依托變換巧應(yīng)用，回歸定義妙轉(zhuǎn)化

摘要：基于數(shù)學(xué)問題應(yīng)用場景的知識應(yīng)用與思維的展開，是破解數(shù)學(xué)問題的基本思維方向之一.結(jié)合一道三角函數(shù)求值的高考真題，從問題條件入手，結(jié)合多思維視角切入，從三角恒等變換思維與三角函數(shù)定義思維等展開，利用不同技巧解決，探尋三角函數(shù)求值的規(guī)律與策略，形成數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；求值；三角恒等變換；定義

三角函數(shù)的求值及其綜合應(yīng)用問題，往往能較好地融合三角函數(shù)的定義、基本概念、基本公式、圖象與性質(zhì)等，是三角函數(shù)知識模塊的重點與難點之一，成為高考及競賽等命題中的重要知識點.三角函數(shù)的求值及其綜合應(yīng)用問題，知識交匯融合，思維視角多樣，方法技巧多變，是全面考查數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)能力、展示知識交匯與體現(xiàn)方法多樣性的一個重要載體，備受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·13）已知α為第一象限角，β為第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，則sin（α+β）=.

該問題以兩個確定象限范圍的角為問題場景，結(jié)合兩角的正切值之和、正切值之積為已知條件來創(chuàng)設(shè)問題，進而求解兩角和的正弦值.

問題簡單明了，通過三角函數(shù)的場景，利用兩個角所對應(yīng)的正切值之間的關(guān)系來設(shè)置問題，進而求解與之相關(guān)的兩角和的三角函數(shù)值，以“定（量）”創(chuàng)設(shè)來求解“定（量）”問題，吻合辯證唯物主義思想.

在具體解決問題時，可以回歸三角函數(shù)的本質(zhì)，利用三角恒等變換思維進行三角轉(zhuǎn)換與運算，不同的公式應(yīng)用與切入轉(zhuǎn)化，對應(yīng)不同的技巧方法，側(cè)重于數(shù)學(xué)運算與邏輯推理；也可以借助三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)定義思維進行三角轉(zhuǎn)換與運算，結(jié)合定義的應(yīng)用、公式的變形來達到目的.思維視角不同，解題技巧各樣，殊途同歸.

2 真題破解

2.1 三角恒等變換思維

三角恒等變換思維的根本就是借助三角恒等變換公式，合理通過兩角和或差、二倍角公式及三角函數(shù)的其他基本公式來綜合與應(yīng)用.

方法1：三角恒等變換法1.

由于α為第一象限角，β為第三象限角，則知π+2kπl(wèi)t;α+βlt;2π+2kπ，k∈Z.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得

tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=－22lt;0.

所以3π2+2kπl(wèi)t;α+βlt;2π+2kπ，k∈Z，即α+β為第四象限角.

所以cos（α+β）=cos 2（α+β）sin 2（α+β）+cos 2（α+β）=11+tan 2（α+β）=13，從而可得到sin（α+β）=－1－cos 2（α+β）=－223.故填答案：－223.

點評：這里確定相關(guān)角的關(guān)系式的取值范圍，成為解決問題的關(guān)鍵.

方法2：三角恒等變換法2.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得

tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=－22lt;0.

由tan α+tan β=4，可得sin αcos α+sin βcos β=4，整理得sin（α+β）=4cos αcos β.結(jié)合α為第一象限角，β為第三象限角，可得sin（α+β）=4cos αcos βlt;0.

所以sin（α+β）=－sin 2（α+β）sin 2（α+β）+cos 2（α+β）=－tan 2（α+β）tan 2（α+β）+1=－223.故填答案：－223.

點評：這里的關(guān)鍵就是直接利用所求的三角關(guān)系式的正負來分析與應(yīng)用.

方法3：三角恒等變換法3.

依題，由α為第一象限角，β為第三象限角，可得cos αgt;0，cos βlt;0.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，

可得sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β＼5（tan α+tan β）=4cos αcos αβ.

于是，有sin（α+β）=－4cos 2αsin 2α+cos2α×cos2βsin2β+cos2β.

所以，可得

sin（α+β）－41tan 2α+1×1tan 2β+1

=－41tan 2αtan 2β+（tan α+tan β）2－2tan αtan β+1

=－41（2+1）2+42－2（2+1）+1=－223.

故填答案：－223.

點評：對應(yīng)三角關(guān)系式的正負取值確定后，處理起來就比較方便.

2.2 三角函數(shù)定義思維

三角函數(shù)定義思維的根本就是回歸三角函數(shù)的定義，通過對應(yīng)角的終邊上相關(guān)點的坐標及該點到原點的距離來確定對應(yīng)三角函數(shù)的比例值，為進一步分析與求解創(chuàng)造條件.

方法4：定義法1.

由于α為第一象限角，β為第三象限角，則知π+2kπl(wèi)t;α+βlt;2π+2kπ，k∈Z.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=－22lt;0.

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知tan（α+β）=－22=yx，其中ylt;0，則y=－22x，xgt;0.

所以r=x2+y2=3x，則sin（α+β）=yr=－22x3x=－223.故填答案：－223.

點評：回歸三角函數(shù)的定義，是解決三角函數(shù)值及其相關(guān)綜合問題時比較常用的一種技巧方法.

方法5：定義法2.

依題，由α為第一象限角，β為第三象限角，可得sin αgt;0，cos αgt;0，sin βlt;0，cos βlt;0.

設(shè)tan α=mgt;0，tan β=ngt;0.由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得m+n=4，mn=2+1.

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知sin α=m1+m2，cos α=11+m2，sin β=－n1+n2，cos β=－11+n2.

所以sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=－m+n1+m2×1+n2=－223，其中這里（1+m2）×

（1+n2）=m2n2+m2+n2+1=（m+n）2+（mn－1）2=18.故填答案：－223.

點評：回歸三角函數(shù)的定義，往往是解決問題的突破口與創(chuàng)新應(yīng)用.

3 變式拓展

（1）類比變式

基于高考真題及其應(yīng)用，保留問題應(yīng)用場景，合理類比與拓展，得到以下對應(yīng)的變式問題.

變式1 已知α為第一象限角，β為第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，則cos（α+β）=.

（2）深入變式

依托高考真題及其應(yīng)用，通過合理變形與轉(zhuǎn)化，不斷深入探究與應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上得到以下對應(yīng)的變式問題.

變式2 已知α，β均為銳角，tan α+tan β=4sin（α+β），則cos（α+β）的最小值為.

4 教學(xué)啟示

4.1 熟練掌握三角公式，把握解題常規(guī)方法

涉及三角函數(shù)的求值綜合問題，往往要回歸三角函數(shù)自身特點，正確理解并掌握三角函數(shù)的定義、三角公式，利用三角函數(shù)中的同角公式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式等加以轉(zhuǎn)化與變形，這是解決三角函數(shù)求值問題中的常規(guī)技巧與方法，也是該模塊知識的“基石”所在.

當然，在此基礎(chǔ)上，有時還要綜合三角函數(shù)的函數(shù)特性、三角函數(shù)的幾何性質(zhì)及三角函數(shù)與其他相關(guān)知識的應(yīng)用等來解決一些相關(guān)的三角函數(shù)求值問題，這都是必須掌握的常規(guī)思想方法與技巧策略.

4.2 充分落實“通性通法”，開拓應(yīng)用“巧技妙法”

解決問題的基本思維方向往往是基于題目場景、題目條件及題目本質(zhì)或內(nèi)涵等，從這些基本條件、基本要素等入手，尋找解決問題的切入點，為解題思維的獲取提供更加豐富的信息.

這就要求在實際解題與應(yīng)用過程中，全面挖掘數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，從問題的本質(zhì)上獲取一些相關(guān)的基本信息，為破解問題“通性通法”的選取奠定基礎(chǔ)；在此基礎(chǔ)上，也為破解問題“巧技妙法”的應(yīng)用揭開“面紗”.