創(chuàng)設(shè)問題“促”探究 引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)

摘要：本文中用等比情境“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”引入錯位相減法教學(xué)，其優(yōu)勢在于該情境問題處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，適合不同層次學(xué)生，并且有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯位相減法、經(jīng)歷過程、感悟數(shù)學(xué)思想和發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn);錯位相減法;情境問題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）提出：“……，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”“……，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”[1]《中國高考評價體系》明確提出考查“學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力”，即“能發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題”[2].

錯位相減法被直接應(yīng)用于等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及差比數(shù)列求和等問題；錯位相減法的發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).由于錯位相減法相對隱蔽，很難引導(dǎo)學(xué)生比較自然地發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致很多教師采用告訴的方式完成該方法的教學(xué)，未能達(dá)到《課標(biāo)》和高考中對學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力的過程性教學(xué)要求.如何設(shè)計教學(xué)才能有效、合理地引導(dǎo)學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)并掌握錯位相減法？筆者認(rèn)為設(shè)計好錯位相減法的引入非常關(guān)鍵.

1 錯位相減法的引入設(shè)計

創(chuàng)設(shè)情境：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”（如圖1）

問題1 從情境“一日之棰，日取其半，萬世不竭”中能提出那些問題？

追問1：如果截取6天，截取的長度之和是多少？

追問2：你能把追問1用數(shù)學(xué)式子表示出來嗎？

追問3：請用不同的方法計算“S6=12+14+18+116+132+164=？”

追問4：猜想12+14+18+……+12n=.

問題2 探究證明“12+14+18+……+12n=2n－12n”的思路，并展示交流.

思路1：觀察12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，…….設(shè)n是大于等于2的正整數(shù)，歸納得出12+14+……+12n=2n－12n.

思路2：一個完整的餅，每天吃掉前一天剩余的一半（如圖2），經(jīng)過n天，一共吃了多少？小學(xué)解決這個問題時，是把一個完整的餅看成1，然后觀察n天后餅剩余的量為12n，得出12+14+……+12n=1－12n.

思路3：如果觀察每天吃掉的量，則會發(fā)現(xiàn)第一天吃掉的量為1－12，……，第n天吃掉的量為12n－1－12n，于是n天一共吃掉的量為

12+14+18+……+12n

=1－12+12－14+14－18+……+12n－2－12n－1+12n－1－12n=1+12+14+18+……+12n－1－12+14+18+……+12n－1+12n=1－12n.

這是從幾何直觀出發(fā)聯(lián)想到裂項(xiàng)相消求和法，在此基礎(chǔ)上，請學(xué)生觀察被減項(xiàng)1+12+14+18+……+12n－1與減項(xiàng)12+14+18+116+……+12n的關(guān)系，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)減項(xiàng)是被減項(xiàng)的公比倍，從而可以相減消項(xiàng)求和，到此錯位相減法呼之欲出.

2 錯位相減法的引入設(shè)計分析

2.1 改進(jìn)錯位相減法引入設(shè)計的原因

2.1.1 國王賞麥故事引入存在的問題

傳統(tǒng)教學(xué)中教師幾乎都采用了國王賞麥的故事來引入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的探討.從特殊“1+2+4+8+16+……+263=？”到一般等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

這個設(shè)計看似合情合理，但在實(shí)際教學(xué)中我們會發(fā)現(xiàn)，這個看似簡單的“1+2+4+……+263=？”問題，對多數(shù)學(xué)生而言根本不知如何下手，只有少數(shù)預(yù)習(xí)過的學(xué)生能夠模仿教材提供的一般等比數(shù)列求和過程來解決問題.因此，采用國王賞麥的故事引入來得出錯位相減法的教學(xué)設(shè)計，容易讓教學(xué)過程變成教師或教材告訴學(xué)生應(yīng)該這么做，學(xué)生不能再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造.

2.1.2 教參設(shè)計的錯位相減法引入的不足之處

研讀教材、教參，教參給出直接在等比數(shù)列前n項(xiàng)的和式兩邊同時乘q的一種解釋：“從等比數(shù)列的定義可知，ai=qai－1（i=2，3，……，n），于是，在Sn=a1+a2+……+an的兩邊同乘q，有qSn=qa1+qa2+……+qan=a2+a3+……+an+an+1.”[3]然后通過消去兩式中的相同項(xiàng)，就得到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.

這種解釋有一定的道理，由于等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)為公比倍，所以在等比數(shù)列前n項(xiàng)的求和等式兩邊同時乘公比q，得到的兩個和式就構(gòu)造出了n－1個相同項(xiàng)，這就能解釋為什么要同時乘公比q，但不能引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)同時乘公比q.教參沒有提供教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯位相減法的思路，這為廣大教師充分發(fā)揮自己的教學(xué)智慧提供了機(jī)會.

2.2 改進(jìn)錯位相減法引入設(shè)計的思考

2.2.1 本設(shè)計處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

學(xué)生在小學(xué)時大部分都做過分餅吃的問題：一個餅，每天吃掉前一天剩余的一半，經(jīng)過6天，一共吃了多少？小學(xué)生可以把一個完整的餅看成1，然后觀察6天后，餅剩余的數(shù)量為164，二者作差即得到所吃掉餅的數(shù)量的和為1－164，具有幾何直觀性.在初中時，學(xué)生基本做過找規(guī)律的題：觀察12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，……，設(shè)n是大于等于2的正整數(shù)，猜測12+14+……+12n=.由此可見，求等比數(shù)列的和問題“S6=12+14+……+164=？”處于他們的最近發(fā)展區(qū).

2.2.2 本設(shè)計適用于不同層次學(xué)生

由于“問題1”和“追問3”具有較強(qiáng)的開放性，不同基礎(chǔ)的學(xué)生可以提出不同的問題，可能會選擇不同的求和方法.學(xué)生可以直接通分計算；也可以采用幾何直觀得到1－164=6364，間接計算求解；還可以類似初中尋找規(guī)律問題，由12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，……，歸納猜想得結(jié)果，甚至猜出前n項(xiàng)求和的結(jié)果.

2.2.3 有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯位相減法

在探究追問3的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)12，14，18，……，每個數(shù)據(jù)除表示每天所吃掉的量為前一天的12以外，還有沒有其他意義？學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)：每個數(shù)據(jù)是與每天吃前的量和吃后剩余的量相聯(lián)系的，如吃前的量是12，今天吃后剩余的是14，那么今天吃了12－14.教師可進(jìn)一步借助幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生觀察第1次截取的數(shù)量為1－12，第2次截取的數(shù)量為12－14，……，從而6次截取的數(shù)量的和可表示為6個差的和，即裂項(xiàng)相消求和方法.故S6=12+14+18+116+132+164

=1－12+12－14+14－18+18－116+116－132+132－164=1+12+14+18+116+132－12+14+18+116+132+164

=1－164=6364.

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察求和過程中的兩個式子1+12+14+18+116+132（記為①式）和12+14+18+116+132+164（記為②式），請學(xué)生觀察兩個式子的聯(lián)系.學(xué)生能夠比較容易發(fā)現(xiàn)②中的每一項(xiàng)都是①式對應(yīng)項(xiàng)的12倍.教師通過追問12與這個數(shù)列有什么關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)12是該等比數(shù)列的公比，進(jìn)一步得出本情境問題的一個新的求和思路.

根據(jù)設(shè)計的問題串的引導(dǎo)，學(xué)生基本能寫出錯位相減法的解答過程：

S6=12+14+18+116+132+164，③

由③×12，得

12S6=14+18+116+132+164+1128；④

③-④，得12S6=1－1128.

故S6=1－164=6364.

于是，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了錯位相減法.再通過探究證明的思路3，把這一解決6項(xiàng)和思路推廣到解決任意的前n項(xiàng)的和，更具有一般性.

2.2.4 有助于學(xué)生經(jīng)歷過程，感悟思想，發(fā)展素養(yǎng)

從12+14=34，12+14+18=78，……，到猜測出12+14+18+……+12n的值，為計算等比數(shù)列｛an｝的前項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+……+an打下了方法和思維的基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷由少到多，由特殊到一般；用錯位相減法計算12+14+18+116+132+164和12+14+18+……+12n，讓學(xué)生經(jīng)歷由繁到簡，由無限到有限.利用問題1，引導(dǎo)學(xué)生從故事中發(fā)現(xiàn)并提出問題，提升“四能”；利用追問2，引導(dǎo)學(xué)生把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言，經(jīng)歷抽象過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

從計算S6=12+14+……+164=？聯(lián)想到吃餅，把計算S6轉(zhuǎn)化為吃六天餅后剩的部分，體會轉(zhuǎn)化，感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想；用圖形表示每天吃餅剩的部分，直觀形象，非常易于理解，體驗(yàn)幾何直觀，感悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)；發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)之后，探究出錯位相減法，構(gòu)造出S6或Sn的方程，解出S6或Sn，體驗(yàn)用方程求解未知數(shù)，感悟方程思想.

2.2.5 本設(shè)計的反思

從問題選取上看，兩種設(shè)計方式的問題情境都來源于教材，都充分尊重了教材，用教材教.從問題的設(shè)計上看，改進(jìn)后的設(shè)計選擇了項(xiàng)數(shù)不太多的等比數(shù)列問題作為基點(diǎn)，更貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓所有學(xué)生能夠在問題的引領(lǐng)下，積極思考，探究解決問題的思路.改進(jìn)后的設(shè)計不足之處是：裂項(xiàng)的發(fā)現(xiàn)對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生還是有一定的難度，引入中問題的解決所需時間較長.但從解決問題上看，改進(jìn)后的引入設(shè)計，解決思路靈活，方便教學(xué)，課堂上能真正落實(shí)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[1]的理念.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書＼5選擇性必修第二冊[M].北京：人民教育出版社，2020.