用推理和想象讓線段“動”起來

【摘 要】隨著核心素養的深入發展，小學數學教師越來越重視學生綜合素養的提升。《義務教育數學課程標準（2002年版）》將尺規作圖的內容新增到了第二學段，“用尺規作等長線段”是這部分內容的第一課時，也是學生第一次接觸尺規作圖。尺規作圖并不是教技能，而是讓學生懂原理。為什么要學尺規作圖，意在讓學生進一步感受數學的嚴謹性。

【關鍵詞】尺規作圖 等長線段 推理和想象

一、教學理念

用直尺和圓規畫等長線段是新課標“圖形與幾何”第二學段“圖形的認識與測量”中的內容。本課是在認識線段的基礎上，引導學生用直尺和圓規作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點間距離的關系，是新課標附錄第26例的內容。通過本課的教學，發展學生的想象和推理意識，增強幾何直觀能力。后續還將學習用直尺和圓規作三角形等一些內容。

按新課標要求，在學習本課之前學生已經會用圓規畫圓和畫弧，通過本課的學習學生還將感受到圓規除了可以畫圓和畫弧外，還可以確定線段的長度，從而豐富對尺規的認識。

新課標引入尺規作圖的意圖在于：讓學生感知數學研究的嚴謹性。因此，本節課教師從學生“量”的經驗入手，讓學生逐步體會用尺規作圖解決問題的科學性和嚴謹性。

本節課教師圍繞如下三個環節進行：

環節一：在真實情境的問題中，嘗試用多種方法比較線段的長短；

環節二：組織多元化意義協商，在比較中感悟圓規的作用；

環節三：借助線段比較的經驗，探索如何用尺規作等長線段。

通過這三個環節的設計，讓學生體會：任意一條線段都能通過工具讓它“動”起來。

二、教學流程

結合上述的思考和思路，本節課的教學流程設計如下。

（一）創設情境，提出問題

創設大課間活動情境，由“哪個器材小屋離教師最近”的實際問題，聚焦到哪一條線段最短的數學問題，激發學生學習興趣，感悟數學與生活的聯系。

導入活動通過播放大課間選取器材，聚焦到教師去哪個器材小屋的畫面，從現實生活中發現數學問題。緊接著在“教師離哪個器材小屋最近”的問題驅動下，讓學生體驗到用尺規可以幫助解決此類現實世界的問題。通過數學的眼光，學生形成對尺規作圖的好奇心與想象力，主動參與課堂的探究活動，養成從數學的角度觀察現實世界的意識與習慣，發展創新意識。

（二）選擇工具，嘗試比較

為學生提供小棒、無刻度直尺、毛線、圓規等多樣化的學習工具，從使用無刻度直尺 “量”出線段的長度，到嘗試利用圓規確定線段的長度。通過多種工具的嘗試和資源的對比，讓學生感受線段是可以動起來的，只要建立了一個標準，這個標準是可以移動的，想跟誰比就跟誰比，引發學生思考圓規在作圖中的作用。通過交流，學生逐漸認識到圓規在比較線段長短中的作用，弧和圓心之間存在著無數條等長的線段。在多次資源對比中，體會方法的多樣性；在聚焦分析中，進一步優化方法，讓學生的思維進一步得到完善。

（三）明確作法，分享交流

設計兩個教學活動，分別是：在射線上畫等長線段和畫已知線段的等長線段。

活動一：讓學生構思如何用圓規作等長線段，提煉出“定點—圓規定距離—畫弧定交點”的作圖步驟，并將作圖過程完整清晰地進行表達，感受圓規兩腳間的距離不變可以在射線上畫出等長線段，培養學生的空間想象能力。

活動二：在活動一的基礎上，通過不同資源的對比溝通，方法優化，感悟圓心到圓弧上任意一點的線段長度都相等。

尺規作圖作為小學部分新增內容，其要求是用尺規作等長線段，并不是直接把作圖方法教授給學生，讓學生模仿，而是在一次次動手嘗試中讓學生不斷思考、調整、交流、反思，最終選擇最優作圖方法，明確如何用尺規更精準、方便地完成作圖。

通過兩次畫等長線段的過程，學生通過觀察、操作，想象能力和推理意識得到加強，進一步感悟了尺規的價值。

（四）拓展運用，欣賞尺規

在課的最后，通過視頻的方式欣賞尺規的發展演變史，感受尺規在生活中的應用。

三、教學感悟

通過本課的教學，有以下三個思考。

（一）以數學表達促進學生思維

1.會用數學的思維思考現實世界

本節課借助比、畫這兩個活動設計了有向開放的問題，在活動過程中讓學生進行個性化的自主探索，資源呈現結構化，互動交流序列化，讓學生的思維再生長。

例如：在兩個活動學生方法的交流分析中，要重視方法之間的聯系，以及從他人方法中獲得的啟發。學生在交流中認識到圓規在比較線段長短中的優勢，弧和圓心之間存在著無數條等長的線段。在多次資源對比中，體會方法的多樣性；在聚焦分析中，進一步優化方法。

在整個過程中，學生借助觀察、操作、想象，使直觀想象能力和推理意識都得到了發展，初步養成有條理、嚴謹的數學思維品質，逐步形成理性精神。

2.會用數學的語言表達現實世界

學生通過用圓規作等長線段，學會用規范嚴謹的數學語言描述作圖過程，以表達促進思維的發展。本課中在比較線段長度的基礎上，教師設計了尺規作等長線段的活動。在這個活動中，學生不僅要動手操作，更要構思畫法，并在對比交流中清晰地表達作圖過程。因此，教師設計了學習任務單鼓勵學生思考操作（圖1），并用關鍵詞概括作圖的方法。在交流方法的過程中，鼓勵學生邊傾聽邊嘗試，邊討論邊完善，會思考會做事。

學習任務單

活動要求：

1.想一想：你想怎樣比較所畫線段和標準線段的長短？

2.選一選，做一做：選擇合適的工具，動手比一比。

3.說一說：跟你的同桌說一說你是怎么比較的。

正如新課標所說，這樣的設計意在通過經歷用數學語言表達現實世界中的簡單數量關系與空間形式的過程，讓學生學生初步感悟數學與現實世界的交流方式。如在概括作圖方法的過程中，學生經歷交流、反思，嘗試概括成“以點C為端點，以線段AB的長度畫弧，交射線為點D，線段CD即為AB的等長線段”這樣具有數學特色的小結。引導學生欣賞數學語言的簡潔與優美，在數學課堂上逐步養成用數學語言表達與交流的習慣。

（二）用多樣工具引發推理想象

在多樣化的工具選擇、對比、分析中讓學生感受圓規的價值，發展學生的推理和想象能力。我們生活在真實的世界里，數學對象也是從現實世界而來。但是數學不是以“真實”本身為對象，而是通過“剝離”或“去掉”真實對象中的“真實”，找到它的本質屬性，進而得到數學的研究對象。

活動中教師準備了小棒、毛線、圓規和直尺等學具，讓學生在活動探究中先選擇工具。這樣設計，主要有這樣的思考：選取具有現實意義的工具，像小棒、毛線、書本等這樣隨手可取的工具，其實也具備“量”“比”線段的功能，而且這些工具是生活中隨處可見的，這樣更貼近現實世界。

教師鼓勵學生選擇“類似”的工具進行作圖，比如可以借助毛線或繩（無彈性）用手將它們的一端固定，另一端固定在鉛筆上，利用鉛筆的移動畫出圓弧，與已知線段比長短，讓學生體驗生活中很多類似工具“量”“比”線段的方法，看似隨意，其實都是蘊含著圓規畫弧的道理。但是在操作過程中，學生也體驗到這樣的工具雖取材方便，作用相通，但是作圖不夠精確，而圓規與尺作為專業的數學測量工具更符合數學學科的嚴謹性。

（三）從操作技能走向數學素養

通過本課學習，學生不僅學會如何用圓規畫等長線段，更是感受到“兩點確定一條線段”的本質，根據圓規兩腳之間的距離就可以讓線段“動”起來。利用尺規畫出與線段AB的等長線段，教師設計了這樣的活動單（圖2），4人一組，小組探索。

活動單

活動要求：

1.想一想：你打算如何畫出與線段AB等長的線段，小組交流。

2.畫一畫：借助尺規動手畫一畫，每步使用了什么工具。

3.說一說：小組交流你們的作圖過程，分為幾步，每步的關鍵是什么。

尺規作圖的價值不僅僅是讓學生知道作圖方法，更重要的是在活動的推進中，讓學生自己通過嘗試、操作，經歷找點的過程，發現問題，并及時思考、調整、再操作，最終體會到用尺規作等長線段的關鍵是確定線段的兩個端點。所以，尺規作圖有利于培養學生“幾何直觀”等核心素養，感受到數學圖形的直觀存在，清晰地感知圖形組成元素之間的空間關系。還能通過畫出的圖形來表示數學問題的抽象模型，實現數形結合，形成分析問題的一種思維方式。尺規作圖既能增強學生的動手操作能力，也發展了學生的幾何直觀和推理意識。在整個過程中，學生借助觀察、操作、想象，使直觀想象能力和推理意識都得到了發展，初步養成有條理、嚴謹的數學思維品質，逐步形成理性精神。

最后，在本課教學中教師也有一些困惑：根據四年級學生已有認知水平，學生對從一點到弧上任意一點的線段長度都相等的認識和理解不夠深刻。雖然借助信息技術在動態操作上讓學生多次感知點到圓弧上任意一點的距離都相等，但還是沒達到最佳效果。

四、結語

尺規作圖有力地促進了學生的直觀想象和推理意識的發展。在尺規作圖中，學生需要構思如何作圖，還要把怎么作圖的過程表達出來，這些都是幾何直觀和推理意識共同作用的結果。在這個過程中，學生能夠逐漸用數學的思維進行思考，用數學的語言進行表達，同時再次體驗尺規的作用，加深了數學理解。教師要發揮尺規作圖的教育價值，重視“作圖”，引導學生“做中學、思中學、創中學”，讓“作圖”成為學生想象、創造、推理的沃土，借助尺規來推理和想象，真正讓線段“動”起來。

【參考文獻】

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