教材追根溯源，鏈接高考真題

摘要：每年高考數學試卷中的真題都有高中數學教材中例（習）題或歷年高考數學真題的蹤影.結合一道2023年高考真題的展示，追根溯源，鏈接教材例（習）題與以往高考真題，開拓數學思維，從不同思維視角來破解與應用，回歸教材與高考真題的典型實例，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：平面向量；高考；教材；數量積；代數；幾何

平面向量及其綜合應用問題是歷年高考數學中的一個重要知識模塊，包括平面向量以及解三角形問題，題型有小題（選擇題或填空題）與解答題，成為每年高考中必考的一個基本知識點.而此類平面向量及其綜合應用問題的考查，往往都可以在高中數學教材的例（習）題或以往的高考數學真題中尋覓其蹤影，成為數學教材與高考數學的延續與傳承.

1 高考真題呈現

真題 （2023年高考數學新高考Ⅰ卷·3）已知向量a=（1，1），b=（1，－1），若（a+λb）⊥（a+μb），則（" ）.

A.λ+μ=1

B.λ+μ=－1

C.λμ=1

D.λμ=－1

2 追根溯源

該高考真題，追根溯源，是在教材例（習）題、以往高考真題的基礎上，借助平面向量的坐標運算以及向量的垂直關系，結合參數值的設置，進一步加以轉化、深入、變形、拓展與提升，從而實現問題的應用.

2.1 教材溯源

習題1 〔人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學》（必修第二冊）第六章“平面向量及其應用”第60頁復習參考題6第6題〕

已知向量a=（1，0），b=（1，1），c=（－1，0），求滿足c=λa+μb的λ和μ的值.

解析：由于c=λa+μb=λ（1，0）+μ（1，1）=（λ+μ，μ）=（－1，0），因此

λ+μ=－1，μ=0，解得λ=－1，μ=0.

習題2 （同上教材第60頁復習參考題6第8題）

已知向量a=（1，0），b=（1，1），當λ為何值時，a+λb與a垂直？

解析：依題知a+λb=（1，0）+λ（1，1）=（1+λ，λ）.

而a+λb與a垂直，則有

（a+λb）·a=（1+λ，λ）·（1，0）=1+λ=0.

解得λ=－1.

涉及含參的平面向量的坐標運算及其應用問題，是高中數學教材中的一個重要知識點，也是各級各類數學考試中的一個基本考點，難度一般，比較簡單，關鍵是考查數學運算能力、化歸與轉化思想等.

2.2 高考溯源

（2021年高考數學全國乙卷理科·14）已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a－λb）⊥b，則λ=.

解析：依題，可知

a－λb=（1，3）－λ（3，4）=（1－3λ，3－4λ）.

而（a－λb）⊥b，則（a－λb）·b=0，即

（1－3λ，3－4λ）·（3，4）=15－25λ=0.

解得λ=35.故填答案：35.

這里只是列舉一道歷年典型的高考真題，還有其他的一些相關真題，這里不多加展示.此類高考真題，具有較強的典型性，為后繼的高考命題提供了很好的“母題庫”，為數學知識的考查與命題的創設提供了基礎條件.

3 真題破解

對于上述高考真題，可以從以下幾個思維角度求解.

3.1 代數思維

解法1：坐標運算法.

依題知a+λb=（1，1）+λ（1，－1）=（1+λ，1－λ），

a+μb=（1，1）+μ（1，－1）=（1+μ，1－μ）.

由（a+λb）⊥（a+μb），可得（a+λb）·（a+μb）=0，

于是有（1+λ，1－λ）·（1+μ，1－μ）=（1+λ）（1+μ）+（1－λ）（1－μ）=2+2λμ=0.

解得λμ=－1.故選擇答案：D.

解法2：向量模轉化法.

依題知|a|=|b|=2，a·b=（1，1）·（1，－1）=1×1+1×（－1）=0.

由（a+λb）⊥（a+μb），可得（a+λb）·（a+μb）=0.

所以可得（a+λb）·（a+μb）=|a|2+λμ|b|2+（λ+μ）a·b=2+2λμ+0=2+2λμ=0.

解得λμ=－1.故選擇答案：D.

解后反思：根據平面向量“數”的屬性，借助代數思維，通過平面向量的線性運算、坐標運算以及數量積運算等，結合平面向量的模、平面向量的平行或垂直等來綜合與應用.代數思維是解決平面向量問題中最為常見的一種技巧方法，關鍵是通過代數知識進行數學運算與邏輯推理，從而達到解決平面向量問題的目的.

3.2 幾何思維

解法3：向量幾何意義法.

依題知|a|=|b|=2，a·b=（1，1）·（1，－1）=1×1+1×（－1）=0.

設OA=a，OB=b，則|OA|=|OB|=2，且OA⊥OB.

不失一般性，設OP=λb，OQ=μb，OC=a+λb，OD=a+μb.

由（a+λb）⊥（a+μb），可得OC⊥OD，如圖1所示.

而點P，Q在直線l：y=－x上，從而點C，D在直線m：y=－x+2上.

顯然OA⊥CD，且點C，D在點A的兩側，則有λgt;0，μlt;0.

由于|OP|=2λ，|OQ|=－2μ，因此|AC|=2λ，|AD|=－2μ.

在Rt△COD中，利用射影定理可得|OA|2=|AC||AD|，即（2）2=2λ×（－2μ）.

解得λμ=－1.故選擇答案：D.

解后反思：根據平面向量“形”的特征，借助幾何思維，通過平面向量的模、數乘、數量積等的幾何意義，回歸平面幾何圖形的直觀，利用平面圖形來邏輯推理與直觀想象.幾何思維是解決平面向量自身幾何特征的一種技巧策略，通過幾何直觀的構建來邏輯推理，從而達到解決平面向量問題的目的.

3.3 特殊思維

解法4：特殊值法.

取特殊值μ=1，依題知

a+λb=（1，1）+λ（1，－1）=（1+λ，1－λ），

a+b=（1，1）+（1，－1）=（1，0）.

由（a+λb）⊥（a+b），可得（a+λb）·（a+b）=0.

于是（1+λ，1－λ）·（1，0）=1+λ=0，解得λ=－1.

此時λ+μ=0，λμ=－1.故選擇答案：D.

解后反思：根據參數的變化情況，借助特殊思維，利用多個參數之間的關系，給其中一個參數賦予特殊值，進而求解其他相關的參數值，結合選擇題的結果加以合理排除與應用.特殊思維是解決選擇題中比較常見的思維方式，借助特殊值的選取，可以優化解題過程，減少數學運算.

4 變式拓展

4.1 同階變式

變式1 已知向量a=（1，1），b=（1，－1），若（a+λb）⊥（a+μb），則λμ=.

答案：－1.

4.2 高階變式

變式2 已知向量a=（1，1），b=（1，－1），若（a+λb）⊥（a+μb），則λ2+μ2的最小值為.

解析：由高考真題可知λμ=－1.

于是λ2+μ2≥2|λμ|=2，當且僅當|λ|=|μ|=1時，等號成立.

所以λ2+μ2的最小值為2.

故填答案：2.

5 教學啟示

認真研究和學習高中數學教材中的例（習）題以及歷年高考真題，借助這些典型數學問題，全面深挖數學問題的基本內涵與實質.

我們知道，高中數學教材的內容具有其他數學教學參考書所不可替代的作用和教育教學功能，而以往的高考真題更是具有典型的成功經驗與標桿作用，教師要合理引導學生深入領會高中數學教材中對應例（習）題與高考真題等典型問題中所展示出來的專家學者的命題意圖，并加以研究和開發，合理追根溯源.這樣不但可以豐富教學內容，還可就地取材，減少所謂的“補充內容”和資料書的使用，確實做到為學生減負，同時又能夠幫助學生提升動手動腦能力，提高學習興趣，是一舉多得的好事情.