2024年全國新高考數學Ⅰ卷19題探析與啟示

基金項目：四川省教育科研資助金項目重點課題（SCJG20A049）；四川省哲學社會科學重點研究基地—西華師范大學四川省教育發展研究中心資助項目（CJF23042）；西藏自治區教育科學研究2023年度一般課題—西藏班（校）學生數學運算素養培養的教學實踐研究（XZEDGP230070）

2024年全國新高考數學Ⅰ卷第19題立意高、思路廣、解法多、思維活，本文從試題的命題立意、解題思路、教學啟示等方面作了探究與分析．

一、試題及立意分析

2024年全國新高考數學Ⅰ卷第19題：設m為正整數，數列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項ai和aj（ilt;j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）－可分數列．

（1）寫出所有的（i，j），1

SymbolcB@ ilt;j

SymbolcB@ 6，使數列a1，a2，…，a6是（i，j）－可分數列；

（2）當m3時，證明：數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）－可分數列；

（2）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數i和j（ilt;j），記數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）－可分數列的概率為pm，證明：pmgt;18．

本題是一道創新型壓軸題，以等差數列為知識背景，設置數學新定義，創新設問方式，搭建思維平臺，讓學生在思維過程中領悟數學方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題［1］．該題中三個小問層層遞進、不斷深入，第（1）問讓學生枚舉簡單情況即所有可能的（i，j）對，考查學生基本的閱讀和理解能力；第（2）問讓學生證明（2，13）－可分數列，提示學生可以通過構造公差大于d的等差數列來跳過刪去的某些數字；第（1）（2）問的鋪墊性設問有以下意圖：一是讓學生通過對簡單情況的探索與觀察，發現刪除某些數字后新數列的規律與解題方法；二是有給學生降低解題門檻和啟迪解題思路之意；三是意在引導學生運用“從特殊到一般”“類比”“猜想”“構造”等思維方法去探索規律、猜想規律、發現規律、應用規律，發現對于一般情況的（i，j）取何值時為可分數列，考查學生的觀察能力、探索能力、直覺思維、特殊一般化和類比的數學思想方法；第（3）問表面上是一個概率的創新型問題，要證明（i，j）－可分數列的概率pmgt;18，但它與數列、概率的關系不大，實際要計算有多少個不同的（i，j）使得原數列可分，這是組合數學中比較常見的構造性問題，意在考查學生的數學創新思維和數學創新素養．

二、解題思路探究

（1）易得（i，j）=（1，2），（5，6），（1，6）．

（2）由于數列a1，a2，…，a4m+2等差與數列1，2，…，4m+2等差等價，因此只需證明數列1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分．若分組為（1，4，7，10），（3，6，9，12），（5，8，11，14），則這幾組每組都是公差為3的等差數列，其余ak（15

SymbolcB@ k

SymbolcB@ 4m+2）每4項分為一組，即a4k－1，a4k，a4k+1，a4k+2．其中k=4，5，…，m，那么每組都是等差數列．

（3）思路一：由（2）知，數列a1，a2，…，a4m+2成等差數列與數列1，2，…，4m+2成等差數列等價．結合前兩問的結論，嘗試枚舉m=2，3時，所有滿足條件的可分數列（i，j），從中發現（i，j）一定是由一個除4余1的數與一個除4余2的數組成．因此，僅需構造（4n+1，4k+2）和（4n+2，4k+1）兩種（i，j）情況．

①若對所有的（i，j）=（4n+1，4k+2），（0

SymbolcB@ n

SymbolcB@ k

SymbolcB@ m），顯然都是可分的，將連續的4項構成一組，也即如下m組數滿足要求：（1，2，3，4），…，（4n+2，4n+3，4n+4，4n+5），…，（4k+3，4k+4，4k+5，4k+6），…，（4m－1，4m，4m+1，4m+2），則有C2m+1+m+1組滿足要求．

②若對所有的（i，j）=（4n+2，4k+1），（0

SymbolcB@ nlt;k－1

SymbolcB@ m－1），顯然都是可分的，將連續的4項構成一組，也即如下m組數滿足要求：

（a，a+1，a+2，a+3），a=1，5，9，…，4n－3，4k+3，…，4m－1；

（b，k－n+b，2（k－n）+b，3（k－n）+b），b=4n+1，4n+3，…，4n+（k－n）+4n+（k－n）+2.

則有C2m組滿足要求．

綜上，注意到兩種形式的（i，j）均互異，故可分的（i，j）至少有m2+m+1組．

因此，從1，…，4m+2中選兩個數的方法是C24m+2=（2m+1）（4m+1）種，則pmgt;1C24m+2［（m+1）（m+2）2+m（m－1）2］=m2+m+18m2+6m+1gt;m2+m+18（m2+m+1）=18，命題得證．

思路二：由（2）問“當m3時，數列是（2，13）－可分數列”，進行一般化得到，“對于k2，猜想數列是（2，4k+1）－可分數列”，更一般地可得，“對l=0，1，2，…，m－1，k2，l+k

SymbolcB@ m，數列是（4l+2，4l+4k+1）－可分數列”．

①對l=0，1，2，…，m－1，k2，l+k

SymbolcB@ m，數列是（4l+2，4l+4k+1）－可分數列，只需分組：

將4l+1，4l+3，…，4l+4k，4l+4k+2分成k組，每組的公差都是dk（d是數列a1，…，a4m+2的公差），即（a4l+1，a4l+k+1，a4l+2k+1，a4l+3k+1），（a4l+3，a4l+k+3，a4l+2k+3，a4l+3k+3），…，（a4l+k，a4l+2k，a4l+3k，a4l+4k），（a4l+k+2，a4l+2k+2，a4l+3k+2，a4l+4k+2）；a4j+1，a4j+2，a4j+3，a4j+4其中j=0，1，…，l－1，一共l組；a4j－1，a4j－2，a4j+1，a4j+2，其中j=l+k+1，l+k+2，…，m，一共m－（l+k）組．

則一共有∑m－1l=0∑m－1k=2l=m（m－1）2種分法．

②對l=0，1，2，…，m，k1，l+k

SymbolcB@ m，數列是（4l+2，4l+4k+1）－可分數列．只需分組：

a4j+1，a4j+2，a4j+3，a4j+4，其中j=0，1，…，l－1，這里共l組；a4j+2，a4j+3，a4j+4，a4j+5，其中j=l，l+1，…，l+k－1，這里共k組；a4j－1，a4j，a4j+1，a4j+2，其中j=l+k+1，l+k+2，…，m，這里共m－（l+k）組．

則一共有∑ml=0∑m－1k=1l=（m+1）（m+2）2種分法．

因此，從1，…，4m+2中選兩個數的方法是C24m+2=（2m+1）（4m+1）種．

當m=1時，由（1）得p1=3C26=15gt;18．

當m=2時，當（i，j）=（1，2），（1，6）（1，10），（5，6），（5，10），（9，10）時，數列a1，…，a10是（i，j）－可分數列，所以p2=6C26=215gt;18．

當m3時，pmgt;1C24m+2［（m+1）（m+2）2+m（m－1）2］=m2+m+18m2+6m+1gt;m2+m+18（m2+m+1）=18．

綜上，對任意m1，都有pmgt;18，命題得證．

思路三：設可分數列為bm個，由（1）可知b1=3．

當m變為m+1時，數列a1，a2，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6作為（i，j）－可分數列有兩種情況：

①j=4m+6時，有（1，4m+6），（5，4m+6），…，（4m+5，4m+6），則（i，j）共增加m+2項；

②j=4m+5時，有（2，4m+5），（6，4m+5），…，（4m－2，4m+5），則（i，j）共增加m項；因此，bm+1－bm=2m+2．

通過累加法可得bm－b1=（m－1）（m+2），則bm=m2+m+1．

以下同思路一．

此外，本題（3）還可以用數學歸納法等方法解答．

三、教學啟示

2024年全國新高考數學Ⅰ卷第19題創新了往年高考數學壓軸題的命題套路，既充分發揮了拔尖創新人才的選拔功能，又能正面引導高中數學教學要樹立并落實“為創新而教”“為創新而學”的數學創新教育理念．對此，提出問題—探究—創新的數學創新教學路徑．

1. 好的問題是數學創新教學的心臟

富有探究性的數學問題是數學創新教學的心臟．教師可設計富有探究性的數學問題系統，該系統有以下作用：一是幫助學生建構數學認知結構，即實現問題知識化，知識結構化（意在整合學生擁有的零散知識）；二是統攝多個獨立但有聯系的數學思想方法，以問題聯結學生的知識結構、方法序列和思想觀念，即實現知識思想化，方法技能化，思想觀念化；三是通過問題激發探究欲望，通過探究產生創新意識．

2. 探究是數學創新教學的重要方法

探究是數學創新教學的重要方法．數學探究的方法主要有觀察法、歸納法、類比法、聯想法、猜想法、原型啟發法、經驗創生法等．這些方法對本題的探究與解答都有一些幫助和作用．數學探究能力的發展是培養數學創新素養的必由之路，主要從幾方面入手：一是從不同角度探究第（3）問的思路與解法，有利于培養發散思維，從而實現創新；二是創新始于懷疑，懷疑是批判的邏輯起點［2］，第（3）問的不少思路與方法可能有誤導性，需要運用批判性思維才能棄誤從正，而批判思維是產生創新的重要途徑；三是通過引導學生從知識、方法、思想等方面對已有問題進行類比與反思，從而產生新的經驗，如通過對第（2）問的（2，13）－可分數列的類比與反思，可感悟到（4l+2，4l+4k+1）－可分數列．

3. 問題與探究是創新教學的基本范式

創新是數學創新教學的目標．第19題是培養學生數學創新素養的好題目，其理由有三：一是試題以數列知識為背景，實質考查學生的知識體系，體現出數學問題蘊含內容的基礎性、系統性和結構性；二是試題以新定義的情境設問，問題層層遞進，體現出數學問題的情境性、全過程性和探究性；三是試題以創新的呈現方式，考查學生數學方法和數學思維，體現出數學問題背后的實踐性、創新性和探究性．應對本題，可以采用問題—探究—創新這一創新教學的基本范式．

參考文獻

［1］教育部教育考試院.2024年高考數學全國卷試題評析［EB/OL］.［2024-6-7］. https：//a.d4t.cn/FENPCm.

［2］尤娜，趙思林.批判性思維的心理過程及對數學教學的啟示［J］.內江師范學院學報，2023，38（10）：1-6.