“數”與“形”雙重屬性，技巧與方法應用

摘要：平面向量的模的求值或最值（或取值范圍）問題，是平面向量模塊知識中的重點與難點之一，破解此類問題有一定的基本策略與規律可循.本文中結合一道高考真題，通過題設信息，剖析平面向量綜合應用問題破解的常規技巧方法，歸納總結解題策略與規律，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：向量；模；平方；幾何；坐標

作為平面向量模塊知識中最重要的基本知識之一，平面向量的模、數量積等知識點成為近年高考試卷中常見常新的基本考點之一.本文中結合一道高考真題，剖析平面向量綜合應用問題破解的常規技巧與方法，有效指導數學教學與復習備考.

1 真題呈現

高考真題 （2024年高考數學新高考Ⅱ卷·3）已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且（b－2a）⊥b，則|b|=（" ）.

A.12

B.22

C.32

D.1

此題以兩個平面向量為問題場景，借助已知一個平面向量的模，并結合這兩個向量間的線性運算式的模，以及對應兩個向量的線性運算式的垂直關系等信息，求解另一個平面向量的模.

而此類涉及平面向量的線性運算、模與數量積等綜合應用問題，通常是高考中該模塊知識的一大基本考點.常見的思維方法或通過“數”的基本屬性進行代數運算，或通過“形”的幾何結構進行直觀化處理，或通過“數形結合”的綜合應用進行坐標法求解等，從不同思維視角切入與應用，合理發散數學思維，可以很好地考查數學的“四基”，以及學生的“四能”與關鍵能力等.

2 真題破解

2.1 代數思維

解法1：平方法.

由（b－2a）⊥b，得（b－2a）·b=b2－2a·b=0.

而由|a+2b|=2，兩邊平方可得

a2+4a·b+4b2=4.

①

將2a·b=b2代入①式，并結合|a|=1，整理可得1+6b2=4，即b2=12，解得|b|=22.

故選擇答案：B.

解法2：化歸法.

由（b－2a）⊥b，得（b－2a）·b=b2－2a·b=0.

結合|a|=1，|a+2b|=2，得|b|2=b2=2a·b=12（|a+2b|2－|a|2－4|b|2）=12（4－1－4|b|2），整理可得|b|2=12，解得|b|=22.

故選擇答案：B.

2.2 幾何思維

解法3：幾何法.

依題，如圖1所示，設OA=a，OB=b，OA′=2a，OB′=2b，則OC=a+2b，|OC|=2，A′B=b－2a，A′B⊥OB，|OA′|=2.

設AC與A′B相交于點E，OC與A′B相交于點D，則知|AE|=12|OB|=14|AC|，|EC|=34|AC|.

所以|EC|=34|AC|=32|OB|，則有|ED|=32|DB|，|CD|=32|OD|，從而|A′B|=5|DB|.

由|A′B|=5|DB|，|OA|=2，得22－|OB|2=525×22－|OB|2，整理可得|OB|2=12，解得|OB|=|b|=22.

故選擇答案：B.

2.3 數形結合思維

解法4：坐標法.

不失一般性，依題|a|=1，不妨設a=（1，0），合理構建平面直角坐標系，設b=（x，y）.

易得b－2a=（x－2，y）.結合（b－2a）⊥b，可得（b－2a）·b=（x－2，y）·（x，y）=x2－2x+y2=0，即x2+y2=2x.

而a+2b=（2x+1，2y），結合|a+2b|=2，可得（2x+1）2+（2y）2=4，即

4x2+4y2+4x=3.

②

將x2+y2=2x代入②式，可得8x+4x=3，解得x=14.將x=14代入x2+y2=2x，可得y2=716.

所以|b|2=x2+y2=12，則|b|=22.

故選擇答案：B.

3 變式拓展

3.1 同類變式

變式1 已知向量a，b滿足a·b=|a|=1，|a－b|=3，則|b|=（" ）.

A.1

B.2

C.3

D.2

解析：由|a－b|=3，兩邊平方可得

a2－2a·b+b2=3.

而a·b=|a|=1，則有12－2×1+b2=3，即b2=4，解得|b|=2.故選擇答案：D.

3.2 異類變式

變式2 已知向量a，b滿足|a|=1，|a－b|+|a+b|=4，則|b|的最小值為.

解析：依題，利用平面向量的數量積公式可得|a－b|2+|a+b|2=（a－b）2+（a+b）2=2（|a|2+|b|2）.

結合|a－b|+|a+b|=4，利用基本不等式，可得|a－b|2+|a+b|2≥12（|a－b|+|a+b|）2=8，當且僅當|a－b|=|a+b|，即a⊥b時，等號成立.

因為|a|=1，所以2（|a|2+|b|2）=|a－b|2+|a+b|2≥8，即2（1+|b|2）≥8，整理有|b|2≥3，解得|b|≥3，所以|b|的最小值為3.故填答案：3.

3.3 深度變式

變式3 平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，|a+b+c|=1，則（a+c）·（b+c）的最小值是（" ）.

A.－3

B.3－23

C.4－23

D.－23

解析：依題可得cos 〈a，b〉=a＼5b|a||b|=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標系中，令a=（2，0），b=（1，3），設c=（x，y），則知

|a+b+c|=|（3+x，3+y）|=1，

即（x+3）2+（y+3）2=1，其表示圓心為C（－3，－3），半徑為r=1的圓.

（a+c）·（b+c）=（x+2，y）·（x+1，y+3）=（x+2）（x+1）+y（y+3）=x2+3x+2+y2+3y=x+322+y+322－1，

其中代數式x+322+y+322表示的是動點P（x，y）與定點M－32，－32的距離的平方.

而CM=－3+322+－3+322=3，則知PMmin=3－1，

所以（a+c）·（b+c）的最小值是（3－1）2－1=3－23.故選擇答案：B.

4 教學啟示

在實際求解平面向量的模或數量積的值與最值（或取值范圍）等綜合應用問題時，借助平面向量自身所兼備的代數思維或幾何思維的應用，通過不同思維下的代數法與幾何法的應用，合理構建成一幅完美和諧統一的“畫卷”，成為新高考數學試卷命題中的一個創新點與熱點.

解決此類涉及平面向量的模或數量積的求值與最值（或取值范圍）等綜合應用問題時，往往借助平面向量“數”與“形”的雙重屬性，抓住平面向量的模與數量積自身“數”的屬性應用，或“形”的幾何特征，并結合不同的應用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應的平面向量的模或數量積的綜合應用問題.

依托平面向量自身的“數”與“形”的雙重屬性，借助“數”與“形”的不同視角，使得平面向量的模或數量積的綜合問題的求解與應用更加合理、有效、可行、快捷，或借助“數”來代數運算，或借助“形”來直觀想象，也可以實現“數”與“形”的緊密結合，有效實現知識與能力的有效融合.