追根溯源，探尋應用

1 真題呈現

高考真題 （2023年高考數學新高考Ⅰ卷·7）記Sn是數列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數列；乙：Snn為等差數列，則（" ）.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

該題以等差數列與充要條件這兩個基本知識點的交匯融合加以創設，通過等差數列的概念、求和公式以及基本性質等知識的合理聯系，推理與判斷兩個等差數列之間的關系.

2 追根溯源

該高考真題，追根溯源，是在教材習題的基礎上，進一步加以轉化、深入、變形、拓展與提升，從而實現問題的應用.

習題 〔人教A版高中數學選擇性必修第二冊第四章“數列”習題4.2第7題（1）〕已知Sn是等差數列{an}的前n項和，證明Snn是等差數列.

在等差數列{an}中，當公差d≠0時，其對應的通項公式an、前n項和公式Sn分別可以看作關于自變量n（n∈N*）的一次函數an=dn+a1-d、二次函數Sn=12dn2+a1-12dn.

由此，借助等差數列的前n項和公式Sn與項數n之間的比值，合理構建一個新的等差數列及其綜合問題，具有非常好的靈活性與變通性，也是教材的延續與提升.

3 真題破解

解法1：求和公式轉化法1.

若{an}為等差數列，設其公差為d，則有Sn=na1+n（n-1）2d=12dn2+a1-12dn，

可得

Snn=12dn+a1-12d.

而Sn+1n+1-Snn=12d（n+1）+a1-12d-12dn+a1-12d=d2為常數，

所以Snn為等差數列.故甲是乙的充分條件.

反之，若Snn為等差數列，則有Sn+1n+1-Snn=nSn+1-（n+1）Snn（n+1）=nan+1-Snn（n+1）為常數.

設常數t=nan+1-Snn（n+1），整理可得Sn=nan+1-n（n+1）t，

則Sn-1=（n-1）an-n（n-1）t（n≥2），

兩式對應相減，可得an=nan+1-（n-1）an-2nt，整理得an+1-an=2t為常數.

當n=1時，an+1-an=2t也成立.

所以{an}為等差數列，則甲是乙的必要條件.

綜上可知，甲是乙的充要條件.

故選擇答案：C.

解法2：求和公式轉化法2.

若{an}為等差數列，設其公差為d，則有Sn=n（a1+an）2，可得Snn=a1+an2.

而Sn+1n+1-Snn=a1+an+12-a1+an2=an+1-an2=d2為常數，所以

Snn為等差數列，則甲是乙的充分條件.

反之，若Snn為等差數列，設其公差為D，則可得Snn=S1+（n-1）D，即Sn=nS1+n（n-1）D，于是

可得Sn-1=（n-1）S1+（n-1）（n-2）D（n≥2）.

兩式對應相減，可得Sn-Sn-1=an=S1+2（n-1）D（n≥2）.當n=1時，an=S1+2（n-1）D也成立.

所以an=a1+2（n-1）D.

又an+1-an=a1+2nD-[a1+2（n-1）D]=2D為常數，

所以{an}為等差數列，則甲是乙的必要條件.

綜上可知，甲是乙的充要條件.

故選擇答案：C.

解后反思：結合充要條件的概念，分別對必要性與充分性加以分類討論與綜合判斷，進而確定對應的條件.借助等差數列的不同求和公式，采用不同的思維切入，都可以達到分析與判斷的目的.

4 結論展示

根據以上高考真題的解析，以及教材習題的追根溯源，結合等差數列的概念與基本性質等，深入探究，進一步歸納與總結，可得到以下相應的結論.

結論 記Sn是數列{an}的前n項和，則“數列{an}為等差數列”等價于“數列Snn為等差數列”.

該結論的證明過程，其實就是以上高考真題的解析過程.借助以上高考真題的解析，對于過程信息的反饋，還可以得到以下相應的推論及其應用.

推論 記Sn是數列{an}的前n項和，則“數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列”等價于“數列Snn是公差為d2的等差數列”.

5 結論應用

5.1 參數確定

例1 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m=（" ）.

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：根據以上給出的結論，對于等差數列{an}，數列Snn也是等差數列，則知Sm-1m-1，Smm，Sm+1m+1成等差數列.

結合等差中項的基本性質，

可得2＼5Smm=Sm-1m-1+Sm+1m+1，則有0=-2m-1+3m+1，解得m=5.

故選擇答案：C.

點評：巧妙借助上述結論，直接由題設條件中數列{an}為等差數列，確定數列Snn也是等差數列，從而利用其等差中項構建相應的關系式，為進一步的參數確定與求解提供條件.借助結論及其應用，解決問題更加直接，可以很好地優化解題過程，減少數學運算，提升解題效益.

5.2 綜合應用

例2 〔2023屆江蘇省南京市六校高三（上）聯考數學試卷〕（多選題）已知數列{an}為等差數列，Sn表示其前n項和，則下列數列一定為等差數列的是（" ）.

A.{an+n}

B.{a2n}

C.Snn

D.{S4n}

解析：根據以上給出的結論，直接判斷選項C正確.

在等差數列{an}中，設公差為d，首項為a1.

對于選項A，an+n-（an-1+n-1）=an-an-1+1=d+1（常數）（n≥2），正確；

對于選項B，a2n-a2n-1=（an-an-1）（an+an-1）=d（an+an-1）（不為常數）（n≥2），錯誤；

對于選項D，S4（n+1）-S4n=4（n+1）a1+4（n+1）（4n+4-1）2d-4na1+4n（4n-1）2d=4a1+（16n+6）d（不為常數）（n≥2），錯誤.

故選擇答案：AC.

點評：巧妙借助定義及公式，對于判斷數列的類型有一定的用處.特別在數列的類型識別中，往往都離不開相關數列的定義及其應用，圍繞數列有關定義來分析并判斷對應的數列類型.

6 教學啟示

6.1 落實教材基礎知識與例（習）題

眾里尋根千百度，題源卻在教材例（習）題處.教材中例（習）題是高考命題中最好的“母題庫”或“題源庫”.

在平時的數學教學與學習、復習備考過程中，一定要落實高中數學教材的基礎知識，腳踏實地，以數學教材中的例（習）題為腳本，結合基礎知識吃準吃透，抓住各個細節，深挖知識內涵，合理構建起高中數學的知識網絡體系與知識框架，從而形成整個高中數學知識的架構，挖掘數學基礎知識本源，掌握數學基本技巧方法，以不變應萬變，為高考提供最直接的知識支撐與能力平臺.

6.2 抓住等差數列的函數本質

數列作為離散函數中的典型代表之一，是函數主線上的一個重要分支與特殊應用，回歸函數本質是數列應用的根本.

在實際解決數列問題時，經常要合理回歸數列的函數本質，抓住數列的函數性，挖掘出等差數列中的一次函數、二次函數本質，等比數列中的指數函數本質，以及數列與函數之間的內在聯系，從而合理從函數的觀點來解決數列問題，巧妙揭開數列的神秘“面紗”，為數列的進一步綜合應用開拓更廣的空間與更深的渠道，借助創新思維來綜合應用，培養學生的創新意識與創新應用等[2].