遞推數列中的直觀想象與數學運算

2023年北京卷第10題是筆者非常欣賞的題目，題干簡潔、思維深刻，既可以從數列角度考查數學運算，又可從函數的角度考查直觀想象，鼓勵學生觀察、歸納、探索、分析問題，給不同能力水平的學生提供了良好的展示平臺.

1 原題再現

例 （2023年北京高考第10題）已知數列{an}滿足an+1=14（an-6）3+6（n=1，2，3……），則（" ）.

A.當a1=3時，{an}為遞減數列，且存在常數M≤0，使得angt;M恒成立

B.當a1=5時，{an}為遞增數列，且存在常數M≤6，使得anlt;M恒成立

C.當a1=7時，{an}為遞減數列，且存在常數Mgt;6，使得angt;M恒成立

D.當a1=9時，{an}為遞增數列，且存在常數Mgt;0，使得anlt;M恒成立

2 思路分析

根據思路分析畫出思維導圖，如圖1所示.

3 解題視角

3.1 視角1：歸納，猜想

解法1：對于選項A，當a1=3時，代入遞推式可以求出a2=-334+6，a3=-3944+6，a4=-327413+6，觀察其變化規律，發現-334，-3944，-327413……單調遞減無下界，變化方式與bn=-394n+6近似，所以不存在常數M≤0，使得angt;M恒成立，所以選項A錯誤；對于選項B，當a1=5時，a2=-14+6，a3=-144+6，……，易于歸納an=5（n=1），an=6-14·143·1432·……·143n-2（n≥2），該數列遞增，當n→+∞時，limn→+∞an=6，則M=6時，an＜M恒成立，所以選項B正確；對于選項C，與選項B的做法相似，歸納出通項公式，an=7（n=1），an=14·143·1432·……·143n-2+6（n≥2），該數列遞減，當n→+∞時，limn→+∞an=6，則不存在M＞6，使得an＞M恒成立，所以選項C錯誤；對于選項D，與選項A相似，代入遞推式可以求出a2=334+6，a3=3944+6，a4=327413+6，變化方式與bn=394n+6近似，因此不存在常數Mgt;0，使得anlt;M恒成立，所以選項D錯誤.

故選答案：B.

實際上，這種方法并不嚴謹，但是經過對班上同學的調查發現，他們大多都用了類似的方法解決該問題，在考場上有效節省了時間.因此，對于一些比較陌生的遞推數列問題，賦值嘗試或是不錯的選擇.

3.2 視角2：直觀想象

數學是一門追求嚴謹的學科.因此我們不禁發問，能否有更清晰的方式說明前面猜想的正確性呢？接下來，讓我們把這個抽象的數列具象化.

解法2：設函數f（x）=14（x-6）3+6，y=x，它們的圖象如圖2所示.如圖3，記點B（a1，a1），過點B作y軸的平行線交f（x）于點A1，其縱坐標為a2，過點A1作x軸平行線交y=x于點B1，再過點B1作y軸的平行線，交f（x）于點A2.這樣依次得到點列B（a1，a1），A1（a1，a2），B1（a2，a2），A2（a2，a3），……，Bn-1（an，an），An（an，an+1）.通過圖3，可以直觀地呈現數列{an}的變化趨勢.

對于選項A，如圖3所示，若a1=3時，{an}是遞減數列，且沒有下界，所以“存在常數M≤0，使得angt;M恒成立”是錯誤的.

對于選項B，如圖4所示，若a1=5時，{an}是遞增數列，上界為6，所以當M=6時，anlt;M恒成立，故該選項正確.

對于選項C，如圖5所示，若a1=7時，{an}是遞減數列，下界為6，所以“Mgt;6，angt;M恒成立”是錯誤的.

對于選項D，如圖6所示，若a1=9，{an}是遞增數列，沒有上界，所以“存在常數Mgt;0，使得anlt;M恒成立”是錯誤的.

故選答案：B.

如果繼續研究，針對該題，我們可以得到更為一般的結論：

（1）a1lt;4時，{an}是遞減數列，無下界；

（2）4lt;a1lt;6時，{an}是遞增數列，4lt;anlt;6；

（3）6lt;a1lt;8時，{an}是遞減數列，6lt;anlt;8；

（4）a1gt;8時，{an}是遞增數列，無上界；

（5）a1=4，6，8時，{an}是常數數列.

這種數列的表示方式稱為蛛網圖，該圖使得數列的單調性、有界性有了直觀的呈現.基于此進行猜想與證明，是破解遞推數列問題的重要方法.

為求嚴謹，下面我們將通過代數方式證明從圖中所得的結論.

（Ⅰ）數列有界性證明

以上述結論（2）為例，證明：當4lt;a1lt;6時，4lt;anlt;6恒成立.

證明：①

當n=1時，已知4lt;a1lt;6，故命題成立.

②假設當n=k時命題成立，即

4lt;aklt;6.

由條件得ak+1=14（ak-6）3+6，因為-2lt;14（ak-6）3lt;0，所以4lt;14（ak-6）3+6lt;6，于是4lt;ak+1lt;6，即n=k+1時，命題也成立.

綜上所述，當4lt;a1lt;6時，對任意的n∈N*都有4lt;anlt;6恒成立.

（Ⅱ）數列單調性證明

以上述結論（2）為例，證明：當4lt;a1lt;6時，{an}是遞增數列.

證明：由已知得an+1-an=14（an-6）3+6-an=（an-4）（an-6）（an-8）4.

由（Ⅰ）知，4lt;anlt;6，所以an+1-angt;0.

綜上所述，當4lt;a1lt;6時，對任意的n∈N*都有an+1-angt;0，所以{an}是遞增數列.

（Ⅲ）數列無界性證明

以上述結論（4）為例，證明：a1gt;8時，{an}是遞增數列，無上界.

證明：與（Ⅱ）中的方法相同，可以證明a1gt;8時，{an}是遞增數列，下面證明其無上界.

因為ak+1-ak=（ak-4）（ak-6）（ak-8）4，所以ak-ak-1=（ak-1-4）（ak-1-6）（ak-1-8）4（k≥2）.

由數列單調性可知，ak+1gt;ak，且函數y=（x-4）（x-6）（x-8）4在（8，+∞）上單調遞增，所以ak+1-akgt;ak-ak-1.

所以ak+1=（ak+1-ak）+（ak-ak-1）+……+（a2-a1）+a1

gt;（a2-a1）+（a2-a1）+……+（a2-a1）+a1gt;k（a2-a1）.

令M=k（a2-a1），則可得k=Ma2-a1，取t=Ma2-a1〗+2，

此時atgt;M，所以當a1gt;8時，對于M∈（0，+∞），t∈N*使得atgt;M.

3.3 視角3：通項公式

蛛網圖法之后，我們繼續深入探究，嘗試通過遞推關系式，探索通項公式.

解法3：歸納、猜想、證明.

因為an+1=14（an-6）3+6=2an-623+6，所以a2=2a1-623+6，

a3=2a1-6232+6，猜想其通項公式為an=2a1-623n-1+6.

下面證明：

當n=1時，a1=2a1-6230+6=a1成立.

假設當n=k時，命題成立，即

ak=2a1-623k-1+6，

由條件得ak+1=14（ak-6）3+6=2a1-623k+6，即n=k+1時命題也成立.

綜上所述，可知對任意的n∈N*都有an=2a1-623n-1+6.

然后根據通項公式判斷各選項.略.

解法4：構造輔助數列求通項.

因為an+1-6=14（an-6）3，所以an+1-6，an-6同號，且an+1-62=an-623.

設bn=an-62，則bn+1=b3n.當an-6gt;0時，有lg bn+1=3lg bn，可知lg bn是等比數列，且公比為3，所以lg bn=3n-1·lg b1，解得an=2a1-623n-1+6.

同理，當an-6lt;0時，設bn=6-an2，依然滿足上述通項公式；當an-6=0驗證也成立.所以對任意的n∈N*，都有an=2a1-623n-1+6.

然后根據通項公式判斷各選項.略.

4 變式練習

上文是筆者在破解題目過程的幾個思維階段，從特值嘗試，到直觀想象，再到代數運算，涵蓋了遞推數列問題求解的基本方法.在此基礎上加以對比、反思，并進行變式練習，必能提升對此類問題的認識高度.

人民教育出版社A版數學教材選擇性必修第二冊第41頁第11題考查了一個分式型遞推數列，筆者對其進行改編，用以鞏固上文中的方法和技巧.

變式1 （多選題）已知數列{an}滿足an+1=3an2an+1，則下列選項中正確的是（" ）.

A.當a1=3時，{an}為遞減數列，且存在常數M≥1，使得angt;M恒成立

B.當a1=12時，{an}為遞增數列，且存在常數Mgt;0，使得anlt;M恒成立

C.當a1≠0時，{an}可能是常數數列

D.當a1≠0時，設數列的前n項和為Sn，則{Sn}是遞增數列

解法1：直觀想象.

設函數f（x）=3x2x+1與y=x（圖象見圖7），繪制蛛網圖，對于選項A，a1=3時，{an}遞減且下界為1，取M=1即可，故選項A正確；對于選項B，a1=12時，{an}遞增且上界為1，取M=1即可，故選項B正確；對于選項C，當a1=1時成立；對于選項D，易知a1∈-12，0時，a2lt;0，故選項D不正確.

故選：ABC.

解法2：數學運算.

已知an+1=3an2an+1，根據教材提示，可以證明1an-1是公比為13的等比數列，進而求其通項公式為an=3n-1a11+（3n-1-1）a1.

對于選項A，an=1+23n-2，可知其遞減且下界為1，故選項A正確；對于選項B，由an=1-13n-1+1，可知其遞增且上界為1，故選項B正確；對于選項C，令an+1=an可以求出a1=1，則a1=1時，{an}是常數數列，故選項C正確；對于選項D，若{Sn}為遞增數列，則需angt;0，但當a1∈-12，0時，a2lt;0，故選項D不正確.

故選：ABC.

變式2 對于給出數列bn=b2n-1+2bn-1，其前n項和為Sn，則下列選項正確的是（" ）.

A.當b1=-3時，M∈R，使bn≤M恒成立

B.當b1=-12時，M∈R，使bn＞M恒成立

C.當b1∈解法1：直觀想象.

已知bn=b2n-1+2bn-1，設函數f（x）=x2+2x，g（x）=x，其圖象如圖8所示.

繪制蛛網，可知：

當b1∈（-∞，-2）時，bn遞增且沒有上界；

當b1∈（-2，-1）時，當n≥2，bn遞減，且bngt;-1；

當b1∈（-1，0）時，bn遞減且bngt;-1；

當b1∈（0，+∞）時，bn遞增且沒有上界.

特別地，當b1=-2時，數列{bn}為-2，0，0，……；當b1=0時，{bn}為常數數列；當b1=-1時，{bn}為常數數列.

由上述結論易知，選項ACD錯誤，選項B正確.

解析2：代數運算.

由bn+1=b2n-1+2bn-1+1，兩邊取對數，可得lg（bn+1）=2lg（bn-1+1），故{lg（bn+1）}是公比為2等比數列，可求得bn=（b1+1）2n-1-1，易知選項ACD錯誤，選項B正確.

代數語言總是帶有極強的抽象性，對思維能力要求較高.當我們遇到以代數符號為載體且較為抽象的數列題目時，要敢于歸納，大膽猜想，從直觀想象入手，形成初步認識，再通過嚴謹的代數證明，將結論升華，抽絲剝繭、層層深入.這樣我們定會在一次次嘗試中不斷突破自我，體會解題的快樂！正是：

遞推數列題目難，歸納猜想做在前.

輔助數列求嚴謹，蛛網圖下顯真顏.