數學史視角下的小學數學課堂教學新探

【摘 要】開展數學史視角下的小學數學課堂教學不僅能以歷史方式展示或表達數學，還能促進學生對知識體系的深入掌握，更好地完成教學目標。目前，小學數學教學的重點在知識概念的教學上，對數學概念的形成過程或者主題起源的探究教學涉獵不多。文章以蘇教版數學五年級上冊的“負數的初步認識”一課為例進行數學史視角下的教學設計研究，探討如何將數學史融入負數教學中。

【關鍵詞】數學史 認識負數 教學設計

幾百年前，負數不被人們所接受，甚至包括數學家。直到19世紀中葉，人們才接受負數概念。美國教育家波利亞指出：學習數學只有當看到數學的產生，按照數學發展的歷史順序或親自從事數學發現時，才能最好地理解數學。因此，教師需要走進數學史料的宏大世界，追溯數學概念的產生與發展軌跡，帶領學生一起感受負數的悠久歷史和豐富的文化內涵。

一、數學史中負數流變過程簡述

（一）中國數學史中負數流變

中國是最早使用負數的國家，戰國時期就已經有學者認識到負數的存在，只是尚未明確提出負數這一概念。李悝在《法經》中提到了有關負數的例子：衣五人終歲用千五百，不足四百五十。意思是說 5 個人一年開支 1500 錢，支出比收入還多，差450錢。這里的“不足”就是負數所表達的意思。《九章算術》中明確給出了正負數的概念及加減運算法則：“同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”古代算學家在解方程式的時候，出現了以“少”減“多”的情況，他們基于操縱方程系數的求解方法，將負數引入運算中，由此應運而生。

（二）外國數學史負數流變

古希臘數學家丟番圖寫了一整本關于求解方程式的書《數論》，他認為除了正有理數之外，不考慮任何東西，但是丟番圖在展開（x-2）（x-6）時，他知道“負負得正”。換句話說，他懂得如何處理負系數。著名的印度數學家婆羅摩笈多早在7世紀就認識到并在一定程度上用負數來運算。到了16世紀，甚至像意大利的卡爾達諾、法國的韋達這樣的著名數學家都拒絕接受負數。他們認為負數是“假定的”或“荒謬的”。當負數作為方程的解出現時，它們被稱為“虛解”或“假根”。到了18世紀中葉，負數已經或多或少地被接受為數字。著名瑞士數學家萊昂哈德·歐拉在1770年出版的《代數指南》（Elements of Algebra）中這樣理解：“由于負數可能被視為債務，因為正數代表真實的財產，所以我們可以說負數是虛無的。”隨著高斯、伽瓦羅、阿貝爾等人在19世紀初的不懈努力，代數方程研究演變成了代數系統的研究，負數——與正數加法對立的數字，成為數字系統中極為重要的組成部分。

二、數學史中數系的擴充

數系擴展是數學內部體系運算封閉性的必然要求。數系的擴展遵循因襲原理，即在原有數系基礎上，通過加入一個新的符號，將原有的數集擴充成一個更龐大的、內容更豐富的數系。與此同時，“舊”數系是“新”數系的真子集，更為關鍵的是，在“舊”數系中成立的運算規則，要與“新”數系中的運算規則保持一致，結果相同。按照與實體分離的程度不同，數系遵循以下歷史途徑逐漸擴展：

而數系的邏輯擴展過程是不同的：

在中小學數學學習中，是從運算的封閉性來看數系的擴充的。在正整數集中，加法與乘法都是封閉的，但是減法和除法在正整數集中不封閉：小數不能減大數，由此就引入了負數，數集擴充到整數集。同樣，除法在整數集中不能完全施行，便引入分數，數集擴充到有理數集，四則運算在有理數集中封閉。但是對于開方運算在有理數集不封閉，為此引入無理數，數集擴充到實數集。在實數集中添加虛數單位i，就擴充為復數集。

通過追溯數系的邏輯擴展過程，我們發現，負數的到來溝通了加法和減法之間的聯系：因為增加一個負數等于減去一個正數。多虧了負數的出現，使得加法和減法成為同一種運算的兩個方面。負數的本質屬性是表示意義相反的量，一個負數總對應著一個正數，而“0”就成了重中之重。“0”作為分界標準，有著三重含義：第一重表示沒有，第二重表示對特定客觀存在的人為規定，第三重表示根據需要動態變化的人為規定。由此可見，“0”的確定是相對的，負數的出現將數與數之間的絕對大小變成了相對大小。

三、數學史視角下負數的教學設計

克萊因說，從演繹數學誕生開始，數學家花了1000年才得到負數概念，又花了1000 年才接受負數概念。回望數學史中負數的流變過程，那些歷史上一些最優秀的數學家也曾經歷過掙扎和挫折，學生在最開始接觸負數時肯定也會有所疑惑。與負數相關的史料非常豐富，基于趣味性、科學性、有效性、可學性和新穎性這五項原則，筆者將數學史融入負數課堂。以下是三個教學片段：

（一）解決問題，初識數學原型

教師創設情境：王剛經營一家小微企業，每個月的固定支出包括員工工資5萬元、各種稅費2萬元、房租1萬元、生活（水、電、煤氣等）繳費和其他開支1萬元。如果公司一月份收入10萬元，這個月盈利多少萬元？如果二月份收入8萬元呢？想一想，盈利是什么意思？怎樣計算公司的盈利？（學生獨立解答）

師生交流互動：（1）學生匯報方法思路與計算結果；（2）結合情境，教師引導學生比較兩道算式，引出“盈利”與“虧損”這兩個概念。

師：兩道算式的得數都是“1”，聯系減法的意義想一想，這兩個“1”表示的意義一樣嗎？哪里不一樣？

師：第一個“1”表示盈利1萬元，第二個“1”表示虧損1萬元。“盈利”和“虧損”是兩個表示相反意義的量。

【教學意圖】張奠宙先生認為，實際生活中遇到的意義相反的量一般是以下兩種類型：一是自然意義的相反，如虧損與盈利，支出與收入；另一種是相反意義的量，是人為規定的，如溫度以結冰的溫度為 0 度，比它高的為零上，比它低的為零下，海平面的上下等。

回顧中國數學史中負數的流變過程可以發現，負數與“欠債”“不足”“收入”“支出”等實際問題的解決息息相關。教師可以把這一層史料進行再加工，將書本上例1“溫度計”情境更換為“盈利和虧損”的情境，不僅有利于學生在后續學習中體會正、負數引入的必然性和合理性，還能讓學生從情境中抽象出的正、負數具有“可以進行運算”的特征，借助事例讓學生感悟有理數的加減運算。此外，在解決問題時使用的數量關系“盈利=收入－支出”可以基于數學邏輯，滲透“不夠減”的模型，為學生感悟減法運算以及規范表述負數的生活意義埋下伏筆。

（二）理解本質，逐步完善概念

出示情境圖，學生練習鞏固。用合適的數表示下面的數量：（1）存款2000元和取款1000元；（2）賣出大米1.5噸和買進大米2.5噸；（3）上升米和下降米。

教師描述定義。

師：為了表示兩種相反意義的量，如盈利與虧損、零上溫度和零下溫度等，需要用到兩種數。像+1、+20、+8844.4、+1.5、+這樣的數都是正數，像-1、-20、-2.5、-這樣的數都是負數。正數前面的“+”可以省略不寫。

師：“0”是相反意義的量的分界線，它既不是正數，也不是負數。

【教學意圖】知識學習是思維發展的過程與載體。準確把握知識的內涵和外延，建立新舊知識之間的聯系，有利于學生形成科學的思維框架和思維方式。因為引入負數安排在初步認識分數、小數之后，教學時，教師可以覆蓋非0整數、分數和小數。這樣做，旨在幫助學生準確把握一些數的外延，如正整數、正分數和正小數這些都屬于正數，負數可以分為負整數、負分數和負小數。如果再換一個視角，還可以說整數包括正整數、0和負整數，分數包括正分數和負分數，小數包括正小數和負小數，為后續科學建立“有理數”的概念以及揭示相關知識的結構提供“腳手架”。

（三）理解負數在運算中的封閉性

出示題目，學生獨立思考：你能在方框里填數，使得□－□=-5這個算式成立嗎？每人寫出3道算式并和同桌說一說你的想法。

全班交流：（學生匯報算式）2-7=-5，44-49=-5……

師：仔細觀察，這些算式有什么共同特點？像這樣的算式寫得完嗎？

師：我們發現被減數小，減數大，并且它們相差5。我們還發現，學習了負數之后，小數減大數這樣的題目也能寫出答案了！這就是負數在運算中的封閉性。同時，也為后續中學有理數的相關學習做好準備。

【教學意圖】張奠宙教授指出：“如果只用現實中存在相反意義的量的例子來理解正負數是片面的，一定要從減法計算的封閉性著手。”因此，在課堂教學的最后，教師設置了編算式環節，讓學生感受到學習負數后，小數減大數也可以進行計算了，進而領悟負數在運算中的存在價值。

江蘇省教學名師蔡宏圣認為：“個體的發育與其種族的發展往往存在相似的地方。這種現象在數學學習中同樣適用，也就是說學生學習數學的過程與數學史的發展過程是類似的。”數學史視角下的教學設計可以將數學史相關背景知識以及數學概念的形成過程適時有效地融入課堂，打造具有數學核心素養引領下“有滋有味”的數學課。

【參考文獻】

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