對2022年天津卷高考第19題的改編

1 新題呈現

改編題 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，右頂點為A，上頂點為B.

（1）記點O為坐標原點，若cos∠BAO=32，且長軸長為6，求橢圓的標準方程；

（2）已知|AF||AB|=3-22，求橢圓的離心率；

（3）在（2）的條件下，若直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于點N（N異于M），且線段MN的垂直平分線經過坐標原點，△OMN的面積為23，求橢圓的標準方程.

原題 （2022年新高考天津數學高考試題第19題）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，且滿足|AF||AB|=32.

（1）求橢圓的離心率；

（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于點N（N異于M），記O為坐標原點，若|OM|=|ON|，且△OMN的面積為3，求橢圓的標準方程.

2 新題命制過程

本命題組先對全國高考卷中的圓錐曲線問題進行了全面的研究，然后重點研究了2022年天津新高考試卷中解析幾何解答題第19題，發現該題與天津2021年的解析幾何解答題考查的都是橢圓的切點可求問題.在分析了該題的各種解法后，感覺題目條件的轉化比較簡單，所以由該題的條件去思考如何轉化，在多次嘗試后把|BF||AB|=32改為|AF||AB|=3-22，改編后計算量增大，因此又增加了第一問.改編題對計算能力的要求比較高，這也符合高考對計算能力的要求.具體修改過程如下：

修改1 增加第一問“若cos∠BAO=32，且長軸長為6，求橢圓的標準方程”，保證大部分學生第（1）問能得分.

修改2 將“|BF||AB|=32”改為“|AF||AB|=3-22”，增加計算量.

修改3 由“若|OM|=|ON|，且△OMN的面積為3，”改為“且線段MN的垂直平分線經過原點，△OMN的面積為23”.

3 解法分析

第（1）問：由長軸長為6求出a的值，解直角三角形，由cos∠BAO的值得出a，b關系的過程中可考慮用正切函數也可考慮用正弦或余弦函數.思維導圖如圖1所示.

第（1）問長軸長為6求出a的值

由cos∠BAO的值得a，b的關系

由tan∠BAO=ba=13得a，b的關系

由sin∠BAO=ba2+b2=12得a，b的關系

由cos∠BAO=aa2+b2=32得a，b的關系

第（2）問：把|AF||AB|的值轉為a-ca2+b2，再把b2=a2-c2代入整理，從而得到a，c的關系式，最后求出離心率e的值.

第（3）問：線參法，一設直線，聯立，消元、判別式為0；二解等腰三角形（法1）或等邊三角形（由斜率知等邊，法2）.法3是點參法，結合導數分類討論，求斜率、切線方程.法4是參數方程與導數結合法，避免分類討論.

4 新題解析

4.1 第（1）問解析

因為長軸長為6，所以a=3.

法1：由cos∠BAO=32，得tan∠BAO=ba=13，則橢圓的標準方程為x29+y23=1.

法2：由cos∠BAO=32，得sin∠BAO=ba2+b2=12，則橢圓的標準方程為x29+y23=1.

法3：由cos∠BAO=aa2+b2=32，得b2=3，則橢圓的標準方程為x29+y23=1.

4.2 第（2）問解析

由|AF||AB|=3-22，得|AF||AB|=a-ca2+b23-22，整理得（46-6）a2+（9-26）c2-8ac=0，同除以a2可得（9-26）e2-8e+6（4-6）=0，又0lt;elt;1，所以e=63.

4.3 第（3）問解析

由（2）可設橢圓E：x2+3y2=a2.

解法1：線參法.

設直線l：y=kx+m，N（0，m），聯立消元得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-a2=0，由Δ=0，得3m2=a2（1+3k2），則M-3km1+3k2，-m1+3k2.由|OM|=|ON|，可得m2=m2（9k2+1）（3k2+1）2，則k2=13.又由S△OMN=23，可得12|m|·|3km|1+3k2=23，則m2=8，從而a2=12，故橢圓方程為x212+y24=1.

解法2：由面積求參另解.

由解法1知k2=13，則△OMN是等邊三角形，所以|MN|2=（1+k2）x2M=m2，則

S=34|MN|2=34m2=23，解得m2=8，從而a2=12，故橢圓方程為x212+y24=1.

解法3：點參法.

設M（x0，y0），x20+3y20=a2，切線的斜率為k.

當ygt;0時，由y=a2-x23，求導可得y′=-x3＼5a2-x23-12.若y0gt;0，則y′|x=x0=-x03a2-x203-12=-x03y0.

同理，當ylt;0時，k=x03a2-x203-12=-x03y0.

易知切線方程為x0x+3y0y=a2，則N0，a23y0.

由|OM|=|ON|，得-2x40+a2x20=0，所以x20=a22，y20=a26.S△OMN=23，則14x20·a49y20=12，可得a2=12，故橢圓方程為x212+y24=1.

解法4：參數方程與導數相結合.

設切線的斜率為k，M（x0，y0）.由E：x2+3y2=a2，設

x=acos t，y=a3sin t（t為參數），則y′=dydtdxdt=a3cos t-asin t=cos t-3sin t，從而k=x0a-3y0a=-x03y0，下同解法3.

5 新題考查目標

新命制的改編題重點考查了橢圓的幾何性質（如長軸、焦點、離心率等）、標準方程、直線與橢圓的位置關系（切點可求題型）、距離與面積等主干知識，解法多樣且靈活，同時發現2022年和2021年天津高考卷中的解析幾何解答題同屬于切點可求題型.其考查目標如下：

（1）知識技能目標：本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，由幾何性質求橢圓的標準方程，橢圓的離心率，直線和橢圓的位置關系，橢圓的參數方程，兩點間的距離公式，三角形面積公式和三角函數的定義，導數的幾何意義.

（2）過程方法目標：通過研究橢圓的幾何性質，求橢圓的標準方程.通過幾何關系得到關于離心率e的一元二次方程，求離心率.通過聯立直線和橢圓的方程并消元得到二次方程，利用韋達定理、兩點間距離公式和面積公式求橢圓的標準方程.利用導數的幾何意義求切線的方程.

（3）數學核心素養目標：能用數形結合或導數的方法來研究解析幾何問題，培養數學運算、數學抽象、邏輯推理、轉化與化歸等數學素養.

6 新題測試

新改編題滿分12分，高二4個班（物生組合與物化組合）共210名學生的測試情況是：本題平均分4.5分，高分率10.5%，低分率15.6%.

學生錯因分析：

對于第（1）問，有一部分學生沒有注意到長軸長為2a（寫成長軸長為a）而導致失誤;

對于第（2）問，很多學生的計算能力比較差，導致沒法正確得到關于e的方程;

對于第（3）問，有一些學生因為第（2）問沒求出來或者求錯了導致錯誤.

7 試題鏈接

鏈接1 （2021年天津高考題第18題）已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，上頂點為B，離心率為255，且|BF|=5.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線l與橢圓有唯一的公共點M，與y軸的正半軸交于點N，過N與BF垂直的直線交x軸于點P.若MP∥BF，求直線l的方程.

鏈接2 （山東省濟寧市2022-2023學年高三上學期期末數學試題第21題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為32，且過點P-3，12.

（1）求橢圓C的方程.

（2）若l1為橢圓C在點P處的切線，l2∥l1且l2與橢圓C交于A，B兩點.

（ⅰ）求直線l1的方程；

（ⅱ）求△PAB面積的最大值.

8 命題體會

改編題的亮點是|AF||AB|=a-ca2+b2=3-22的轉化，需要比較強的計算能力，另外，第（1）問和第（3）問都可一題多解，能鍛煉學生的發散思維，特別是第（3）問體現了函數與幾何的結合.本題需要改進的地方是如果第（3）問能改為定點、定值問題或探索性問題會更完美.通過參加此次活動，我們命題小組的老師普遍感覺到命制試題是比較難的事情，大家齊心協力研究、討論，最終改編成題，感覺收獲很多，以后要加強命制新題的嘗試與訓練.