一道2024年高考不等式恒成立問題的探究

1.試題呈現(xiàn)

題目" （2024新高考數(shù)學(xué)2卷第8題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（" ）.

A.18""" B.14""" C.12""" D.1

該題簡(jiǎn)潔明了，清新脫俗，給人一種煥然一新的感覺.表面上考查函數(shù)知識(shí)，實(shí)際上考查不等式恒成立問題.深入考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，對(duì)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)進(jìn)行了深入的考查，不失為一道具有較高區(qū)分度的優(yōu)質(zhì)試題.

2.解法探究

解法1" 因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋ǎ璪，+∞），令f（x）=0可得x=－a，x=－b+1.若－alt;－b，則當(dāng)x∈（－b，－b+1）時(shí)，x+agt;0，ln（x+b）lt;0，則f（x）lt;0，不符題意.若－blt;－alt;－b+1，則當(dāng)x∈（－a，－b+1），x+agt;0，ln（x+b）lt;0，則f（x）lt;0，不符題意.當(dāng)－b+1lt;－a，則當(dāng)x∈（－b+1，－a），x+alt;0，ln（x+b）gt;0，則f（x）lt;0，不符題意.所以－a=－b+1.即a=b－1.所以a2+b2=（b－1）2+b2=2b2－2b+1=2（b－12）2+12≥12，所以當(dāng)a=b=12時(shí)，a2+b2取得最小值12，故選C.

評(píng)注" 直接從解不等式的角度出發(fā)，分析討論參數(shù)a與b對(duì)不等式符號(hào)的影響.解法自然，無需其他方法和工具，應(yīng)為首選之法.

解法2" g（x）=f（x－b）=（x+a－b）lnx，則不等式f（x）≥0等價(jià)于g（x）≥0.設(shè)t=a－b，則不等式等價(jià)于（x+t）lnx≥0，設(shè)h（x）=（x+t）lnx（x∈（0，+∞）），則h′（x）=lnx+tx+1，h″（x）=x－tx2.當(dāng)t≤0時(shí)，h″（x）gt;0，h′（x）單調(diào)遞增.當(dāng)x→0時(shí)，h′（x）→－∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h′（x）→+∞，則存在x0∈（0，+∞），使得x∈（0，x0），h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞），h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增.因h（1）=0，若t∈（－1，0），則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）lt;0，不符題意；若t∈（－∞，－1），當(dāng)x∈（1，x0），h（x）lt;0，不符題意；若t=－1，則h（x）≥0，符合題意.當(dāng)tgt;0時(shí)，易知當(dāng)x∈（0，1），h（x）lt;0，不符題意.綜上，當(dāng)t=－1時(shí)，a－b=－1，即a=b－1符合題意，下同解法1.

評(píng)注" 解法2基于圖象的平移，將函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)，通過換元將雙參數(shù)轉(zhuǎn)化為單參數(shù)處理.從解題過程來看，解法2顯得繁瑣，但解題思維是常用的，是處理多變量問題的經(jīng)典思路.

解法3" 因?yàn)閒（x）=（x+a）ln（x+b），所以f′（x）=ln（x+b）+x+ax+b.注意到f（－b+1）=0，由于函數(shù)圖象是連續(xù)的，因此必有f′（－b+1）=a－b+1=0，也即a=b－1.當(dāng)a=b－1時(shí)，f′（x）=ln（x+b）－1x+b+1.則當(dāng)x∈（－b，－b+1）時(shí)，f′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（－b+1，+∞）時(shí)，f′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥f（－b+1）=0，符合題意.所以a=b－1，以下同解法1.

評(píng)注" 解法3直接分析函數(shù)性質(zhì)解題.首先注意到函數(shù)在定義域內(nèi)一定有一個(gè)零點(diǎn)x=－b+1，由于函數(shù)圖象是連續(xù)的，因此必有函數(shù)在這一點(diǎn)處的切線斜率為0.找到a與b的關(guān)系后，再證明充分性即可.

3.模型建構(gòu)與應(yīng)用

從解法1中可以看出，兩個(gè)因式的乘積大于等于零，則兩個(gè)因式必須始終同號(hào).換句話說，兩個(gè)因式的零點(diǎn)必須相同.因此，可得到一類恒成立問題的處理策略.即f（x）g（x）≥0（≤0），則f（x）與g（x）始終同號(hào)（或異號(hào)），也即f（x）與g（x）的零點(diǎn)始終相同.

例2"" 設(shè)a∈R，若xgt;0時(shí)，均有［（a－1）x－1］（x2－ax－1）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值集合為"" .

解" 當(dāng)a=1時(shí)，不等式變?yōu)閤2－x－1≤0，顯然此不等式對(duì)xgt;0不恒成立，不符題意.當(dāng)a≠1時(shí)，函數(shù)y=（a－1）x－1與y=x2－ax－1都過定點(diǎn)（0，－1），則它們的零點(diǎn)相同.函數(shù)y=（a－1）x－1的零點(diǎn)為x=1a－1，則有（1a－1）2－aa－1－1=0，解得a=32.當(dāng)a=32時(shí)，不等式變?yōu)椋▁－2）（2x2－3x－2）≥0，即（x－2）2（2x+1）≥0，顯然此不等式對(duì)xgt;0均成立，所以a的取值集合為{32}.

評(píng)注" 如果將不等式左側(cè)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，再分析這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)求解，運(yùn)算將會(huì)很繁瑣.從不等式的角度分析，可推得兩個(gè)因式的零點(diǎn)必然相同，從而可簡(jiǎn)化問題的求解.

例3"" 已知函數(shù)f（x）=ex+ax2－x.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥12x3+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解nbsp; （1）f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.過程略.

（2）設(shè)g（x）=ex+ax2－x－12x3－1，且g（0）=0，則g′（x）=ex+2ax－1－32x2，則g′（0）=0，則g″（x）=ex+2a－3x，則g″（0）=1+2a.由1+2a≥0得a≥－12.設(shè)g（x）在x0處與x軸相切，則有ex0" + ax0 2-x0 -12x0 3-1 = 0，

ex0" + 2ax0 -1-32x0 2 = 0，解得x0=0或x0=2或x0=1+2a.因?yàn)間（0）=0，則由g（2）=e2+4a－7≥0，

g（1+2a）=e1+2a－2a2－4a－52≥0， 解得a≥7－e24.綜上獲得一個(gè)必要條件a≥7－e24.

當(dāng)a≥7－e24時(shí)，由g（x）=ex+ax2－x－12x3－1≥ex+7－e24x2－x－12x3－1，只需證ex+7－e24x2－x－12x3－1≥0即可，只需證1+7－e24x2－x－12x3－1ex≥0.設(shè)h（x）=1+7－e24x2－x－12x3－1ex，則h′（x）=x（x－2）（2x－9+e2）4ex.令h′（x）=0得x=0，或x=9－e22或x=2，則當(dāng)x∈（0，9－e22）和（2，+∞）時(shí)，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（9－e22，2）時(shí)，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減.又因h（0）=h（2）=0，則h（x）≥0恒成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈［7－e24，+∞）.

評(píng)注" 由端點(diǎn)右側(cè)附近函數(shù)單調(diào)遞增求得一個(gè)必要條件a≥－12，但這個(gè)條件不是充分條件，原因是此時(shí)g（x）≥0在定義域內(nèi)不恒成立的.因此再由g（x）在其零點(diǎn)處的圖象特征，求得另一個(gè)必要條件a≥7－e24.將兩個(gè)必要條件取交集，從而得到必要條件a≥7－e24，接下來證明其充分性即可.

4.結(jié)語

不等式恒成立問題是高考的高頻考點(diǎn)，解題方法靈活多樣.對(duì)于不等式恒成立的問題，一般處理的策略有兩種：一是基于不等式本身的性質(zhì)分析問題和解決問題；二是借助函數(shù)圖象直觀分析問題和解決問題.無論用什么方法解決問題，都應(yīng)當(dāng)認(rèn)真分析不等式的結(jié)構(gòu)，尋找合適的方法求解，而不是盲目地進(jìn)行操作.