依綱據本 不失創新

很高興應新疆昌吉回族自治州第一中學李梅老師等7個州級工作室主持人邀請，在昌吉州參加多場教研活動.其中一場活動是在昌吉州下轄的阜康市一中舉行，一個環節是聽王麗老師的“直線與平面垂直”第1課時的公開課.王老師任教于新疆昌吉州一中，而上課的班級是昌吉州下轄的縣級市阜康市一中，二者生源有較大差距.王老師上出了一節“依綱據本，不失創新”的特色課.以下談學習體會，不當之處，歡迎同行批評指正！

課堂教學要依綱據本，但不是把教材內容照搬到課堂，那樣師生都會失去活力，教學變得索然無味.王麗老師的“直線與平面垂直”這節課為我們做出了尊重學生、尊重教材又不失創新的示范.

1 觀察現象，引入定義

立體幾何中的很多定義、定理都可以通過對教室（長方體）等身邊的現象的觀察抽象而來.本課中直線與平面垂直的定義和判定定理也是如此.觀察旗桿與其在地面上的影子始終是垂直的，由于平面內任意一條直線都可以平移到旗桿和地面的交點，由此可知旗桿與地面內所有直線都垂直.王老師又讓學生直立和左右傾斜，發現傾斜時不能保證身體和地面內每一條直線垂直，經過正反兩方面的歸納總結，直線與平面垂直的定義呼之欲出，最后抽象出直線與平面垂直的定義.

旗桿的例子大家常用，但是身體傾斜時不是與地面垂直（或一棵傾斜的樹不是與地面內所有直線垂直）的例子不常用.這實際上不僅落實了抽象素養，同時學生再現歷史上數學家發現線面垂直的過程，感到很自豪.

2 動手實驗，發現定理

根據定義判斷線面垂直是困難的，因此需要尋找直線與平面垂直的判定定理.王老師放手讓學生討論，發現一條直線垂直于平面內的無數條直線（平行線）也不能保證線面垂直，通過折紙最后發現一條直線和一個平面內兩條相交直線垂直即可保證線面垂直.這一過程看似簡單，但對學生來說很重要，因為學生經歷了定理的發現過程，印象深刻，對后續學習有利.

當然，定理的發現還有其他途徑，比如墻角線和墻壁與地面交線垂直，在門移動過程中豎直的邊沿線與底邊也垂直，通過這些抬頭不見低頭見的例子可以發現直線與平面垂直的判定定理，相比折紙可能還會省點的時間，不必嚴格按照教材的做法.

3 降維轉化，證明定理

直線與平面垂直判定定理的證明是本節課的最大亮點：解放思想、腳踏實地！所謂解放思想是指把線面垂直放到立體幾何的大背景下整體考慮.因為傳統的構造性證明學生難以想到，且講授耗時過長（這也許是教材在這里不證明的原因）.所謂腳踏實地就是要在本課中證明定理就要另辟蹊徑.由于直線與平面垂直的判定定理可以轉化為線線垂直，所以考慮向量的證明方法就顯得很自然，但此時學生還沒有學習空間向量怎么證明？轉化，把空間問題轉化為平面問題！于是就有了王老師課堂中引導學生的精彩證明.

證明的關鍵是把異面直線l與g的垂直轉化為共面垂直，然后把直線g，m，n向量化.由于這三條線共面，利用平面向量基本定理得到g=xm+yn，于是l·g=xl·m+yl·n.因為l與m，n兩兩垂直且共面，所以l·m=0，l·n=0，于是l·g=0.

這種轉化體現了思維的靈活性和深刻性，思維強度大，是深度學習.

現行教材中由于各種原因對有些定理沒有證明，但在教學中可以根據所教學生情況或教材內容適當安排順序靈活把握.比如，直線與平面垂直的判定定理直接用定義就不便證明，而用向量的基底法即可輕松證明.再比如，正弦、余弦函數的單調性都是從圖象中發現的，其實，如果把函數圖象安排在和差化積之后就可以給出簡捷的證明，雖然上海現行教材是這樣安排順序的，但沒有給出證明.對于普通中學可以不證明，但對于重點中學還是應該指導學生證明為好.因為這不僅促使學生學到了一個公式的證明方法，更重要的是鼓勵學生敢于創新——書上沒有的方法我也能想到！

4 數學文化，教書育人

數學文化的作用在于幫助學生理解所學知識，同時感覺數學“有意思”，提高學習數學的興趣.本課中王老師通過一首藏頭詩開明宗義揭示課題“直線與平面垂直”，上課伊始就抓住學生的注意力，在后續教學中通過學生活動再現法國數學家克萊羅在《幾何基礎》中給出的直線與平面垂直的直觀解釋，以及古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中給出的直線與平面垂直的定義，讓學生感到他們與數學家當年的想法一致，培養學生自信心.

定理證明結束后的一首詩中的“向量點積搭鵲橋，幾何代數成雙好”，既點中了直線與平面垂直判定定理證明的本質，又指導學生欣賞數學美，使前一段緊張的學習氣氛變得輕松，又為下一階段的繼續學習鼓舞了士氣.

如果在學生發現直線垂直于平面內兩條相交直線即垂直于這個平面，而垂直于平面內無數條直線也不一定垂直這個平面，老師說“這是一夫當關，萬夫莫開！”，更能加深學生印象.

5 不斷總結，再上臺階

在引入直線與平面垂直的定義和發現判定定理的過程中，可能是王老師對學生不熟悉的原因，為了發揮學生的主動性和調節氣氛使師生相互適應，用時有點多.如引入定義利用旗桿的例子就可以了，上課開始的三個圖可以不用.再如定理的發現，利用墻角線或門在轉動過程都能使門邊沿與地面保持垂直關系的例子就可以了，不一定要學生去折紙探究，因為這種探究思維價值不大，教師演示一下學生都能理解，這樣可為后面的教學節省時間.

環節三中“過一點有且僅有一條直線和已知平面垂直”出現得有點早，雖然教材中緊跟定義出現，但教材中包括定理都沒有證明，這樣提出是可以的.其實教材中還有另一個類似問題“過一點有且僅有一個平面與一條直線垂直”.因此建議在定義之后直接進入判定定理的發現和證明環節，因為這符合人的認知規律——引入定義一般就會想到由定義可以得到相關性質，從而使問題獲得簡單解決方法.把這兩個唯一性的證明放在例1后面（第二個唯一性的證明可以留給學生當作業）比較合適，因為要使用反證法，有點難.這里留時間給學生先動手嘗試，做不出來再與其他同學討論，這樣活動的價值比前面折紙的價值大，而老師邊講思路邊放PPT的做法學生實際上沒有掌握，只是了解思路而已.

類比思想強調得不夠.立體幾何中有些結論可由平面幾何類比而來.比如，例1可以由“平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行”類比而來，同樣前面提到的另一個唯一性可由“平面內過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直”類比而來.這樣在定理的教學結束后運用類比的思想讓學生提出問題（例1等），比直接證明書中的例題更能激發學生的熱情，因為問題是學生自己“發現”的.類比有時侯是發現新問題的一條途徑，立體幾何是培養類比思維的沃土.

小結雖然有知識和思想層面的內容，但還沒有上升到育人層面.本課的育人點主要有歸納抽象、類比思想以及化空間問題為平面問題的轉化思想.其中歸納抽象是指通過具體實例抽象出直線與平面垂直的定義和判定定理.類比思想是指類比平面幾何結論提出新問題，從思維層面上看這是升維，而在解決問題過程中又把空間問題轉化為平面問題——降維.這一升一降正是辯證法的觀點指導數學教學的體現.

像直線與平面垂直這樣的經典內容，要上出新意其實很難，但是辦法總比困難多，王老師做到了！