概念自然生成 知識追本溯源 提升數學素養

數學的概念教學對培養學生的思維能力具有舉足輕重的作用.如何上好一堂數學概念課？如何讓學生概括知識的本質特征，感受數學抽象的魅力？

1 教材分析

教學內容選自人教A版（2017年版）必修二第六章第一節“平面向量的概念”.向量是近代數學中重要和基本概念之一.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁，在解決實際問題中發揮著重要的作用.

本節課是本章的起始課，是本章學習的先行組織者.引導學生從具體情境中領悟向量概念的本質特征，抽象的方法是通過觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維方法得到的.啟發學生認識到研究概念的基本途徑：定義-表示-特殊元素-特殊關系-靈活應用.

2 教學過程

2.1 情境引入，概念自然生成

問題1 小羅同學乘坐水上巴士春游，從廣州塔碼頭出發，船行駛了1.5 km至某地點A，如圖1.你能準確說出是哪個碼頭嗎？如何描述才能準確定位呢？

學生1：不知道，因為只給出了距離，移動的方位是未知的，想要定位應該知道位移.

追問：小羅同學春游前先查詢了天氣情況，如圖2所示，低于零度的氣溫可以看作有大小和方向的量嗎？風力呢？

學生2：低于零度的氣溫可以用負數來表示，而想要確切地描述風，除了用一個實數說明風力，還要給出風向.

教學說明：通過廣州市具有特色的水上巴士的例子，感受到數學與生活息息相關.利用實例引導學生對有方向的量、無方向的量進行分類.

問題2 生活中還有哪些量具有和位移、風力同樣的特征呢？能否再列舉一些生活中只有大小沒有方向的量？

學生3：與位移相似的量，如圖3中的水上巴士的重力、浮力、速度、加速度等.水上巴士的票價、教室的面積、同學的身高等用一個實數就能表達.

教師：既有大小又有方向的量，稱為向量.只有大小沒有方向的量稱為數量.大約公元前350年，亞里士多德就知道了力可以表示成向量.向量比數量多了一個方向，產生了哪些神奇的影響呢？讓我們走進向量！

教學說明：概念的抽象需要典型豐富的實例，讓學生再回到生活中尋找是否還具有大小和方向兩個特征的量，調動學生的積極性.類比物理中矢量的概念，得到向量的定義.

2.2 自主構建，知識追本溯源

問題3 類比數量的表示，如何用幾何方法和字母方法表示向量呢？

教師：一是沿用有向線段的表示方法.最先使用有向線段表示向量的是英國科學家牛頓.1827年，默比烏斯以AB表示向量，這種用法被數學家廣泛接受.二是用小寫字母加箭頭表示，如a，b.哈密頓、吉布斯等人以小寫希臘字母表示向量.后來，為印刷方便，人們又用粗黑體小寫字母a，b表示向量.

問題4 如何表示向量的長度（或稱模）？

問題5 能否列舉兩個特殊長度的向量？

教學說明：簡要介紹向量的發展史，滲透數學文化.聯想實數中特殊的數字0和1，引導學生闡述零向量與單位向量的定義.

問題6 自然界處處有正六邊形，如蜂巢、肥皂泡和海綿外骨骼等.設O是正六邊形ABCDEF的中心，給圖4中的線段加上箭頭表示向量，請說說圖中向量之間的關系.

追問6-1：你能分別寫出圖中的共線向量嗎？你可以列舉圖中與OA，OB，OC相等的向量嗎？

追問6-2：圖中共有多少組共線向量？

教學說明：自主探究，類比直線的位置關系，生成向量的相應定義.教師也可以拿出用紙板做的實物教具——“向量”，通過對向量進行合理分類，發現圖中共有18組共線向量.

2.3 自我監控，明晰向量概念

例1 判斷下列說法的正誤：

（1）若|a|=0，則a=0.

（2）若|a|=|b|，則a=b.

（3）若|a|gt;|b|，則agt;b.

（4）若a=b，b=c，則a=c.

（5）若a∥b，b∥c，則a∥c.

（6）若a∥b，則|a|=|b|.

（7）若非零向量AB∥CD，則AB∥CD.

例2 （1）在平面內把所有表示單位向量的有向線段的起點平移到同一點，那么它們的終點的集合組成什么圖形？

（2）把平面內所有方向相同的向量的起點平行移動到同一點，那么這些向量的終點的集合組成什么圖形？

（3）把平面內平行于某一直線的所有向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點構成什么圖形？

教學說明：例1考查學生舉反例和思辨的能力.例2體現出向量的幾何屬性，可以利用紙板“向量”教具進行形象化演示，也可借助信息技術工具進行展示.

2.4 應用遷移，靈活應用提升

例3 如圖5所示的方格紙由若干個邊長為1的小正方形組成，方格紙中有兩個定點A，B，點C為小正方形的頂點，且|AC|＝5.

（1）畫出所有的向量AC；

（2）求|BC|的最大值與最小值.

教學說明：感受向量數與形的二重特性，體會數形結合的思想方法.

問題7 能否用思維導圖的形式組織本節課的主要內容？

教學說明：通過思維導圖（如圖6），系統化地總結本節課的一些概念.掌握研究數學的基本方法，從“學會”到“會學”.

3 教學反思

3.1 數學課堂要設計真切有趣的情境

數學來源于生活，概念是對知識的高度概括.形象生動的情境引入可以激發學生的學習興趣，引領學生體會數學概念產生的必然性.通過抽象、類比的方法形成相關概念，學生能夠深刻理解數學概念，并巧妙聯系到生活實際，提升數學能力.

3.2 教學設計要融入數學歷史的發展

丘成桐先生提出培養學生興趣的關鍵，就是帶領學生學習相關歷史文化知識，在文化長河中感悟數學之美，讓學生不僅提升數學上的學問，也提升文化修養.本節課選取了在向量發展史上有代表性的四位數學家，介紹了向量表示的發展史，拓寬了學生的眼界，豐富了課堂內容.

3.3 概念課型要給予學生探索的空間

概念課要適當地留白，讓學生參與到概念本質特征的概括活動中，特別是有思維的實質性參與.有些定義不需要明確得太細致，懂得取舍能夠讓課堂更加高效.要讓學生試錯，激發他們的認知沖突，或者留作課后思考題，如“為什么規定零向量與任意向量平行？”有些概念并沒有完全的對與錯，只是為了方便定義和使用.如：溫度為負數時，可以理解為向量嗎？因為負數可以用實數表示，所以就沒必要寫成向量了.

3.4 遷移應用要挖掘概念的核心特點

本節課突出了向量的幾何特征.如：問題6是在正六邊形中找共線向量；例2強化了向量是自由向量；例3讓學生動手作圖，在變化中尋找最值.課堂活動充分利用了紙板實物教具模擬向量，形象地解釋了例2中所構成的圖形.運用信息技術工具，生動地展現平行向量，演示例題的答案，幫助學生更好地理解.

3.5 反思總結要提升概括抽象的能力

教學生學會如何定義，從數學家的角度進行思考.教會學生合理思維，適當進行逆向思考.通過思維導圖的形式，幫助學生梳理所學知識，體會本節課蘊含的數學思想方法.讓學生體會到數學研究問題的基本路徑，進而提升發現問題、解決問題的能力，構建系統的知識藍圖.