兩道圓錐曲線試題的探究與推廣

本文對2024屆安徽省A10聯盟和2018年河南賽區預賽圓錐曲線試題進行拓展延伸，得出一類圓錐曲線倒數平方和為定值的結論.

1.試題呈現

例1" （2024屆安徽省A10聯盟第17題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0的左、右焦點分別為F1，F2，點A－6，2在C上，且ΔAF1F2的面積為6.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）記點A在x軸上的射影為點B，過點B的直線l與C交于M，N兩點.探究：1BM2+1BN2是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

例2" （2018年河南賽區預賽第7題）設經過定點Ma，0的直線l與拋物線y2=4x相交于P，Q兩點，若1PM2+1QM2為常數，則a的值為.

2.試題延伸

結論1" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0且a≠b），T±aa2+b2a2－b2，0，過點T的直線l與C交于M，N兩點，則1TM2+1TN2=a2－b2b4.

證明" 當直線l與x軸不重合時，設Tt，0，直線l方程為x=my+t，Mx1，y1，Nx2，y2，聯立x=my+t，

x2a2－y2b2=1 得b2m2－a2y2+2b2mty+b2t2－a2=0，由韋達定理可知y1+y2=2b2mta2－b2m2，y1y2=b2t2－a2b2m2－a2，所以1TM2+1TN2=11+m2y21+11+m2y22=y1+y22－2y1y21+m2y21y22=4b4m2t2a2－b2m22－2b2t2－a2b2m2－a21+m2b4t2－a22b2m2－a22=4b2m2t2－2t2－a2b2m2－a2b21+m2t2－a22=2t2+a2t2－a22+2t2a2－b2－2a2a2+b2b21+m2t2－a22.

當2t2a2－b2－2a2a2+b2=0，即T±aa2+b2a2－b2，0時，此時1TM2+1TN2=2t2+a2t2－a22=2a2a2+b2a2－b2+a2a2a2+b2a2－b2－a22=a2－b2b4.當直線l與x軸重合，T±aa2+b2a2－b2，0時，此時1TM2+1TN2=1t+a2+1t－a2=2t2+a2t2－a22=a2－b2b4.

結論2" 已知拋物線C：y2=2pxpgt;0，Tp，0，過點T的直線l與C交于M，N兩點，則1TM2+1TN2=1p2.

證明" 設Tt，0，直線l方程為x=my+t，Mx1，y1，Nx2，y2，聯立x=my+t，y2=2px， 得y2－2pmy－2pt=0，由韋達定理可知y1+y2=2pm，y1y2=－2pt，所以1TM2+1TN2=11+m2y21+11+m2y22=y1+y22－2y1y21+m2y21y22=1t2+t－ppt21+m2.當t=p時，1TM2+1TN2為定值1p2.

結論3" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0，T±aa2－b2a2+b2，0，過點T的直線l與C交于M，N兩點，則1TM2+1TN2=a2+b2b4.（證明過程與結論1類似）