多思少算覓蹊徑 直觀數形巧轉化

1. 問題的提出

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考重點考察的內容.其特點是運算量大，導致計算量大的主要原因是：一是當曲線與直線進行聯立時，由于二次曲線方程或直線方程形式較為復雜，涉及大量的代數運算；二是解析幾何中問題常常涉及其他數學知識，如向量、距離、面積等，使得問題綜合性強，計算變得繁瑣.這些問題不僅考驗學生的計算能力，還考驗他們的邏輯思維和問題解決能力.本文以2024年新高考I卷第16題為例，作一評析.

題目" （2024年新高考I卷第16題）" 已知A0，3和P3，32為橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0上兩點.

（1）求C的率心率；

（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

解法1" （常規解法）（1）將點A0，3和P3，32代入橢圓方程x2a2+y2b2=1，解得a2=12，b2=9，則e=12.

（2）當直線l的斜率不存在時，直線l方程為x=3，此時PB=3，A到PB的距離為3，此時S△ABP=12×3×3=92≠9，故不滿足題意，所以直線l的斜率存在.設直線l的斜率為k，則直線l方程為y－32=kx－3，聯立方程y=kx－3+32，

x212+y29=1， 消去y得4k2+3x2－24k2－12kx+36k2－36k－27=0.設Bx0，y0，由韋達定理得3x0=36k2－36k－274k2+3，則x0=12k2－12k－94k2+3，代入y=kx－3+32得y0=－12k2－18k4k2+3+32，因為直線AP方程為y=－12x+3，則B到AP的距離為x0+2y0－65=5512k2+48k+94k2+3+3，

從而S△ABP=12·AP·d=3412k2+48k+94k2+3+3=9，化簡得4k2－8k+3=0或12k2+8k+9=0，解得k=12或32，故直線l的方程為y=12x或y=32x－3.

評析" 上述解法由于點P不在坐標軸上使得直線方程形式復雜，導致在直線與曲線方程聯立時計算量大，運算出錯點多，學生普遍反映解題易入手，難通關，出現了“爛尾樓”的現象.

2.解決問題的思路

2.1" 聚焦運算對象，優化運算路徑

在圓錐曲線問題解決的過程中，聚焦運算對象和優化運算路徑是減少計算量、提高解題效率的關鍵.通過聚焦運算對象，可以明確解題的目標，讓學生集中精力進行必要的計算，而優化運算路徑不僅是為了減少計算量，還可以探索問題的最優解，培養學生創新思維，提高解決問題的能力.

（1）" 巧設直線方程

本題由于點P不在坐標軸上使得直線方程形式復雜，而通過觀察發現點A在y軸上，點B也落在直線AB上，因此可以通過設直線AB方程進行求解，達到簡化運算的目的.

解法2" （簡化部分展示） 當直線AB的斜率不存在時，B0，－3，則AB=6，P到AB的距離為3，S△ABP=12×6×3=9，滿足題意，此時直線l的方程為y+3=32x，即3x－2y－6=0.

當直線AB的斜率存在時，設直線AB方程為y=kx+3，聯立方程y=kx+3，

x212+y29=1， ，消去y得4k2+3x2+24kx=0，解得x=0或－24k4k2+3，所以B－24k4k2+3，9－12k24k2+3.

（2）" 巧設參數方程

由于橢圓方程是二次方程，直接消參比較麻煩，如果可以借助橢圓的參數方程來設點B，可以減少參數，簡化運算.

解法3"" AP=（0－3）2+（3－32）2=352，因為kAP=32－33－0=－12，則直線AP方程為y=－12x+3，即x+2y－6=0.

設B到直線AP的距離為h，則S△ABP=12·AP·h=12×352h=9，∴h=1255.

設點B（23cosθ，3sinθ），θ∈［0，2π），則h=23cosθ+6sinθ－65=1255，化簡得sinθ+π6=－32或sinθ+π6=332（舍去），則θ=7π6或θ=3π2.

當θ=3π2時，B（0，－3），此時直線l的方程為3x－2y－6=0.當θ=7π6時，B（－3，－32），此時直線l的方程為x－2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0.

2.2" 直觀條件特征，轉化運算對象

“解幾”的本質是“幾何”，教師要引導學生直觀出數形特征，挖掘出圖形的幾何性質，利用圖形描述分析問題，由圖形特征確定合理的解題路徑，建立形與數的聯系.

（1）" 幾何條件轉化

在解決直線與二次曲線的問題時，要善于捕捉曲線的幾何特性，靈活應用對稱性、平行性等平面幾何性質將問題進行轉化，避免繁瑣的計算.本題B到直線AP距離為1255，則B落在與直線AP平行的直線上.

解法4" 如圖1，設過B與直線AP平行的直線m：x+2y+c=0.圖1

B到直線AP的距離為c－（－6）5=1255，解得c=6或－18.

當c=6時，聯立方程x+2y+6=0，

x212+y29=1， 消去x得2y2+9y+9=0，解得y=－3或－32，則B（0，－3）或（－3，－32）.

（2）" 直觀數形特征

在解決直線與二次曲線的問題時，若能有意直觀圖形特征，直觀數的特點，發現問題的本質，則可簡化求解過程.

圖2

解法5"" 如圖2，觀察A0，3和P3，32坐標，結合△ABP的面積為9，發現當B的坐標（0，－3）時，SΔABP=9，滿足條件，此時直線l的方程為3x－2y－6=0.

結合橢圓的對稱性，連接PO并延長與橢圓相交于B′，SΔABP=SΔAB′P，則B′的坐標為（－3，－32），也滿足條件，此時直線l的方程為x－2y=0.

由條件可知，B在與直線AP平行且距離為1255的直線上，觀察圖形可知，滿足條件的直線只有一條，即為BB′，該直線與橢圓有兩個交點.

綜上所述，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0.

3.數學教學實踐對策

3.1" 以生為本，積累經驗

在實際課堂教學中，教學過程中要以學生為主體，多給學生提供自主探究學習的機會，讓學生在學習過程中通過一題多解自主體悟出如何設參能簡化求解過程，在此過程中學生積累了一定的活動經驗，有了成功的體驗，就能激發學生的興趣，培養學生的理性思維，提升邏輯推理、數學運算等核心素養.

3.2" 引領直觀，滲透思想

（1）" 重視作圖訓練，直觀圖形特征

在教學中，做圖訓練是提高學生數學素養和解題能力的重要一環.教師要在課堂上給學生提供充足的做圖機會，可以通過示范和引導學生做圖，幫助他們掌握做圖的方法和技巧，要求學生繪制圖形時要準確、規范，避免出現錯誤或模糊的情況.在高考中，準確作圖可以幫助學生更快的找準解題方向，簡化解題過程.

例1" （2024年北京卷13）已知雙曲線x24－y2=1，則過（3，0）且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為"""" .

評析" 本題學生只需要精確做圖，就會發現所求直線與漸近線平行，從而快速解決問題，避免了設直線方程進行聯立再判斷根的個數.

（2）" 強化轉化意識，提升思維能力

通過設計具有挑戰性、啟發性的問題，不斷有意識地加以引導，引導學生運用平面幾知識，經歷推理、轉化、化歸等思維活動，逐步領悟利用平面幾知識何進行轉化的優點，形成深度思考的課堂氛圍，促使學生在解題過程中培養數學思維和創新能力.

例2" （2024年天津卷8）雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2.P是雙曲線右支上一點，且直線PF2的斜率為2.ΔPF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（" ）.

A.x28－y22=1"""" B.x28－y24=1

C.x22－y28=1""" D.x24－y28=1

評析" 本題學生只需要對斜率為2這個條件進行巧妙轉化，在直角三角形利用角的正切值得到三角形的邊長關系，并利用定義結合面積就可輕松求解.

3.3" 聚焦思維，培育素養

教學的本質是思維.教師在教學過程中要重視課堂問題的設計，力求在問題的解決中實現知識問題化；創設有效情境來引領課堂活動，在情境的活動中解決問題，實現問題情境化；在激發學生思維的過程中活化情境，實現情境思維化；在可視的課堂教學流程中調控思維，實現思維可視化；在形成結構化的教學環節中實現可視結構化.通過“五化”的整體調控與把握，實現“思維過程化、可視化、結構化、規范化”，從而促進學生核心素養的培育.

參考文獻

［1］林娜.善用轉化思想化解圓錐曲線中的運算難點［J］.中學數學研究（華南師大），2023，（8）：42-45.

［2］郭海萍，林新建.挖掘圖形特征 確定解題路徑——以2022年新高考Ⅰ卷第16題為例［J］.中學數學研究（江西師大）， 2023，（5）：60-63.