高考概率解答題的幾類常見類型

摘要：概率解答題是高考數學試卷中的一類基本題型，與現實生活、生產實際聯系比較密切，更加適合考查綜合能力與創新能力.借助概率解答題中的馬爾科夫鏈、極大似然估計、科學性決策以及新情境加持等熱點場景創設與應用，合理展開，挖掘本質，歸納技巧，總結規律，有效指導高考復習備考.

關鍵詞：概率；馬爾科夫鏈；極大似然估計；決策；情境

對于高考數學試題，涉及概率的高考解答題，問題場景設置更加創新新穎，以概率與統計的基礎知識為基石，或深入研究概率或統計中相關基礎知識與綜合應用，或與函數與方程、數列、不等式等其他知識來交匯綜合，考查的知識點更加多樣，考查的數學能力也更加全面，越來越引起大家的高度重視.

1 概率與馬爾科夫鏈

例1 〔2023屆浙江省杭州市高三下學期教學質量檢測（二模）數學試題〕概率統計中有一個重要模型——馬爾科夫鏈，如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸的概率為50%，且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，Alt;B），賭博過程如圖1的數軸所示.

當賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時，最終輸光的概率為P（n），請回答下列問題：

（1）請直接寫出P（0）與P（B）的數值.

（2）證明{P（n）}是一個等差數列，并寫出公差d.

（3）當A=100時，分別計算B=200，B=1 000時，P（A）的數值，并結合實際，解釋當B→+∞時，P（A）的統計含義.

分析：（1）明確n=0和n=B的含義，即可得答案；（2）由全概率公式可得P（n）=12P（n-1）+12P（n+1），通過整理變形，結合等差數列的定義或基本性質等即可證明；（3）由（2）的結論可得P（A）的表達式，即可求得B=200與1 000時，其相應的概率值，進而結合概率值的變化情況與趨勢來剖析與應用.

解析：（1）依題，當n=0時，賭徒已輸光，則P（0）=1；

當n=B時，賭金已達到預期，則P（B）=0.

（2）記事件M=“賭徒有n元最后輸光”，事件N=“賭徒有n元下一場贏”.

而P（M）=P（N）P（M|N）+P（N）P（M|N），即P（n）=12P（n-1）+12P（n+1）.

結合等差數列的定義，可知數列{P（n）}是等差數列，設其公差為d，

則有

P（n）-P（n-1）=d，P（n-1）-P（n-2）=d，……，P（1）-P（0）=d，

將以上n個關系式對應相加，可得P（n）-P（0）=nd.

所以P（B）-P（0）=Bd=-1，即d=-1B.

（3）由（2）可知P（n）-P（0）=nd，所以

P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

當B=200時，可得P（A）=50%；當B=1 000時，可得P（A）=90%.

當B→+∞時，P（A）→1，因此可知“久賭無贏家”.

點評：借助概率遞推與馬爾科夫鏈，以新穎的場景加以創設，題目的應用場景可以綜合實際問題合理變化，只要抓住馬爾科夫鏈與數列的遞推關系本質，合理分析與巧妙轉化，就能為問題的解決開拓一個視角.

2 極大似然估計

例2 〔2024屆浙江省名校新高考研究聯盟（Z20名校聯盟）高三第一次聯考數學試卷〕2023年中央一號文件指出，民族要復興，鄉村必振興.為助力鄉村振興，某電商平臺準備為某地的農副特色產品開設直播帶貨專場.直播前，此平臺用不同的單價試銷，并在購買的顧客中進行體驗調查問卷.已知有N（Ngt;30）名熱心參與問卷的顧客，此平臺決定在直播中專門為他們設置兩次抽獎活動，每次抽獎都是由系統獨立、隨機地從這N名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會有禮品贈送.若直播時這N名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總人數為X（不重復計數）.

（1）若甲是這N名顧客中的一人，且甲被抽中的概率為925，求N；

（2）求使P（X=30）取得最大值時的整數N.

分析：（1）利用相互獨立事件的概率公式，結合超幾何分布對立事件的概率公式等加以分析與求解，進而得以確定N的值；（2）利用古典概型的概率公式來確定P（X=30）的表達式，合理構建函數，利用函數的單調性，結合比值的轉化加以分析與求解，進而解決問題.

解析：（1）記事件A=“甲被抽中”，Ai=“甲第i次被抽中”（i=1，2）.

由P（A）=P（A1＼5A2）=C20N-1C20N×C20N-1C20N=N-20N×N-20N=1-P（A）=1-925=1625，解得N=100.

（2）依題可知，兩次抽獎活動所包含的基本事件總數是C20NC20N.

當X=30時，兩次都中獎的人數為20×2-30=10，那么第一次抽獎的基本事件數為C20N，第二次抽獎的基本事件是從第二次沒抽到的剩下（N-20）個人中抽取10人，從第一次抽到的20人中抽取10人，即為C10N-20C1020，

則有P（X=30）=C20NC10N-20C1020C20NC20N=C10N-20C1020C20N.

記f（N）=C10N-20C20N，即求f（N）在何時取到最大值.下面討論f（N）的單調性：

由f（N+1）f（N）=C10N-19C20NC20N+1C10N-20=（N-19）（N-19）（N+1）（N-29）≥1，

解得N≤39，即當N=39或40時，P（X=30）取得最大值.

點評：通過極大似然估計（ML）這一基礎的統計方法，借助“模型已定，參數未知”來合理設置，通過社會現實生活中應用場景等的巧妙設置與綜合應用，利用具體實際中的若干次試驗觀察其結果，合理設置問題，進而利用試驗結果得到相應參數值能夠使得樣本出現的概率為最大值.

3 科學性決策

例3 〔2023年湖北省荊州中學高三（上）第二次月考數學試卷〕我國在芯片領域的短板有光刻機和光刻膠，某風險投資公司準備投資芯片領域，若投資光刻機項目，據預期，每年的收益率為30%的概率為p，收益率為-10%的概率為1-p；若投資光刻膠項目，據預期，每年的收益率為30%的概率為0.4，收益率為-20%的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5.

（1）已知投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，請你從風險角度考慮，為該公司選擇一個較穩妥的項目；

（2）若該風險投資公司準備對以上你認為較穩妥的項目進行投資，4年累計投資數據如表1所示.

請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于μ的經驗回歸方程=μ+，并預測到哪一年年末，該投資公司在芯片領域的投資收益預期能達到0.75億元.

附：收益=投入的資金×獲利的期望；經驗回歸方程=x+中，=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2=∑ni=1xiyi-nx-×y-∑ni=1x2i-nx-2，=y--x-.

分析：（1）根據已知條件，通過對應公式的應用，分別求出兩個項目的期望與方差，通過相關數據的大小比較，進而作出科學性決策；（2）根據已知條件，結合最小二乘法公式，以及“收益=投入的資金×獲利的期望”進行數學運算與邏輯推理，進而分析與求解，作出合理預測與判斷.

解析：（1）若投資光刻機項目，設收益率為X，則E（X）=0.3p+（-0.1）×（1-p）=0.4p-0.1；

若投資光刻膠項目，設收益率為Y，則E（Y）=0.3×0.4+（-0.2）×0.1+0×0.5=0.1.

由于投資兩個項目獲利的期望是一樣的，有0.4p-0.1=0.1，解得p=0.5.

而D（X）=（0.3-0.1）2×0.5+（-0.1-0.1）2×0.5=0.04，

D（Y）=（0.3-0.1）2×0.4+（-0.2-0.1）2×0.1+（0-0.1）2×0.5=0.03.

所以E（X）=E（Y），D（X）gt;D（Y）.

故建議該公司投資光刻膠項目.

（2）依題可得μ-=2.5，y-=4，∑4i=1μiyi=47，∑4i=1μ2i=30.

所以=∑ni=1μiyi-nμ-×y-∑ni=1μ2i-nμ-2=1.4，=y--μ-=0.5.

故線性回歸方程為=1.4μ+0.5.

設該公司在芯片領域的投資收益為Z，則由Z=0.1×（1.4μ+0.5）≥0.75，解得μ≥5.

故到2023年年末，該投資公司在芯片領域的投資收益預期能達到0.75億元.

點評：在實際科學性決策過程中，往往基于概率的最值、數學期望或方差的的大小等來分析與判斷.而概率與經驗回歸方程的綜合常涉及概率、分布列、離散型隨機變量的數字特征、二項分布、超幾何分布及經驗回歸方程等知識，主要考查學生的閱讀能力、數據處理能力、運算求解能力及應用意識.

4 新情境加持

例4 〔2024屆北京四中高三（上）開學數學試卷〕2022年第24屆冬季奧林匹克運動會期間，為保障冬奧會順利運行，組委會共招募約2.7萬人參與賽會志愿服務，賽會共設對外聯絡服務、競賽運行服務、文化展示服務等共12類志愿服務.

（1）甲、乙兩名志愿者被隨機分配到不同類志愿服務中，每人只參加一類志愿服務.求甲被分配到對外聯絡服務且乙被分配到競賽運行服務的概率.

（2）已知在2.7萬名志愿者中，18～35歲人群占比達到95%，為了解志愿者們對某一活動方案是否支持，通過分層隨機抽樣獲得表2中的數據.

假設志愿者對活動方案是否支持相互獨立.將志愿者支持方案的概率估計值記為p0，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估計值記為p1，試比較p0與p1的大小.（結論不要求證明）

分析：（1）依題，結合志愿者這一新情境的加持，根據古典概型的計算公式直接計算即可；（2）根據古典概型的計算公式分別計算p0與p1的值，進而比較大小.

解析：（1）由A212=12×11=132，可知甲、乙兩名志愿者被隨機分配到不同類志愿服務中，每人只參加一類志愿服務的樣本空間Ω有132個基本事件.

設事件A=“甲被分配到對外聯絡服務且乙被分配到競賽運行服務”，則事件A包含1個基本事件，所以P（A）=1132.

（2）由已知可得志愿者支持方案的概率估計值為p0=90+190+5+1+4=91100.

去掉其他人群志愿者，支持方案的概率估計值記為p1=9090+5=1819gt;91100.

故p0lt;p1.

點評：依托新情境的加持，借助志愿者服務這一基本社會應用場景，通過具體問題的設置與創新，數學信息量大，綜合應用性強.以新情境加持的多變性，融入概率或統計的相關知識，進而利用概率的概念、公式或相應的應用來分析與求解，達到全面考查“四基”的目的.

借助高考中概率解答題的幾類常見與創新的應用場景，以馬爾科夫鏈、極大似然估計、科學性決策以及新情境加持等熱點場景來設置，結合概率的概念應用、公式計算與綜合應用等來考查數學基礎知識，閱讀理解能力、數據處理分析能力以及創新意識與創新應用能力等，培養創新意識與創新應用，更加有效地服務于高考，更加針對性地進行有效選拔與合理區分.

參考文獻：

王恒睿.高考概率題的考查方向.中學生數理化（高考數學），2023（12）：33-35.

林國紅.盤點高考概率題中的“賽制”.高中數理化，2023（7）：75-78.

黃鐘慧，廖小蓮.近年來高考數學試題中概率與統計試題探析.數理化解題研究，2022（19）：67-69.

張軍偉.基于兩道高考概率題的深入思考.數理化解題研究，2023（19）：91-94.

林太南.新高考背景下統計概率復習備考策略.高考，2024（23）：105-108.