合理引參創設，破解一道立體幾何題

立體幾何場景下的“動態”與“靜態”問題，涉及位置關系、距離長度與角度大小等要素，可合理確定所求值，可巧妙進行最值（或取值范圍）判斷，通常是高考數學試卷命題中的一個基本考點與創新點，備受各方關注.

1 試題及分析

題1 （2025屆湖北省武漢市部分學校高三年級九月調研考試數學試卷·14）如圖1，兩個有共同底面的正三棱錐P-ABC與Q-ABC，它們的各頂點均在半徑為1的球面上，若二面角P-AB-Q的大小為120°，則△ABC的邊長為.

在實際解題時，關鍵是通過圖形直觀，從邊參視角或角參視角，借助不同思維與方法來分析，巧妙突破幾何與三角、函數與方程等之間的巧妙轉化，進而實現問題的求解.

此題以兩個同底且“一正一倒”的正三棱錐與對應的外接球的組合體為試題場景，設計巧妙.

2 試題破解

2.1 邊參思維

解法1：邊參法.

依題，設外接球的球心為O，AB的中點為D，根據題設條件可知P，O，Q三點共線，設PQ∩平面ABC=E，則知E為△ABC的中心，二面角P-AB-Q的平面角為∠PDQ，即∠PDQ=120°，如圖2所示.

令|DE|=x，|OE|=y，則有|OC|2=|OE|2+|CE|2，即1=y2+4x2.

|PD|2=|DE|2+|PE|2=x2+（1+y）2，|QD|2=|DE|2+|QE|2=x2+（1－y）2.

在△PDQ中，利用余弦定理可得2|PD||QD|×

cos∠PDQ=|PD|2+|QD|2－|PQ|2，

則－|PD|×|QD|=2x2+2y2－2=－6x2，即|PD||QD|=6x2=32（1－y2）.

|PD|2|QD|2=[x2+（1+y）2][x2+（1－y）2]=（x2+y2+1）2－4y2=（3y2+5）216－4y2=94（1－y2）2，整理可得27y4－38y2+11=0，即（y2－1）（27y2－11）=0，解得y2=1（舍去）或y2=1127.

于是可得x2=14（1－y2）=427，解得x=233，則有|AB|=3xsin 60°=43，即△ABC的邊長為43.

故填答案：43.

點評：解決此類問題的常規思維就是合理引入邊參，借助立體幾何問題的空間圖形，合理化立體幾何為平面幾何，借助平面幾何圖形的基本性質來合理構建邊參之間的關系式，通過解三角形思維來轉化與應用，實現邊參之間的變形與轉化，為問題的分析與求解創造條件.這里借助兩個邊參的巧妙引入來處理，結合勾股定理與余弦定理來轉化與應用，數學運算過程比較繁雜，邏輯推理復雜，解題時要細致認真.

2.2 角參思維

解法2：角參法1.

依題，設外接球的球心為O，AB的中點為D，根據題設條件可知P，O，Q三點共線，設PQ∩平面ABC=E，則知E為△ABC的中心，二面角P-AB-Q的平面角為∠PDQ，即∠PDQ=120°，如圖2所示.

令|BD|=x，|OE|=y，設∠PDE=α，∠QDE=β，則有tan α=1+y|DE|，tan β=1－y|DE|，α+β=∠PDQ=120°.

由|DE|2+x2+y2=1，且|DE|=33x，可得43x2=1－y2.

又tan αtan β=1+y|DE|·1－y|DE|=1－y2|DE|2=43x213x2=4，tan α+tan β=1+y|DE|+1－y|DE|=2|DE|=23x，所以

－3=tan∠PDQ=tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=23x1－4，解得x=23，則有|AB|=2x=43，即△ABC的邊長為43.

方法3：角參法2.

依題，設外接球的球心為O，AC的中點為N，根據題設條件可知P，O，Q三點共線，設PQ∩平面ABC=M，則知M為△ABC的中心，如圖3所示.

設△ABC的外接圓半徑為r，則|BM|=r，|MN|=r2，可得OM=1－r2.

設∠PNM=α，∠QNM=β，則tan α=|PM||MN|=1+1－r2r2gt;0.

同理可得tan β=1－1－r2r2gt;0.

所以tan αtan β=1+1－r2r2·1－1－r2r2=4，tan α+tan β=1+1－r2r2+1－1－r2r2=4r，于是有

－3=tan∠PNQ=tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=4r1－4，解得r=433，則有|AB|=32rsin 60°=43，即△ABC的邊長為43.

點評：解決此類問題的另一常規思維就是合理引入角參，借助三角函數的定義及其應用，以及代數關系式的變形與轉化來合理構建相關的關系式.

3 試題探源

前文所給試題與2024年江蘇省蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（二）數學試卷的第8題有很大的相似之處，二者之間存在一些共同點.在一定程度上，可以認為前文所給試題是由其改編而成的，改編得非常精妙與合理.原考題如下：

題2 〔2024年江蘇省蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（二）數學試卷·8〕正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，點P和點Q在平面ABC的異側，這兩個正三棱錐的側面與底面ABC所成的角分別為α，β，則當α+β最大時，tan（α+β）=（" ）.

A.－13

B.－23

C.－1

D.－43

4 變式拓展

變式 兩個有共同底面的正三棱錐P-ABC與Q-ABC，它們的各頂點均在同一個球面上，點P和點Q在平面ABC的異側，這兩個正三棱錐的側面與底面ABC所成的角分別為α，β，則可得tan αtan β=.

該變式只是題1或題2中的一個過程量，也是立體幾何圖形“動”與“靜”結合的一個關鍵產物，借助兩正三棱錐的側面與底面ABC所成角的正切值之積為定值來設置，有效實現立體幾何中動點的“動”與三角函數關系式中變量的“靜”之間的巧妙轉化與應用.

5 教學啟示

解決此類涉及立體幾何中二面角及其相關應用的取值或最值（或取值范圍）問題，關鍵在于正確構建與之對應的空間幾何體及其數學模型，借助空間幾何體之間的位置關系與結構特征，或者相關動點變化規律與運動情況，巧妙思維，創新應用，有效交匯并融合眾多的數學知識點，具有較強的綜合性和技巧性，可以很好地考查考生的數學“四基”與“四能”，有效實現數學試題的選拔性與區分度.

解題時，巧妙化“動”為“靜”，“動”“靜”結合，合理化“三維”為“二維”，正確進行維度轉化.在這個過程中，巧妙引入參數或相關的變量，通過“靜”態思維與模型構建，結合相關的函數或方程、三角函數或解三角形、不等式及其應用、平面幾何直觀及其他相關思維等來分析與應用，實現問題的巧妙解決，全面提升數學能力，優化數學品質，培養數學核心素養.