直線與平面垂直教學的創新嘗試

本節課選自普通高中課程標準數學教科書必修第二冊（人教A版）第八章“立體幾何初步”，主要學習直線與平面垂直的判定定理及其應用.直線與平面垂直是空間中兩條直線垂直位置關系的延展，同時又是兩個平面垂直的基礎，是空間中各個幾何元素垂直關系轉化的關鍵.

1 課時教學目標及重難點

目標：（1）正確理解直線與平面垂直的定義，探索線面垂直的判定定理；

（2）經歷判定定理的證明，并能簡單應用;

（3）通過判定定理的證明，感悟“線面垂直轉化為線線垂直”即“空間問題轉化為平面問題”，進一步體驗化繁為簡.

重點：理解直線與平面垂直的定義及判定定理.

難點：概括直線與平面垂直的定義和判定定理時如何將“線面垂直”轉化為“線線垂直”.

2 教學過程片段

2.1 環節一：創設情境，引入課題

師：和大家分享一首在網上看到的小詩——線細如絲掛日邊，面平如鏡映青天.垂柳依依風拂面，直上九霄傲云間.同學們能發現其中的奧妙嗎？

生：每句詩的第一個字連起來就是“線面垂直”這是一首藏頭詩.

師：非常好，說明大家都有一雙發現數學的眼睛，這就是今天我們要一起學習和探究的課題.

師：首先回顧之前的知識.空間中的直線與平面有幾種位置關系？

生：三種位置關系，即直線在平面內，直線與平面平行，直線與平面相交，其中直線與平面平行和直線與平面相交統稱為直線在平面外.

師：我們來看下列三幅圖片，圖1中旗桿所在直線與地面所在平面呈現出怎樣的的位置關系，圖2中跨江大橋的橋墩與江平面有怎樣的位置關系，圖3日常生活中開關門的門軸與地面又有怎樣的位置關系？

生：這三幅圖都給我們以直線與平面垂直的形象.

師：那什么叫做直線與平面垂直呢？能否把直觀的形象數學化，用確切的數學語言刻畫直線與平面垂直？全體起立，站直，此時身體與地面是垂直關系，向左傾斜此時身體與地面還垂直嗎？向前傾斜此時還能垂直嗎？

生：向左傾斜和向前傾斜時身體與地面不垂直.

師：怎樣才能使得身體與地面保持垂直關系？

生：身體不向任何一邊傾斜.

師：同學們總結得很到位，這就是18世紀法國數學家克萊羅在《幾何基礎》中給出的直線與平面垂直的直觀解釋——如果一條直線不向平面上的任何一面傾斜，我們說這條直線與該平面垂直.這個解釋合理嗎？其實直線與平面垂直的定義也是經歷了漫長的發展過程.

我們再來看一個實例：

如圖4，在陽光下觀察垂直于水平地面的旗桿AB，以及AB在地面的影子BC.隨著時間的推移，在不同時刻t1，t2，……，tn對應的影子BC（l1，l2，……，ln）的位置在不斷變化.請同學們注意觀察，思考下列問題：

①旗桿所在直線AB與其不同時刻的影子BC所在直線（l1，l2，……，ln）是否始終保持垂直關系？

②對于地面上不過點B的任意一條直線B′C′與旗桿所在直線AB是否始終有垂直關系？

生甲：①隨著時間的推移，在不同時刻t1，t2，……，tn旗桿影子BC的位置雖然在不斷變化，但是旗桿AB所在直線始終與影子BC（l1，l2，……，ln）所在直線垂直并且相交.也就是說，旗桿AB所在直線與水平地面上任意一條過點B的直線相互垂直.

生乙：②對于地面上不過點B的任意一條直線B′C′，總能在地面上找到一條過點B的直線與之平行.依據兩條異面直線垂直的定義，可知旗桿AB所在直線與直線B′C′也滿足垂直關系，因此，旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直.

師：這位同學解釋得非常到位，這就是古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中給出的直線與平面垂直的定義——若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.分析《幾何原本》中直線與平面垂直的定義，依據定義證明直線與平面垂直，等價轉化為證明該直線與平面內的任意一條直線垂直，即將空間問題平面化，體現了將三維問題轉化為二維問題的“降維”思想.

2.2 環節二：觀察分析，感知概念

師：下面我們給出直線與平面垂直的定義.

一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就稱直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.

規定：直線l稱之為平面α的垂線，平面α稱之為直線l的垂面，當直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P定義為垂足.

在立體幾何中，為了使空間圖形具有立體感，在畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖5所示.

（同學們完成導學案中的表1.）

規范語言描述：

文字語言：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就稱直線l與平面α互相垂直.

符號語言：對于bα，如果l⊥b，則稱l為平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足.

師：從邏輯上還可以怎么理解直線與平面垂直的定義？

生：直線與平面垂直的定義是將線面垂直轉化為線線垂直，反之若線面垂直則該直線與平面內所有直線都垂直，這是一個充要條件.

2.3 環節三：抽象概括，形成概念

師：在平面幾何中，有“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，將這一結論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線只能有一條，請同學們思考為什么？

我們不難發現，過一點作垂直于已知平面的直線有且只有一條.下面進行簡單的證明：

如圖6，若過平面α外一點P可以作平面α的兩條垂線a，b，

則兩條相交直線a，b確定一個平面，設為β.

不妨設α∩β=l，因為a⊥α，b⊥α，所以a⊥l，b⊥l.

又aβ，bβ，所以a∥b，

與a∩b=P矛盾.

所以過平面外一點作平面的垂線有且只有一條.

問題又來了，這個結論與點P的位置有關系嗎？

生：如圖7，無論點P在平面內還是平面外，結論都不會變.

設計意圖：學習立體幾何，可以類比平面幾何有關性質，結合直線與平面垂直的定義，將平面幾何的相關性質，拓展到空間幾何中去研究.

師：我們要利用定義判斷直線與平面垂直，最大的障礙就是無法驗證一條直線與一個平面內的所有直線都垂直，那么有沒有可行的方法呢？能否通過在平面內找有限條直線與已知直線垂直，從而判定直線與平面垂直？一條可以嗎？兩條呢？用手邊的筆和課本擺擺.

生：一條不可以.如圖8-1，筆垂直于課本邊所在的直線，但是筆和課本是斜交明顯不垂直；如圖8-2，8-3，兩條平行直線或相交直線唯一確定平面，但是一條直線垂直兩條平行直線時不能說明這條直線與平面垂直，發現兩條相交線可以.所以，我猜想一條直線垂直于一個平面內兩條相交直線，則這條直線與這個平面垂直.

師：這位同學通過動手操作得到結論，一條直線不可以，兩條直線中的相交直線可以，同時提出自己的猜想，大家覺得合理嗎？我們再動手做一做，以四人為一小組，同時思考下面的問題.

問題：如圖9，將一張三角形紙片ABC過△ABC的頂點A翻折，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起來放置于桌面上，使BD，DC與桌面接觸.請問：

①折痕AD與桌面是否垂直？

②要使折痕AD與桌面保持垂直關系，該如何翻折？為什么？

（小組合作大概3分鐘，通過不同折疊方法，得到結論.）

生：我們小組折了兩種.第一種折痕AD是∠A的角平分線，它不與桌面垂直，如圖10-1；第二種折痕AD是BC邊的高，它與桌面垂直，如圖10-2.

師：通過剛才這組同學的展示，容易發現，AD所在直線與桌面所在平面α垂直的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.這時，由于翻折之后垂直關系不變，所以直線AD與平面α內的兩條相交直線BD，DC都垂直.之前的同學的猜想是“一條直線垂直于一個平面內兩條相交直線，則這條直線與這個平面垂直”，我們能不能用學過的知識進行證明？

猜想：圖10-2中，當AD⊥CD，AD⊥BD時，直線AD⊥平面α.

已知：兩條直線m，nα，且m∩n≠，直線l⊥m，l⊥n.

求證：l⊥α.

分析：要證明l⊥α，就是要證明l垂直于α內的任意一條直線g.如果能在直線g和直線m，n之間建立某種聯系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解決此問題.

證明：如圖11，在平面α內作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.

因為直線m與n相交，所以向量m，n不平行.

由向量共面充要條件可知，存在唯一有序實數對（x，y），使得g=xm+yn.

將上式兩邊分別與向量l作數量積運算，可得

g·l=xm·l+yn·l.

因為m·l=0，n·l=0，所以g·l=0，即l⊥g.

綜上，l⊥α.

由此，我們可將上述證明的結論，總結為如下的判定直線與平面垂直的定理：

定理 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

師：該定理體現了“空間問題向平面問題的等價轉化”.關鍵字為“面內”“相交”“垂直”.通過定理的證明充分說明，之前同學的猜想是正確的.其實這也是科學家研究問題的方法，即提出猜想，推理論證，得到結論.

正所謂：

基本定理實在妙，任意直線巧構造

向量點積搭鵲橋，幾何代數成雙好

2.4 環節四：辨析理解，深化概念

例1 求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.

已知：如圖12，a∥b，a⊥α.

求證：b⊥α.

分析：要證明“b⊥α”，依據直線與平面垂直的判定定理，將問題轉化為證明直線b垂直于平面α內的兩條相交直線即可.

證明：如圖13，在平面α內任取兩條相交直線m，n.

∵a⊥α，

∴a⊥m，a⊥n.

∵b∥a，

∴b⊥m，b⊥n.

又mα，nα，m，n是兩條相交直線，

∴b⊥α.

除了判定定理還有其他方法證明這個結論嗎？

引導學生嘗試用定義證明.

2.5 環節五：歸納總結，反思提升

（1）直線與平面垂直的證明方法有如下三種：

①利用直線與平面垂直的定義.

②利用直線與平面垂直的判定定理.

③利用直線與平面垂直的性質：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.

（2）線線垂直和線面垂直的相互轉化，如圖14所示.

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2.6 環節六：作業布置

必做：教材第152頁練習第2，3題.

選做：查閱資料，了解多種證明直線與平面垂直判定定理的方法.