一道高三模擬題的解法探究與啟示

基金項目：江蘇省南通市教育科學規劃課題 《基于“教學做合一”的數學章節起始課的教學研究》（編號XZ2023020）

2024年4月山東省濰坊二模數學第14題是一道以三角形為背景，考查三角恒等變換，正余弦定理等知識的填空壓軸試題，題目來源于課本，短小精悍，綜合考查學生運用數學知識解決問題的素養能力.本文從試題溯源、解法探究及感悟啟示幾個方面進行探究.

1.試題呈現

題目" 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為1，sin2A+sin2B+sin2C=1，則△ABC的面積為"""" ；當A取得最大值時，A4－8a=""""" .

試題是由人教B版普通高中教科書·數學必修第三冊（2019版）第109頁B組第10題：“設A，B，C是△ABC的3個內角，求證：sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC”.改編而來，以強調對和差化積與積化和差使用的重視，同時也體現了高考源于教材的命題思路.

2.解法探究

首先來看第一空的解法.

分析1"" 從圖形特征出發，連接△ABC外心與各頂點，對三角形進行分割后利用三角形面積公式求得面積.

解法1" 設△ABC的外心為O，連接OA，OB，OC，則OA=OB=OC=1，且根據圓的性質得∠AOB=2C，∠BOC=2A，∠COA=2B.所以S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=12OA·OB·sin∠AOB+12OB·OC·sin∠BOC+12OC·OA·sin∠COA=12×1×1×sin2C+12×1×1×sin2A+12×1×1×sin2B=12×sin2A+sin2B+sin2C=12×1=12.

分析2" 從已知條件等式入手利用三角函數的和差化積公式、正弦二倍角及誘導公式公式進行推導，利用正弦定理和三角形面積公式轉化求解.

解法2" 因為sin2A+sin2B+sin2C=2sin2A+2B2cos2A－2B2+2sinCcosC=2sin（A+B）cos（A－B）+2sinCcosC=2sinC［cosA－B+cosC］=2sinC［cosA－B－cos（A+B）］=2sinC·－2sinA－B+A+B2sinA－B－A+B2=－4sinCsinAsin－B=4sinAsinBsinC=1，所以sinAsinBsinC=14.因為△ABC外接圓半徑為1，所以由正弦定理得a2×1·b2×1·c2×1=14，即abc=2.

所以S△ABC=12absinC=12ab·c2×1=abc4=12.

分析3" 和差化積（或和差化積）公式畢竟是出現在教材習題中的“二級結論”，如果沒有記住這些公式怎么辦？也可以從已知條件等式入手僅利用三角函數的正弦二倍角、和差公式及誘導公式公式進行推導，利用正弦定理和三角形面積公式轉化求解.

解法3" 因為sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sin2B+sin2［π－（A+B）］=sin2A+sin2B－sin（2A+2B）=sin2A+sin2B－（sin2Acos2B+sin2Bcos2A）=sin2A·（1－cos2B）+sin2B·（1－cos2A）=2sinAcosA·［1－（1－2sin2B）+2sinBcosB·［1－（1－2sin2A）］=4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A=4sinAsinB（sinBcosA+sinAcosB）=4sinAsinBsin（A+B）=4sinAsinBsinC=1，所以sinAsinBsinC=14.下同解法2.

再來看第二空的解法.

分析1" 從分析圖形特征切入，若A取得最大值時A為鈍角，且a越小越好.又由于b與c的地位是對等的，可知當A取得最大值時，b與c應是相等的，此時A是BC中垂線與△ABC外接圓的交點.然后利用勾股定理是列式求解.

圖1

解法1" 如圖1，若A取得最大值，顯然A為鈍角，且b=c，即點A為BC的中垂線與△ABC外接圓的上交點.過A作AH⊥BC，垂足為H，設AH=h，由第一空知S△ABC=12，則12a·=12，所以ah=1，即h=1a.在Rt△OHC中，得（1－h）2+a22=1，所以（1－1a）2+a22=1，化簡、整理得a4－8a=－4.

分析2" 由于b與c的地位是對等的，可以考慮當A取得最大值時B=C，于是代入第一空解法2得到的sinAsinBsinC=14中，利用三角形內角和定理、余弦二倍角公式、平方關系等進行三角恒等變換，得到關于sinA的整體關系式，代入到把所求式利用正弦定理后得到的式子求得結論.

解法2" 若A取得最大值，則必有b=c，即B=C. 由第一空解法2得sinAsinBsinC=14，得sinAsin2B=14.又A+B+C=π，即B=π－A2，所以sinA·sin2π－A2=14，所以sinA·（1+cosA）=12，所以cosA=12sinA－1.又sin2A+cos2A=1，所以sin2A+（12sinA－1）2=1，所以4sin4A－4sinA=－1.因為△ABC外接圓半徑為1，所以由正弦定理得asinA=2×1，代入4sin4A－4sinA=－1，得4×a24－4×a2=－1，化簡整理得A4－8a=－4.

圖2

分析3" 假設邊BC=a不動，如圖2，當A在外接圓上運動時，根據S△ABC與S△A′BC的大小推出所求式的不等關系，然后建立關于a的函數，利用導數確定出A取得最大值時，所求式的值.

解法3" 由第一空知S△ABC=12.若A取得最大值，顯然A必為鈍角，此時a＜2，且a越小，A越大.如圖2，當A為BC中垂線與△ABC外接圓的交點A′時，S△A′BC=12a·A′H=12a·1－OH=12a·（1－" 1－A24）.

由于S△ABC≤S△A′BC，所以12≤12a·（1－" 1－A24），所以" 1－A24≤1－1a，所以1－A24≤（1－1a）2a≥1.，從而A4－8a≥－4.令f（a）=A4－8a（1≥a＜2），則f′a=4A3－8.

因為f′1=－5＜0，f′2=16gt;0，且f′a單調遞增，所以存在A0∈（1，2）使得f′A0=0，所以f（a）在（1，A0）上單調遞減，在（A0，2）上單調遞增.又f1=－7＜－4，f2=0gt;－4，所以f（a）在（1，2］上有唯一零點A1.所以a≥A1，且當a=A1時，A取得最大值，此時A4－8a=－4.

分析4" 利用正弦二倍角公式和和差化積公式變形已知條件等式，利用余弦函數的有界性求得變形式的范圍.構造關于A的函數，利用導數確定出臨界狀態的關系，然后根據A取得最大值時的情形，代入求解.

解法4" 若A取得最大值，顯然A必為鈍角.設Amax=A1，則A∈（π2，A1），因為sin2A+sin2B+sin2C=2sinAcosA+2sin2B+2C2cos2B－2C2=2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B－C）=2sinAcosA+cos（B-C）=1，又cos（B-C）≤1，所以sinAcosA+cos（B-C）≤sinA（cosA+1），所以sinA（cosA+1）≥12.令g（A）=sinA（cosA+1），則g（A）≥12.所以g′A=cosAcosA+1－sin2A=cos2A+cosA－1－cos2A=（cosA+1）（2cosA－1）≤0，所以g（A）在（π2，A1）上單調遞減，因此gAmin=gA1=sinA1cosA1+1=12，所以cosA1=12sinA1－1，平方得cos2A1=（12sinA1－1）2，所以1－sin2A1=1－2sinA12sinA12，整理變形得sin4A1－sinA1=－14.因為△ABC外接圓半徑為1，所以由正弦定理得asinA=2×1，即a=2sinA.當A取得最大值，則A4－8a=2sinA14－8×sinA1=16sin4A1－sinA1=16×－14=－4.

3.教學啟示

作為教材題目的改編題，體現了高考源于教材的命題原則.因此，在數學教學中，要重視對教材內容、典型例、習題的挖掘工作，讓學生體會到“教材中自有黃金屋”的妙處.同時，作為新教材中新添內容，和差化積與積化和差公式應用的越來越多，在復習備考中應以前足夠重視，加強訓練是很必要的.

數學運算是六大數學核心素養之一，三角函數運算不僅公式多，有很多的運算規則，具體題目還需設計合理的運算思維線路，所以在考查學生數學運算的靈活性上，三角恒等變換無疑是很好地考查載體，對此教師在平時教學中應該引起充分的重視.同時，在新結構高考的素養與能力要求之下，創新性的設計題目設計，題目短小精悍，條件很少，這些都需要學生通過自己的思考，設計合理的過程，選擇合適的數學工具進行問題解決.

參考文獻

［１］普通高中教科書B版數學必修第三冊（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.