一道數(shù)學(xué)題的“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”

白蒲中學(xué)開展基礎(chǔ)教育前瞻性教改實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”實(shí)踐研究，以提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)新質(zhì)生產(chǎn)力人才為目標(biāo)，將學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的學(xué)習(xí)過程深化為知識(shí)生產(chǎn)的過程，即對(duì)知識(shí)進(jìn)行認(rèn)識(shí)感悟、整合重構(gòu)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新.促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)、探究學(xué)、合作學(xué)、深度學(xué)，自我調(diào)節(jié)學(xué)，增進(jìn)學(xué)習(xí)的自主性、生成性、生長(zhǎng)性，從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，以學(xué)習(xí)產(chǎn)生更多的學(xué)習(xí)，逐步累積學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展的價(jià)值觀念、必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力.

學(xué)習(xí)一般都是從學(xué)習(xí)者熟悉的知識(shí)開始，“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”方式下的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)也不例外，通過對(duì)熟悉知識(shí)或熟悉知識(shí)的學(xué)習(xí)感受體驗(yàn)，轉(zhuǎn)化遷移，探索未知，從而完成對(duì)新知的學(xué)習(xí)，形成更加完整深入的認(rèn)知.本文由筆者以高考數(shù)學(xué)壓軸題型之一的函數(shù)零點(diǎn)問題的探究為例，簡(jiǎn)述“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”方式下以學(xué)科思維能力培養(yǎng)為主線的探究學(xué)習(xí)課.

“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”方式下的數(shù)學(xué)課堂堅(jiān)持“學(xué)科育人”，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于探究的學(xué)科精神和嚴(yán)謹(jǐn)縝密、開拓創(chuàng)新的思維能力.而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵在于思維的邏輯性（深刻性）、靈活性、批判性、創(chuàng)造性等思維品質(zhì)的培養(yǎng).為學(xué)生構(gòu)建可遷移的有組織的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生在真實(shí)情境中的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)和發(fā)揮出學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，即面對(duì)新問題時(shí)，學(xué)生能靈活重組知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)高通路遷移.這是“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”的關(guān)鍵.要求學(xué)習(xí)者在平時(shí)的學(xué)習(xí)中“向內(nèi)深挖”，“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志品質(zhì)，更主動(dòng)自覺地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.“也只有讓學(xué)生積極參與知識(shí)與智慧生產(chǎn)的時(shí)候，才會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生刻骨銘心的體驗(yàn)，從而達(dá)到最佳的學(xué)習(xí)效果”.

1 師生學(xué)習(xí)活動(dòng)過程

1.1 問題呈現(xiàn)

問題 已知函數(shù)f（x）=ln x+2x-2，g（x）=xln x-ax2-x+1.

（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）試討論a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

本題以對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)和一次函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用.能完美地體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想；突出構(gòu)造法、消元法、放縮法、估算法、賦值取點(diǎn)等數(shù)學(xué)方法.既有數(shù)學(xué)直觀想象，又有數(shù)學(xué)抽象思維；同時(shí)，通過更多的變化培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維能力.命題構(gòu)思巧妙，題目新穎，平凡中見真奇，樸實(shí)里顯力量，探索性極強(qiáng)！

1.2 問題探究

“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”方式下的課堂，要求給學(xué)生充分的自主時(shí)間和自我發(fā)揮的空間，個(gè)人獨(dú)立思考、嘗試解決是基礎(chǔ).首先自主學(xué)習(xí)，從計(jì)算起步；然后合作探究，完善拓展；最后整體把握，體驗(yàn)感悟.

生1：展示講解第（1）問.

（1）證明：f′（x）=1x-2x2=x-2x2.

由f′（x）=x-2x2=0，得x=2.

所以f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（1）=0，f（2）=ln 2-1lt;0，f（e2）=2+2e2-2gt;0，

所以結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

生2：補(bǔ)充函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，同時(shí)畫出草圖更便于理解.

師：同學(xué)們覺得第（1）問的解答對(duì)第（2）問起到什么作用？

生3：通常解答題的第（1）問可為后面的解答提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)或基礎(chǔ)結(jié)論，或是后面解答的一種具體而特殊的情況，或?yàn)楹竺娼獯鹛峁╊愃频臄?shù)學(xué)思想方法.

師：講得特別好！第（1）問通常起到基礎(chǔ)性鋪墊作用，為后續(xù)作答提供合情推理的依據(jù)和數(shù)學(xué)通性通法實(shí)踐探索的基礎(chǔ).下面大家思考并完成第（2）問.

學(xué)生深度研究，小組交流完善，并講解展示.

生4：我們小組從目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，給出解題分析過程.

分析：求導(dǎo)，得g′（x）=ln x-2ax（xgt;0）.

令m（x）=ln x-2ax，則m′（x）=1x-2a.

（ⅰ）當(dāng)alt;0時(shí)，m′（x）gt;0，則m（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

即g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

那么，函數(shù)m（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上是否有零點(diǎn)呢？當(dāng)x→0時(shí)，ln x→-∞，-2ax→0，于是m（x）→-∞；而當(dāng)x→+∞時(shí)，ln x→+∞，-2ax→+∞，于是m（x）→+∞.通過變化趨勢(shì)定性分析，得出函數(shù)m（x）=ln x-2ax有一個(gè)零點(diǎn).

根據(jù)以上分析，結(jié)合函數(shù)m（x）單調(diào)遞增，要使得m（x）=ln x-2axlt;0，自變量x必須越來越接近0，又考慮到函數(shù)m（x）解析式中含有對(duì)數(shù)，則可以依次取指數(shù)型如ea，e2a，e3a等試試.因?yàn)閍lt;0，所以0lt;e2alt;1，m（e2a）=2a（1-e2a）lt;0.

要使得m（x）=ln x-2axgt;0，又因?yàn)?2axgt;0，所以只要使得ln xgt;0即可，于是自變量xgt;1，便于說明可以取e，e2，e3等.有m（e）=1-2aegt;0.

師：同學(xué)們進(jìn)行了深入的思考和大量的運(yùn)算.雖經(jīng)歷曲折，百轉(zhuǎn)千回卻獲得成功，收獲滿滿.大家充實(shí)而興奮，探究數(shù)學(xué)問題的精神一直激勵(lì)著我們自己！

這時(shí)小組內(nèi)另一位同學(xué)給出補(bǔ)充.

生5：以上取點(diǎn)采用了“對(duì)取指、指取對(duì)”的策略，還可以采取局部放縮的方法取點(diǎn).

根據(jù)以上分析，結(jié)合函數(shù)m（x）單調(diào)遞增，要使得m（x）=ln x-2axlt;0，自變量x必須屬于（0，1）且越來越接近于0，可將-2ax放大為-2a，將不可解不等式ln x-2axlt;0轉(zhuǎn)化為可解不等式ln x-2a≤0，進(jìn)而求出x≤e2a，可取x=e2a.

同樣，要使得m（x）=ln x-2axgt;0，又因?yàn)?2axgt;0，只要使得ln x≥0即可，將不可解不等式ln x-2axgt;0中正項(xiàng)-2axgt;0去掉轉(zhuǎn)化為可解不等式ln x≥0，進(jìn)而求出x≥e，可取x=e.

師：數(shù)學(xué)問題的解決就是轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化、再轉(zhuǎn)化，從不可能到可能，在意料之外，又在情理之中，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)變得激動(dòng)，驚奇之情喜形于色，溢于言表.這兩種取點(diǎn)策略值得我們學(xué)習(xí)借鑒，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)展示規(guī)范的解答過程.

生4：我們小組給出如下規(guī)范解答過程.

解：（i）因?yàn)閍lt;0，所以0lt;e2alt;1，則g′（e2a）=ln e2a-2ae2a=2a（1-e2a）lt;0，g′（e）=1-2aegt;0.

又g′（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上單調(diào)遞增并且連續(xù)不間斷，

所以，函數(shù)g′（x）=ln x-2ax在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為t，其中t∈（0，1）.

由表1可知，g（x）min=g（t）=tln t-at2-t+1，因?yàn)閘n t-2at=0，

所以

g（x）min=t2＼5lnt-t+1=t2ln t-2+2t.

由（1）可知ln t-2+2tgt;0（在這里利用了第一問的研究結(jié)論），于是g（x）min=t2ln t-2+2tgt;0，所以函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn).

師：剛才這個(gè)小組的同學(xué)分析了alt;0時(shí)目標(biāo)函數(shù)的零點(diǎn)情況.下面其他小組能不能主動(dòng)分享一下a=0時(shí)的解法，并對(duì)本題進(jìn)行小結(jié).

生6：我們小組來講講a=0時(shí)的情況.

（ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，由g′（x）=0，得x=1.

由表2可知，g（x）min=g（1）=0，所以函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn).

本題我們小組覺得最難的是取點(diǎn)，前面我們采用了“對(duì)取指、指取對(duì)”的策略和局部放縮的方法取點(diǎn).放縮常用到不等式ex≥x+1，ln x≤x-1，ln x+1xgt;1，ln xlt;x（xgt;0）.其實(shí)，平時(shí)我們還取確定點(diǎn)、特殊點(diǎn)、臨界點(diǎn)、極值點(diǎn)的倍數(shù)或極值點(diǎn)的平方、立方等來嘗試解決問題.總之，取點(diǎn)絕不是一蹴而就的，往往需要觀察嘗試、計(jì)算探究和體驗(yàn)歸納.

師：同學(xué)們真了不起！以上解決問題的方法可以說是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，難度很大，需要大家有很強(qiáng)的的邏輯推理能力和建模能力.通過“抽象”產(chǎn)生數(shù)學(xué)；通過“推理”發(fā)展數(shù)學(xué)；通過“模型”應(yīng)用數(shù)學(xué).形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的理性思維品質(zhì)，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

生7：除了這種正面討論的方法，我還有參變分離的解法（學(xué)生迫不及待地?fù)尨穑?

可以通過半分離，再利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系快速求解函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：（2）令g（x）=0，即xln x-ax2-x+1=0，則有ax=ln x-1+1x.

令φ（x）=ln x-1+1x，則函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于y=ax與y=φ（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

由φ′（x）=1x-1x2=0，得x=1.

所以φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則φ（x）min=φ（1）=0.

當(dāng)a=0時(shí)，y=ax圖象與φ（x）圖象有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)alt;0時(shí)，y=ax圖象經(jīng)過二、四象限與φ（x）圖象無交點(diǎn).

同學(xué)們熱烈鼓掌，對(duì)簡(jiǎn)潔有效的方法表示贊賞.

師：這種快速的解答方法是同學(xué)們充分經(jīng)歷觀察、思考、表達(dá)，在情境中把握了事物的本質(zhì)、事物之間的關(guān)聯(lián)、事物發(fā)展的脈絡(luò)，以簡(jiǎn)馭繁，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題.雖不及前面的解答縝密嚴(yán)謹(jǐn)，但不必求全責(zé)備，我們?cè)诟惺軘?shù)學(xué)魅力的同時(shí)，也要感覺到自己的進(jìn)步，特別是在思考問題的方式方法上，就像這種解法化陌生為熟悉、化繁雜為簡(jiǎn)單，配以圖形，數(shù)形結(jié)合更快、更好地解決問題，非常值得稱贊.

1.3 問題拓展

師：帶著剛剛同學(xué)們總結(jié)出的學(xué)科思維方式和數(shù)學(xué)思想方法，我們來變式進(jìn)行更深入的探究.我們可以設(shè)置第三問“（3）假設(shè)存在常數(shù)λgt;1，且滿足f（λ）=0，試討論agt;0時(shí)，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)”.

給學(xué)生足夠的探索分析的時(shí)間.觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、數(shù)形結(jié)合、抽象概括、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明等一系列思維過程都需要學(xué)生通過自己獨(dú)立的活動(dòng)來親身經(jīng)歷.

同學(xué)們靜靜地思考，認(rèn)真地計(jì)算后，爭(zhēng)先恐后到講臺(tái)前講解第三問（效果顯著）.

生8：（3）令g（x）=0，即xln x-ax2-x+1=0，則有ax=ln x-1+1x.

令φ（x）=ln x-1+1x，則函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于y=ax與y=φ（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

由φ′（x）=1x-1x2=0，得x=1.

所以φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則φ（x）min=φ（1）=0.

當(dāng)agt;0時(shí)，y=ax的圖象經(jīng)過第一、三象限，與φ（x）圖象至少有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)y=ax與函數(shù)φ（x）的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則可以得到a=φ′（x0）=1x0-1x20，ax0=ln x0-1+1x0，

可得ln x0+2x0-2=0，即f（x0）=0，從而x0=λ，此時(shí)a=λ-1λ2gt;0.

所以，當(dāng)a=λ-1λ2時(shí)，y=ax的圖象與φ（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)0lt;alt;λ-1λ2時(shí)，y=ax的圖象與φ（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)agt;λ-1λ2時(shí)，y=ax的圖象與φ（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

若把（3）中的“a＞0”去掉，則結(jié)論為：

當(dāng)alt;0時(shí)，函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)；當(dāng)0lt;alt;λ-1λ2時(shí)，函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=λ-1λ2時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)agt;λ-1λ2或a=0時(shí)，函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn).

師：同學(xué)們探究數(shù)學(xué)問題的氛圍熱烈，興趣盎然，思維活躍，驚奇不斷，已深深地被數(shù)學(xué)這一充滿智慧的學(xué)科和學(xué)科思維所吸引、折服.

2 總結(jié)與點(diǎn)評(píng)

本題從學(xué)生自主學(xué)習(xí)、計(jì)算起步，一步一步摸索向前，解題思路逐漸變寬；合作探究，完善拓展，智慧的火花在相互碰撞中閃爍光芒；整體把握，體驗(yàn)感悟，在經(jīng)歷體驗(yàn)、理解內(nèi)化、重組優(yōu)化、主動(dòng)建構(gòu)、歸納總結(jié)后，問題解決自然能直擊本質(zhì).其實(shí)函數(shù)與方程中的零點(diǎn)問題滲透了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，解題時(shí)需要具有敏銳的觀察能力和變更問題的策略，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，再運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分離參數(shù)方法、分類討論思想等解決問題.

平時(shí)我們的學(xué)習(xí)要立足課本，重視基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，熟練運(yùn)用通解通法，并關(guān)注數(shù)學(xué)思維的過程與方式，培養(yǎng)自己的思維品質(zhì).在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，不管外在的題型、題目背景如何變化，一定要學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象直擊本質(zhì)，同時(shí)要樹立“將探究進(jìn)行到底”的決心.這是數(shù)學(xué)學(xué)科所追求的學(xué)科思維和理性精神，這才是“永恒”的東西.

3 反思與感悟

知識(shí)點(diǎn)是肉，學(xué)科思維能力是骨，創(chuàng)造力和想象力是魂，而熱情與信念則是保證學(xué)生堅(jiān)持學(xué)習(xí)下去的動(dòng)力.“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”方式下的課堂堅(jiān)持給予學(xué)生充分的自主時(shí)間，給學(xué)生留有自我發(fā)揮的余地，大膽讓學(xué)生自主解決問題，更多地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中親身體驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)的感受、領(lǐng)悟和欣賞，包括經(jīng)歷挫折、獲得成功的體驗(yàn)等，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并直接轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

以生為本是“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”實(shí)踐的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).要以立足學(xué)生的未來發(fā)展為核心，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和意志品格.自主性、生成性、生長(zhǎng)性是“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”的三個(gè)基礎(chǔ)特性.要關(guān)注學(xué)習(xí)的自主性：讓學(xué)生基于已有知識(shí)，主動(dòng)獲取新知.要關(guān)注學(xué)習(xí)的生成性：建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷過程體驗(yàn)，生成學(xué)科思維.要關(guān)注學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)性：學(xué)會(huì)整合重構(gòu)，應(yīng)用拓展，提煉體悟，遷移創(chuàng)新.

在課堂學(xué)習(xí)過程中，教師要充分保障學(xué)生的話語權(quán)和選擇權(quán)，協(xié)同學(xué)生設(shè)定學(xué)習(xí)目標(biāo)，圍繞學(xué)習(xí)項(xiàng)目主題，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，尋找并提煉框架驅(qū)動(dòng)性問題.在驅(qū)動(dòng)性問題的吸引下，學(xué)生主動(dòng)學(xué)、合作學(xué)、探究學(xué)、驗(yàn)證學(xué)，教師則在后臺(tái)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行幫助、指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)總結(jié)與評(píng)價(jià)修正，并大膽展示自己的學(xué)習(xí)成果.這樣的課堂呼應(yīng)高中新課標(biāo)的理念，融知識(shí)、能力、價(jià)值于一體，融自主、合作、探究、展示于一體，融學(xué)、用于一體，以用促學(xué)，在用中學(xué)，讓學(xué)習(xí)自然而然發(fā)生.這種基于探究性、體驗(yàn)性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)變被動(dòng)為主動(dòng)，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，提升了學(xué)生協(xié)作溝通和自我規(guī)劃學(xué)習(xí)的素養(yǎng)品質(zhì).

總之，“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”能激活學(xué)生的思維，尊重學(xué)生的主體地位，真正讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到成長(zhǎng)的幸福.“生產(chǎn)性學(xué)習(xí)”方式下的數(shù)學(xué)課堂是師生共同經(jīng)歷的一段智慧之旅，課堂學(xué)習(xí)成為師生體現(xiàn)和實(shí)現(xiàn)生命價(jià)值的一種生活方式.