯(cuò)是第二次按對(duì)的條件.我們除了加強(qiáng)對(duì)概念的辨析以外，我們還可以借助樣本空間來(lái)輔助理解.

題意是連續(xù)按兩次， 相當(dāng)于從 0～9 的 10 個(gè)數(shù)字中先后取出兩個(gè)不同數(shù)字， 這樣樣本空間 Ω 的基本事件總數(shù)為 10×9=90 個(gè)， 就按對(duì)和按錯(cuò)而言，有三種情況： （ 錯(cuò)， 錯(cuò)）， （錯(cuò)， 對(duì)）， （對(duì)， 錯(cuò)）.其中第一類有 9×8=72 種結(jié)果，第二類有 9×1=9 種結(jié)果，第三類有 1×9=9 種結(jié)果.第二次才按對(duì)是上面三類情況中的第二類， 也就是說(shuō)第一次按錯(cuò)并不是試驗(yàn)前已經(jīng)發(fā)生的， 而是與第二次按對(duì)是同時(shí)發(fā)生的.因此，它不是條件概率，而是積事件概率.

如果題目改成“第一次按錯(cuò)的條件下，求第二次按對(duì)”的概率，那么在試驗(yàn)開(kāi)始前就已經(jīng)知道 “第一次按錯(cuò)”的這個(gè)實(shí)事.這樣樣本空間就由{（錯(cuò)，錯(cuò)），（錯(cuò)，對(duì)），（對(duì)，錯(cuò)）} 三類縮小為{（錯(cuò)，錯(cuò)），（錯(cuò)，對(duì)）}兩類，因此這里所求的概率是在第一次按錯(cuò)后剩下的數(shù)字中再按對(duì)的概率， 即這里所求的概率是附加了條件的事件的概率.根據(jù)條件概率的定義， 求“在第一次按錯(cuò)的條件下， 第二次按對(duì)”的概率才為條件概率.

因此，“第二次按對(duì)” 與 “第一次按錯(cuò)的條件下， 第二次按對(duì)”的概率是有本質(zhì)區(qū)別的， 前者屬于積事件概率，后者屬于條件概率.

典例再探" 小明上樓每一步走1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，且走1級(jí)臺(tái)階的概率為23，走2級(jí)臺(tái)階的概率為13，小明從樓梯底部開(kāi)始往上走.

（1）求小明走3步上到第4個(gè)臺(tái)階的概率；

（2）小明上到第4級(jí)臺(tái)階，求他是走了3步的上來(lái)概率.

分析" 小明上樓梯走1級(jí)臺(tái)階還是走2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，走3步可以到達(dá)3，4，5，6級(jí)臺(tái)階，僅從走了3步是不能確定最后在哪個(gè)臺(tái)階的.同樣到達(dá)第4個(gè)臺(tái)階小明可以是隨機(jī)的走了2，3，4步上來(lái)的.

（1）中小明隨機(jī)的走了3步，走了幾個(gè)1步幾個(gè)2步是不確定的，即試驗(yàn)前上到第4個(gè)臺(tái)階是不確定的，故走3步和到達(dá)第4個(gè)臺(tái)階是同時(shí)發(fā)生的，故是積事件.

解" 設(shè)事件A為“小明走了3步”，事件B為“小明上到第4級(jí)臺(tái)階”，走了3步上到第4級(jí)臺(tái)階即走了2次1級(jí)臺(tái)階和1次2級(jí)臺(tái)階，則概率P=C13×13×（23）2=49，即PAB=49.

（2）中已知小明上到了第4級(jí)臺(tái)階，再來(lái)求小明走了3步的概率，說(shuō)明試驗(yàn)前就知道了結(jié)果，這個(gè)上到第4級(jí)臺(tái)階就是小明走了3步的條件了，故這是條件概率的問(wèn)題.

解" 設(shè)事件A為“小明上到第4級(jí)臺(tái)階”，事件B為“小明走了3步上到第4級(jí)臺(tái)階”，事件A包含3中情況，①走了4次1級(jí)臺(tái)階，其概率P1=（23）4=1681；

②走了2次1級(jí)臺(tái)階，1次2級(jí)臺(tái)階，其概率P2=C13×13×（23）2=49；

③走了2次2級(jí)臺(tái)階，其概率P3=（13）2=19.故小明上到第4級(jí)臺(tái)階概率PA=P1+P2+P3=1681+49+19=6181.

所以在小明上到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率PBA=PABPA=3661.

方法提煉

（1）辨析條件概率P（B|A）是指已知A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的概率，試驗(yàn)前就明確了A發(fā)生了.而積事件概率P（AB）是指A與B同時(shí)發(fā)生的概率，試驗(yàn)前不能確定A是否發(fā)生了.

（2）值得注意的是，積事件概率P（AB）中的兩事件A，B不一定獨(dú)立，若獨(dú)立，則

P（B|A）=P（B），此時(shí)P（AB）=P（A）P（B）;若不獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B|A）.計(jì)算中應(yīng)注意，P（AB）是在原樣本空間Ω中求解的，而P（B|A）是在縮小的樣本空間A中求解的.

3.鏈接考試

例1" 袋中有6個(gè)黃色和4個(gè)白色的乒乓球，不放回抽取，每次任取1個(gè)球，連續(xù)取2次，則第2次才取到黃球的概率為.

析解" 這個(gè)試驗(yàn)是連續(xù)取2次，要求第2次才取到黃球的概率. 這個(gè)“才”字如何理解？關(guān)鍵還是厘清試驗(yàn)之前是否能確定第一摸球摸到什么顏色？如果能確定，那么就是附加了條件的，那就是條件概率了，若不能確定就是積事件概率.相當(dāng)于在不看第一取到球的顏色，不放回地連續(xù)隨機(jī)取了兩次球，兩次抽取之后再來(lái)看兩個(gè)球的顏色，結(jié)果是第一取到白球，第二次取到黃球，故這個(gè)才是指第一次取到白球，第二次取到黃球的情況同時(shí)發(fā)生的意思. 故這個(gè)試驗(yàn)之前我們是不能確定第一次摸球摸到什么顏色的.

設(shè)第一次取到白球的事件為A，第二次取到黃球的事件為B，故第2次才取到黃球的概率為P（AB）=P（A）P（B|A）=410×69=415.

評(píng)注" 一般地，n件產(chǎn)品中，有m件次品，每次抽取一件，取后不放回，連續(xù)抽取i次，記事件Ai為第i次取得正品，則第i次才取得正品的概率為P（A1A2…Ai－1Ai）=P（A1）P（A2|A1）…P（Ai|A1A2…Ai－1）=（mn）（m－1n－1）（m－i+2n－i+2）·（n－mn－i+1），而在前i－1次取得次品的條件下，第i次取得正品的概率為P（Ai|A1A2…Ai－1）=n－mn－i+1.

例2" 為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員M對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為34，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為12.（注：比賽結(jié)果沒(méi)有平局）

（1）求甲隊(duì)明星隊(duì)員M在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；

（2）求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；

（3）若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)的概率.

析解" （1）事件Aj=“甲隊(duì)第j局獲勝”，其中j=1，2，3，4，Aj相互獨(dú)立，事件B=“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，又甲隊(duì)明星隊(duì)員M前四局不出場(chǎng)，故PAj=12，j=1，2，3，4，B=A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4，PB=C13（12）4=316.

（2）設(shè)事件C為甲3局獲得最終勝利，事件D為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)比賽，由全概率公式知，PC=PC|D·PD+PC|·P，因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故PD=C24A33A35=35，P=1－35=25，PC|D=（12）2×34=316，PC|=（12）3=18，所以PC=1380.

（3）由（2）知，PD|C=PCDPC=PC|D·PDPC=316×351380=913.

綜上，只有深刻理解了兩種概率的區(qū)別與聯(lián)系，方能在實(shí)際應(yīng)用中正確的區(qū)分是積事件概率和條件概率.