例談一題多解視域下的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是課程的重要目標(biāo)之一，尤其在問題解決能力的提升上，提出了“數(shù)學(xué)活動要體現(xiàn)探究性、開放性和多樣性”的要求.例談一題多解視域下的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，正是對這一要求的具體體現(xiàn).通過引導(dǎo)學(xué)生思考一題多解，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、推理能力和靈活性.不同的解法不僅能幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，還能增強(qiáng)他們解決問題的信心和自主學(xué)習(xí)能力.在這一過程中，學(xué)生需要對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度思考，探索不同的思路和方法，培養(yǎng)他們從不同角度審視和解決問題的能力.

基于此，筆者結(jié)合以下一道解三角形模擬題，利用求解三角形中一內(nèi)角的正弦值，探究如何增強(qiáng)學(xué)生的知識遷移、解題技巧等方面的能力，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.

問題 已知三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos B+cos C=1，b+c=32a，則sin A=.

1 試題解法及思維培養(yǎng)

1.1 分析與推理思維

方法1：角化邊法.

依題，不妨設(shè)a=2，則b+c=32a=3.由cos B+cos C=1，利用余弦定理，可得a2+c2-b22ac+a2+b2-c22ab=c2-b2+44c+b2-c2+44b=1.

所以4bc=b（c2－b2+4）+c（b2－c2+4）=（c2－b2）（b－c）+4（b+c）=（c+b）（c－b）（b－c）+4（b+c）=－3（b－c）2+12=－3（b+c）2+12bc+12=12bc－15，解得bc=158.

所以由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=（b+c）2-2bc-a22bc=13.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

本題通過角化邊法來解決三角形中的角度與邊的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了在幾何問題中分析與推理思維的培養(yǎng).角化邊法不僅需要學(xué)生掌握基本的幾何定理和公式，還要求他們能通過合理的假設(shè)與代數(shù)化的推理過程將題目中的已知條件轉(zhuǎn)化為新的信息，從而一步步推導(dǎo)出未知量.這一過程培養(yǎng)了學(xué)生在面對復(fù)雜問題時的系統(tǒng)思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?

首先，題目通過給定條件“cos B+cos C=1”及“b+c=32a”，結(jié)合余弦定理，提出了一個典型的幾何與代數(shù)結(jié)合的解題場景.學(xué)生需要通過對已知條件的轉(zhuǎn)換進(jìn)行推理，而不是直接使用公式或解法.

在此推理過程中，角化邊法的核心是通過對邊的代數(shù)操作來簡化角度之間的關(guān)系，使得原本通過角度來解題的三角形問題轉(zhuǎn)化為邊長之間的代數(shù)關(guān)系.這種轉(zhuǎn)化方法有助于學(xué)生從幾何的角度看待三角形，進(jìn)而利用代數(shù)方式求解，避免了純粹的幾何圖形求解的局限性.

1.2 轉(zhuǎn)換與創(chuàng)新思維

方法2：邊化角法.

依題，由b+c=32a，利用正弦定理，可得sin B+sin C=32sin A.

由cos B+cos C=1及A+B+C=π，可得1=－cos（C+A）－cos（B+A）=－（cos Ccos A－sin Csin A）－（cos Bcos A－sin Bsin A）=sin A＼5（sin B+sin C）－cos A（cos B+cos C）=32sin2A－cos A=32（1－cos2A）－cos A.

整理可得3cos2A+2cos A－1=0，解得cos A=13或cos A=－1（舍去）.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

采用邊化角法來解決三角形中角度與邊的關(guān)系，主要培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)換與創(chuàng)新思維.在這一解法中，學(xué)生通過不同的數(shù)學(xué)視角和工具（如正弦定理、余弦定理等）對問題進(jìn)行多角度的轉(zhuǎn)換與創(chuàng)新性處理，從而找到解決問題的路徑.此方法強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和跨領(lǐng)域知識的整合.

在解題過程中，首先，利用給定條件“cos B+cos C=1”和“b+c=32a”，結(jié)合正弦定理，轉(zhuǎn)化為“sin B+sin C=32sin A”.這一轉(zhuǎn)換本身即為一種創(chuàng)新思維的體現(xiàn)，因為它突破了直接使用余弦定理的傳統(tǒng)方式，通過正弦定理對問題進(jìn)行了重構(gòu)，進(jìn)一步為解題提供了新的切入點(diǎn).學(xué)生需要充分理解正弦定理的應(yīng)用背景及其在三角形中的重要性，這有助于加強(qiáng)學(xué)生對三角形性質(zhì)的全面理解.

其次，利用“cos B+cos C=1”，結(jié)合角度和三角函數(shù)的關(guān)系，通過對角度之間的余弦和正弦的組合進(jìn)行代數(shù)變換，得到式子“3cos2A+2cos A－1=0”.這一步驟顯示了如何通過代數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，培養(yǎng)了學(xué)生的符號操作和公式變形能力.

最后，解得cos A=13，進(jìn)一步計算出sin A=223.這個結(jié)果不僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的最終目標(biāo)，還體現(xiàn)了學(xué)生在解題過程中對數(shù)學(xué)公式的精準(zhǔn)掌握與應(yīng)用能力.

1.3 空間想象與幾何構(gòu)建思維

方法3：坐標(biāo)法.

依題，不妨設(shè)a=4，則b+c=32a=6.結(jié)合以上條件并聯(lián)想到橢圓的定義，如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，|BC|=4，B（－2，0），C（2，0），則點(diǎn)A在橢圓x29+y25=1上（不包括x軸上的頂點(diǎn)），其中橢圓的長半軸a′=3，離心率e=23.

設(shè)A（x0，y0）（x0≠±3），由橢圓的焦半徑公式有|AB|=a′+ex0=3+23x0，|AC|=a′－ex0=3－23x0.

由cos B+cos C=1，可得2+x03+23x0+2-x03-23x0=1，整理并化簡可得x20=278.

所以bc=|AC||AB|=9－49x20=152.

所以由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=（b+c）2-2bc-a22bc=13.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

使用坐標(biāo)法解決三角形問題，強(qiáng)調(diào)了空間想象與幾何構(gòu)建思維的培養(yǎng).將幾何問題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)計算，學(xué)生能夠通過形象化的幾何結(jié)構(gòu)更直觀地理解三角形的性質(zhì)，并利用橢圓的幾何特征求解.

首先，通過設(shè)定邊長a=4，b+c=32a=6等條件，將問題轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)系中的幾何圖形.這一設(shè)定幫助學(xué)生將問題幾何化，極大地鍛煉了學(xué)生在平面幾何中的空間構(gòu)建能力.其次，橢圓定義和焦半徑公式的運(yùn)用進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的幾何構(gòu)建思維.這種處理方法培養(yǎng)了學(xué)生在空間幾何中從具體圖形到代數(shù)式的轉(zhuǎn)換能力.

進(jìn)一步，學(xué)生運(yùn)用余弦定理求解角度A的正弦值，通過坐標(biāo)法與代數(shù)式的結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的幾何與代數(shù)思維的深度融合.

2 基于試題進(jìn)行思維培養(yǎng)的啟示

首先，思維轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義.通過不同的解法路徑（如角化邊法、邊化角法和坐標(biāo)法），可以培養(yǎng)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換思維的能力.這種能力不僅能幫助學(xué)生掌握多種解題方法，還能深化他們對數(shù)學(xué)概念的理解.高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)鼓勵學(xué)生多角度思考，培養(yǎng)其在不同數(shù)學(xué)工具之間靈活切換的能力.教師可以設(shè)計更為開放的問題，提供多種解決方案，促使學(xué)生深入思考不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而增強(qiáng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力.

其次，空間想象和幾何構(gòu)建思維的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的關(guān)鍵.本題的坐標(biāo)法解法，學(xué)生不僅需要具備對幾何圖形的空間感知能力，還要能夠?qū)⒊橄蟮膸缀螁栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.這一過程要求學(xué)生在解題時能夠清晰地理解幾何圖形的結(jié)構(gòu)，并利用代數(shù)工具進(jìn)行分析.教師應(yīng)在教學(xué)中加強(qiáng)幾何與代數(shù)的結(jié)合，鼓勵學(xué)生通過圖形構(gòu)建和坐標(biāo)運(yùn)算等方式直觀理解抽象的數(shù)學(xué)概念.同時，可以更多地引入數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問題，幫助學(xué)生理解如何將抽象的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際情境中，提升他們的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).