《數學通報》問題2584的探究

本文對數學通報問題2584進行探究，并給出不等式的上界估計，利用結果證明一組相等三角形、幾何不等式.

命題1" 在△ABC中，三內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，外接圓、內切圓半徑和半周長分別為R，r和p.試證：sinA2+sinB2+sinC2≥1+p33R①.

原證明通過角代換進行證明，筆者探究后，基于三角化簡給出一種簡單證明.

1.①式的簡證

證明" 記Σ表示循環求和.由三角公式得（∑sinA2－1）∑cosA2=∑sinA2∑cosA2－∑cosA2

=∑sinA2cosA2+∑（sinA2cosB2+cosA2sinB2）－∑cosA2

=12∑sinA+∑sinA+B2－∑cosA2=12∑sinA+∑cosC2－∑cosA2

=12∑sinA=12∑a2R=a+b+c4R=p2R.

而∑cosA2≤332，所以∑sinA2－1=p2R∑cosA2≥p33R，

故sinA2+sinB2+sinC2≥1+p33R.

2.①式的下界加強

由上面的簡證可知∑sinA2的結果與∑cosA2有關，若能加強∑cosA2，則①式可得：

命題2" 在△ABC中，有∑sinA2≥1+p6R（4R+r）②.

證明" 由均值不等式及∑cosA=1+rR，可得

∑cosA2≤3∑cos2A2=32（3+∑cosA）=32（3+1+rR）=6（1+r4R）.

所以∑sinA2－1=p2R∑cosA2≥p2R6（1+r4R）=p6R（4R+r），所以∑sinA2≥1+p6R（4R+r）.

注" 由歐拉不等式R≥2r，知p6R（4R+r）≥p6R（4R+12R）=p33R，②式強于①式.

3.①式的上界估計

對于①式，不等式上界最熟知的結論是∑sinA2≤32，于是，得如下改進.

命題3" 在△ABC中，有∑sinA2≤2+r2R③.

證明" 在△ABC中，易知sinA2=（p－b）（p－c）bc，由柯西不等式得∑sinA2=∑（p－b）（p－c）bc≤∑（p－b）（p－c）·∑1bc.又∑（p－b）（p－c）=∑［p2－（b+c）p+bc］=∑［p2－（2p－a）p+bc］

=∑（pa－p2+bc）=p∑a+∑bc－3p22（2R+2Rr）≤∑asecA2≤8R（4R+r），

∑1bc=a+b+cabc=2p4pRr=12Rr，所以∑sinA2≤r（4R+r）·12Rr=2+r2R.

注" 由Gerretsen不等式p2≥16Rr－5r2，歐拉不等式R≥2r可得p2≥272Rr，則p33R≥r2R，

所以∑sinA2≥1+r2R這樣可得不等式鏈：

在△ABC中，有1+r2R≤1+p33R≤1+p6R（4R+r）≤∑sinA2≤2+r2R.

4.應用

利用上述結果，可證得如下三角形不等式，幾何不等式.

命題4" 在△ABC中，有2（2R+2Rr）≤∑asecA2≤22R（4R+r）.

證明" 易知∑asecA2=∑2RsinAsecA2=4R∑sinA2，

由∑sinA2≤2+r2R，得∑asecA2≤4R·2+r2R=22R（4R+r），

由∑sinA2≥1+r2R，得∑asecA2≥4R（1+r2R）=2（2R+2Rr）.

命題5" 在△ABC中，有1+2Rr≤∑ab+c－a≤1+4Rr.

證明" 在△ABC中，a=2RsinA，b+c－a=2rcotA2，

所以ab+c－a=2RsinA2rcotA2=2RrsinA2，所以∑ab+c－a=2Rr∑sinA2.

由∑sinA2≤2+r2R，得∑ab+c－a≤2Rr·2+r2R=1+4Rr，

由∑sinA2≥1+r2R，得∑ab+c－a≥2Rr·（1+r2R）=1+2Rr.

推論1" 在△ABC中，設ha，hb，hc，ra，rb，rc分別為邊a，b，c對應的高線長、旁切圓半徑，則有1+2Rr≤∑raha≤1+4Rr.

簡證" 易知ra=2Sb+c－a，ha=2Sa，則raha=ab+c－a，則該推論與命題5等價，所以結論成立.

推論2" 在△ABC中，有2（1+2Rr）≤∑sinA2sinB2sinC2≤2+8Rr.

簡證" 在△ABC中，b+c－a=2R（sinB+sinC－sinA）=8RcosA2sinB2sinC2，a=2RsinA，

所以∑ab+c－a=∑2RsinA8RcosA2sinB2sinC2=∑sinA22sinB2sinC2，

由命題5得1+2Rr≤∑sinA22sinB2sinC2≤1+4Rr，

所以2（1+2Rr）≤∑sinA2sinB2sinC2≤2+8Rr.

命題6" 在△ABC中，有r2R+r2R≤∑sinA2sinB2≤12+r2R.

證明" 易知∑sin2A2=12（3－∑cosA）=12（3－R+rR）=1－r2R，

又（sinA2+sinB2+sinC2）2=∑sin2A2+2∑sinA2sinB2，

所以∑sinA2sinB2=12（sinA2+sinB2+sinC2）2－12∑sin2A2

=12（sinA2+sinB2+sinC2）2－12（1－r2R）.

由∑sinA2≤2+r2R，得∑sinA2sinB2≤12（2+r2R）2－12（1－r2R）=12+r2R，

由∑sinA2≥1+r2R，得∑sinA2sinB2≥12（1+r2R）2－12（1－r2R）=r2R+r2R.