自然視角下小學數學化課堂的策略研究

【摘 要】針對數學課堂教學忽視學生思維，將生活情境生硬且無邏輯地引入課堂等問題，文章基于“自然”視角，從水平數學化、垂直數學化兩個維度思考“數學化”教學策略，將“緊抓認知起點、指向知識本質特點”的生活情境進行水平數學化教學，實施“聚焦學生差異，自主建模”的垂直數學化教學，以促進學生主動學習，提升課堂趣味性。

【關鍵詞】自然視角 數學化 課堂教學

一、課堂數學化演繹及思考

（一）演繹歷程

荷蘭著名數學家弗賴登塔爾提出數學化概念，認為數學化的含義是指人們在觀察及認識和改變客觀世界時會遇到各種生活現象，對這些生活現象加以整理和組織的過程就是數學化。簡言之就是用數學思維分析和整理現實生活情境。

隨著以數學生活化為特點的課堂教學弊端不斷出現，學者們逐步開始進行數學化課堂教學的理論研究，也有些許小學一線教師結合自己課堂實例，對小學數學化課堂策略進行思索。如柳國棟教師從三個方面提出如何進行數學化教學：首先，抓住小學數學教材中的生活情境，完成橫向數學化；其次，建立有序思考、幾何直觀模型完成縱向數學化；最后，建立反思模型，使數學化應用于實際問題。錢張培、劉效麗、李娜教師列舉“三角形內角和”這一課例的片段，展示了數學化的教學過程：實踐—概念—方法，并提出“創設情境抽象出數學問題”“數學問題與情境剝離”“回歸實踐應用數學知識”的數學化教學策略。

基于以上文獻研究，數學化教學基本可以分成兩個步驟：一是對現實情境進行去情境、分析、抽象、概括等數學教學過程，建立對應的數學模型；二是對已經建立的數學模型進行二次加工，辯證、運用、組織、再創新，形成新的數學模型。

（二）搭建橋梁

一線教師對數學課堂的研究也大體從橫向數學化與縱向數學化兩個教學流程著手，然而它也存在日常教學中情境的引入簡單直接，引導學生經歷縱向數學化時沒有尊重學生主體地位，灌輸式帶領學生進行數學模型的再加工等問題，使得數學化課堂教學策略停留在表面，未與學生的思維接軌、未充分發掘數學知識的內在邏輯，沒有完成問題情境下數學知識理性的展現，使得課堂缺乏理性。因此，教師要搭建能夠連通數學化教學過程與學生數學學習的橋梁。

二、自然視角下優化數學化課堂的內涵

（一）自然視角下的數學教學

盧梭認為，自然就是順其天性而為。學生作為課堂學習的主體、教育的客體，課堂教學必然基于學生的認知發展規律。因此，自然視角要求教師尊重學生認知發展規律、個體發展差異。

張盛良教師在文章《小學數學自然課堂探究》中指出，自然課堂指的是基于教師、學生以及教材的聯動，從而實現更生動、更富趣味性的動態課堂模式的構建。這樣的思考啟發筆者，自然視角下的數學化課堂同時也會指引教師在帶領學生進行數學化教學時更加關注師生互動與生生互動，從而更好地明晰學生的思考狀況，同時一起經歷解決生活情境問題或者進一步加工初步的數學模型的過程。

（二）自然視角架起橋梁，優化數學化課堂

1.把準學生認知、思維起點

日常數學化課堂在初步引入情境時可能會盲目追求生活趣味，出現情境脫離學生思維或者超越學生生活常識的問題，忽視了學生認知起點、思維起點。如筆者在執教“認識體積和容積”這一課時，引入了“公交車滿員”的視頻情境：一群人在擠公交，最后三個人很難擠上去，后來一位體格相當于兩人的女士選擇走后門，以為剛好擠上去了，實則前面有兩個人被擠了下來。筆者在引入該情境時更多的是考慮該視頻的趣味性與生活性。然而，在實際操作時，雖然學生觀看視頻時笑聲如預料一般，但是當筆者提出“為什么一個人進去了，兩個人出來了”這個問題時，學生的回答也僅停留在“因為那個人太胖了”上。當筆者再次問“為什么一個胖子能夠把兩個瘦子擠下來”時，學生沒有進一步回答。而筆者引入這個情境是想引導學生說出“空間”的概念，結果只獲得了生活化的回答。“空間”這個概念先前并沒有存在于學生的概念體系中，筆者忽視了學生的認知起點，故而學生只能聯想到生活化的回答。因此，從自然角度去思索，可以避免單純追求生活性、趣味性的教學內容，自如地與學生已有知識鏈接，自然打開學生數學化的思維。

2.實現數學化課堂理性提升

數學課堂過度引入生活情境，使得數學化課堂缺乏應有的理性。除此之外，如果課堂實施灌輸式教學，忽視學生學習主體地位，會使數學的理性更加匱乏。因此，自然視角下的數學化教學會特別關注課堂的師生互動、生生互動，尊重學生個性化表達，尊重學生差異，多維呈現學生的思考結晶，充分展現知識間的內部邏輯，進行再次建模過程，課堂理性自然產生。

失去“自然視角”，意味著學生學習主體地位的喪失，意味著數學化教學無法完成，甚至無法開啟，意味著數學理性的缺乏。因此，小學數學化課堂無法脫離自然視角的要求和審視。相反，從“自然”出發，數學化課堂會以貼近學生的方式完成數學的理性學習，提升其思維邏輯水平。

三、自然視角下的數學化課堂策略探究

按照數學化分類說法，數學教學需要必要的現實情境或者創設相關的現實情境，用以觀察、分析、理解抽象、概括的素材，也需要依據知識結構體系對已生成的初代數學模型進行再創造，產生新的數學模型或者思想，使其思維進階、知識結構化。新課標要求課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗、思考、探究，這便是自然視角的體現。自然視角下對于數學化教學提出更關注兒童的要求，即順應兒童的認知發展規律、尊重兒童個體差異及學習主體地位。水平數學化與縱向數學化教學過程不僅是抽象推理、歸納運用的過程，還應是立足學生的特點、立足小學數學知識結構體系，完成更貼近學生生活的數學化教學過程，使學生自然地經歷數學化，提高自身觀察、抽象、思辨等學習能力。

（一）現實情境擇優剝離

新課標指出，數學是研究數量關系和空間形式的科學。從中可以看出，數學的本質是抽象的。小學生的認知發展需要經歷從具體到抽象的過渡，故而小學生的數學學習離不開直觀的具體情境。然而，并不是所有來自生活或者教材的具體情境都恰好適用于日常課堂教學，其可能有違“自然”，可能為了追求趣味性而生搬硬套。因此，自然視角下選擇或者創設合適的現實問題情境是實現教學數學化的關鍵環節。

1.緊抓認知起點

自然視角下教學要求教師準確把握學生已有的生活經驗、認知起點，這樣才能合理引入或者創設現實問題情境。從學情出發、從生活經驗出發的問題情境可以真正給予學生一個合適的學習臺階。筆者曾在執教“認識負數”一課時，經歷一次失敗的情境剝離。在教學中，筆者引用了“城市氣溫”“海拔高度”兩個現實情境，使學生認識負數與正數，明白“0”是正負數的分界線，理解正負數代表相反意義的量。然而，在第一個情境中就遇到了很大的阻力。大部分學生對于溫度計存在認知盲區，使得在認識溫度計時耗費了寶貴的教學時間，而學生對溫度計缺乏認識，誤認為負數是個難以理解的概念。第二個情境是關于海拔，學生也是了解甚少。用兩個學生不能輕易接觸到的情境進行新概念的教學，難度陡然增加。因此，在第二次教授這節課時，筆者使用了“電梯情境”“樓層情境”進行新授，讓學生輕松習得負數的概念。

2.指向知識本質特點

引入現實情境是為了更好地剝離情境，引出數學問題進行數學化。因此，一個好的現實情境也必然直接指向數學本質和知識的內在邏輯。情境越是貼近內在邏輯，數學化過程越是可以順利地進行，使學生經歷數學問題出現、問題分析與問題解決的過程。以蘇教版數學一年級的“認識10以內的數”“認識11～20以內的數”、二年級的“認識100以內的數”為例。從教材設置可以發現，一年級認識10以內的數采用的是“學生為慶祝教師節的表演舞臺”的情境，對于這個情境的處理是通過引領學生“數一數”的數學活動，從具體事物剝離出“數”的概念，每一個或者一組的具體事物對應一個數，直接指向“數”的本質：一個數字對應著相應數量的具體物體，數也是在“數數”的過程中產生的。在學習11～20、百以內的數時，顯然沒有沿用具體的生活情境，而是采用“數小棒”的操作活動。“數小棒”同樣擁有具象特征，但與之前的生活情境相比，更加明顯指向“10個1就是1個十”“10個十是1個百”“滿十進一”的計數本質。如果繼續使用之前類似的生活情境，便會使課堂教學節奏變慢，不利于突出教學重點。及至后續學習的萬以內數、多位數的認識更加注重位值制的學習，所以對于現實情境進行橫向數學化，直接簡化到計數器的操作。故而，為了服務知識本質、知識之間的邏輯，現實情境可做簡化甚至可以不再使用。

以上分析是依據教材文本，對于現實問題情境的選擇在教師的日常教學中也是頻繁出現的，尤其在同課異構型教研時便會明顯感受到選擇指向數學內容本質的生活情境的優勢。以下是筆者曾記錄的“用字母表示數”這一節課的課堂實錄節選，節選內容教學重點是使學生理解可以用字母表示一個未知數以及字母式表示的意義。

【實錄1】

教師出示肯德基店鋪。

師：大家去過嗎？你在圖片里看到什么與數學有關的內容？

生：有字母KFC。

師：你還在哪里見過字母？

生：英語書上、撲克牌上、商場服裝上……

師：同學們真是火眼金睛，今天我們就來學習與字母有關的內容。

教師出示三角形圖片和問題。

師：仔細觀察，并填空。三角形的個數和小棒的根數有什么關系呢？你能用一個式子表示嗎？

師：如果用a來表示三角形的個數，小棒的根數是（ ）×（ ）。

師：回顧一下用字母表示的過程，想一想字母在數學里可以用來表示什么？用字母來表示有什么優點？同桌可以互相討論一下。

生：字母可以用來表示很多數，用字母來表示數就很簡潔。

師（小結）：像a×3這樣含有字母的式子，我們稱為字母式。剛剛我們用a×3來表示小棒的總根數，所以我們可以用整個字母式來表示一個具體的量。

師：你能從a×3中看出小棒總根數與三角形個數之間的關系嗎？

生：乘法關系，倍數關系，3倍，小棒總數是三角形個數的3倍。

師：所以我們還可以用字母式來表示兩個量之間的關系。

【實錄2】

教師出示5根小棒。

師：這是幾根小棒？

生：5根。

師：老師這里還有個筆筒，猜一猜，筆筒里有幾根小棒？

生：x根、y根。

師：為什么想起用字母表示？

生：因為字母可以代表很多數，很多不知道的數。

師（小結）：字母可以表示未知數。用字母表示有什么優點呢？

生：表示不確定的數，表示無數個數，比較概括、全面、簡潔。

師：如果將這5根小棒放進筆筒里，現在筆筒里有幾根小棒？

生：a+5根。

師：思考一下a+5的結果是多少？大膽想象一下。（出示結果a+5）

師：看懂了嗎？看懂了什么？“a+5=a+5”等式左右兩邊樣子相同，有不同嗎？

生：左邊表示計算過程，右邊是結果。

師：既然表達的含義不同，那么讀法上也得有所區別。先聽老師讀。

師：現在這里面有a根小棒，老師將它標為1號筆筒，老師這里還有2號筆筒，里面小棒的根數是a+2根。這兩個筆筒里的小棒根數有什么關系？你們是怎么看出來的？

生：2號比1號多2根，因為1號是a，2號是a+2，比a多2。

師：那如果3號筆筒是a×2呢？

生：3號是1號的兩倍。

師：所以我們可以通過字母式看出什么？

生：關系。

對比以上兩個教學過程，顯然實錄2的問題情境對于“字母表示數”指向性更加直接。開始通過對比確定的5根和筆筒里不確定的數量，自然引出學生對用什么表示未知數的需求。學生通過交流辨析，自發地得出用字母來表示未知數。相比之下，實錄1對于字母表示數的引出運用了兩個現實情境才實現剝離的。實錄1通過生活情境圖和交流互動引出字母，單純為引出字母可以指代事物使用了情境，使得第一個情境沒有數學化的價值。所以再一次引入“小棒擺三角形”的操作情境才是學生經歷用字母表示數的過程。

而后續對于字母式意義的教學，顯然實錄2呈現了很好的對比現象，學生進行觀察思索，深刻體會到了字母式既可以表示運算過程，也可以表示具體的量。因為實錄2中將5根小棒放進未知小棒根數的筆筒里，讓學生思考現在筆筒共有多少根小棒。這樣的問題情境本身就存在“和”的邏輯，存在運算過程與運算結果的邏輯。故而，一個好的問題情境是可以直接指向知識本質、貫穿知識內在邏輯的，此類現實情境不僅可以加快教學節奏，而且可以讓學生圍繞一個情境探究思考，從而經歷完整的知識形成的過程，進行自主建構知識體系，順應自然地學習。

（二）聚焦學生差異，自主建模，深入對話

從現實問題情境剝離出數學問題，隨之分析問題，這樣的過程被稱為水平數學化，水平數學化通常在引入新授前半部分進行。而后半部分一般進行垂直數學化教學，即利用已有的數學模型再次進行分析、推理、歸納概括或者演繹，形成新的數學模型，進而完成一整節課的教學任務。而垂直數學化的過程，除了依從知識內在邏輯規律開展，還為關注學生學習能力差異、因材施教、發揮學生主體地位提供極為寶貴的時空。垂直數學化教學過程也必須以此為核心任務展開，鼓勵學生大膽說出自己的想法，讓不同學習水平的學生進行思維的碰撞，實現課堂的深度對話。

在學習“列方程解決實際問題”這節課時，對于如何求兩步計算的方程的解，學生各有方法。以下是實錄節選：

師：你會求2x-22=64的解嗎？先自主思考，將思考的結果寫下來。隨后小組內進行想法交換，思考對方的方法是否可行。

師：哪組同學代表上臺分享組內的想法。

生1： 我們小組共有兩種方法：

第一種解法是根據等式的基本性質，因為昨天我們學習的方程沒有“-22”這個步驟，所以先將兩邊加上22，這樣就變成和昨天一樣的形式，再用等式性質，左右兩邊同時除以2，就可以得到方程的解了。第二種也是因為多了“-22”，如果我們把2x當作被減數，根據被減數=差+減數，可以用64加上22，得到被減數。這是我們小組的想法。

生2：我感覺你們組兩種方法是一樣的。我還有不一樣的方法。

師：一樣嗎？你先說說一樣在哪里？

生2：這兩個解法都是先求出2x等于多少。

師：說得很好！今天我們遇到的是兩步計算的方程，按照同學們的思考，怎樣處理可以將其轉變成昨天的一步計算？

生3：可以用等式的性質，或者用等量關系先去掉一步，先求出幾個x的大小。

師：生2還有什么不一樣的解法嗎？

生2（展示解法）：我的方法不是先求出2x的大小，而是先想辦法將2x變成x。

生4：你的這個方法是對的，但是不是全部都可以這樣。

師：什么意思？有局限嗎？

生4：這道題因為22和64除以2剛好沒有余數，所以可以變成x。

師：那誰可以舉個不可以的例子？

生5：2x-22=63。

生2：可以啊，可以變成x-11=31.5。

生6：那這樣就復雜了，有小數了，計算難度就加大了。

師：同學們說得很好，而且能夠找到方便的計算方法。雖然生2的方法稍稍復雜了，但是這種主動思考值得大家學習。那么面對兩步計算方程，我們可以用等式的性質或者等量關系先求出幾個x的值，再求x的值。

從以上教學實錄中可以看出，不同的學生有不同的想法。生1呈現的想法與班級多數小組一致，他的展示使大家在他的帶領下完成垂直數學化的學習過程。而生2 的想法很特別，這種獨樹一幟的想法不應該淹沒在課堂中，展示出來可以特別好地激發其他學生思考。通過激烈的討論，學生更加理解原先方法的使用優勢，鞏固了解法的原理。如此，不僅讓學生完成了數學化的過程，還最大限度地激發了學生的學習自主性，提高課堂參與度。

在當下的小學數學教學中，一線教師不能一味追求數學的趣味性而丟失數學的本質，使得學生無法感悟數學獨有的系統性、對稱性、簡單性、嚴謹性等特點。數學教學必須以數學為根，這樣才可以展現數學的魅力。教師應以自然的視角選擇“緊抓認知起點、指向知識本質”的現實情境，在對情境進行數學化的過程中，也必須最大限度地關注學生差異，滿足個性化學習的要求。

【參考文獻】

柳國棟.淺談小學數學教學中的“數學化”[J].探討與創新，2020（6）.