三角形切點(diǎn)三角形周長的上界加強(qiáng)

三角形的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)連線組成的三角形稱為切點(diǎn)三角形.文［1］作者利用線段投影法得到了一系列結(jié)論，其中涉及三角形切點(diǎn)三角形周長的結(jié)論是：

△ABC三邊長BC=a，CA=b，AB=c，面積為△，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的內(nèi)切圓與三邊BC，CA，AB的切點(diǎn)，△DEF周長為l，則8△2abc≤l≤4（a+b+c）△2abc≤12（a+b+c）①.

文［1］中上述結(jié)果的證明較為繁瑣，文先給出如下簡潔證明.本文中記△ABC內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，半周長為p.

下面筆者給出自然、簡潔的證明.

圖1

證明" 如圖1所示，連接PI交EF與點(diǎn)P，連接FI.

由題意∠PFI=∠FAI=A2，所以EF=2FP=2FIcos∠PFI=2rcosA2，

同理可得DE=2rcosC2，F(xiàn)D=2rcosB2，

所以△DEF周長l=2r（cosA2+cosB2+cosC2），

由熟知的結(jié)論cosA2+cosB2+cosC2≤332，得l=2r（cosA2+cosB2+cosC2）≤33r.

下面證明33r≤4（a+b+c）△2abc.

由a+b+c=2p，abc=4pRr，△=pr知即證33r≤4×2p×p2r24pRr，

即證p2≥272Rr，

由Gerretsen不等式p2≥16Rr－5r2，知只需證16Rr－5r2≥272Rr，即證R≥2r，這正是歐拉不等式，顯然成立.

又因?yàn)閟inA+sinB=2sinA+B2cosA－B2≤2sinA+B2=2cosC2，所以2cosC2≥sinA+sinB.

同理得2cosA2≥sinB+sinC，2cosB2≥sinC+sinA.

三式相加得∑cosA2≥∑sinA.

于是∑cosA2≥∑sinA=a+b+c2R=pR，所以l=2r（cosA2+cosB2+cosC2）≥2prR，

又8△2abc=8p2r24pRr=2prR，所以左邊成立.

所以①式成立.

由①式的證明過程，可得如下結(jié)果：

結(jié)論" 在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的內(nèi)切圓與三邊BC，CA，AB的切點(diǎn)，△DEF周長為l，則2prR≤l≤33r≤4（a+b+c）△2abc≤12（a+b+c）②.

由上述證明過程可知△DEF的周長與△ABC內(nèi)角的半角余弦和有關(guān)，若能加強(qiáng)三角形半角余弦和自然也就加強(qiáng)了②式.由柯西不等式及三角恒等式cos2A2+cos2B2+cos2C2=2+r2R，得

∑cosA2≤3∑cos2A2=3（2+r2R）=6+3r2R.從而△DEF的周長l=2r（cosA2+cosB2+cosC2）≤2r6+3r2R.又由歐拉不等式知6+3r2R≤332，從而2r6+3r2R≤33r，所以得到不等式鏈2prR≤l≤2r6+3r2R≤33r≤4（a+b+c）△2abc≤12（a+b+c）.圖2

前面探討了三角形切點(diǎn)三角形周長的結(jié)果，與三角形內(nèi)心相關(guān)的三角形除了切點(diǎn)三角形還有一種三角形：如圖2所示，AI，BI，CI的延長線分別交邊BC，CA，AB于點(diǎn)L，M，N，得到△LMN，該三角形的周長（記為l△LMN）又有什么結(jié)論呢？為此筆者進(jìn)行了探討，通過特殊情形得到l△LMN≥33r，由于△LMN的邊長計(jì)算較為復(fù)雜，筆者水平有限，難以證明，借助機(jī)器驗(yàn)證，結(jié)論是正確的，最后當(dāng)做命題留給感興趣的同仁探究.

命題" I為△ABC的內(nèi)心，AI，BI，CI的延長線分別交邊BC，CA，AB于點(diǎn)L，M，N，△LMN周長為l△LMN，則l△LMN≥33r.

初等化證明是數(shù)學(xué)探究應(yīng)該追求的，結(jié)合①式的自然、簡潔的證明過程和命題，可以得到△LMN和△DEF周長之間的關(guān)聯(lián)：l△LMN≥l△DEF.

參考文獻(xiàn)

［1］楊學(xué)枝.線段投影法應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（7）：53-57.