導數中曲線公切線問題求解策略

1 公切線問題的主要思路

一般我們解決兩條曲線的公切線問題，主要考慮利用導數的幾何意義.常見于求公切線方程，判斷切線的條數，求參數的值或取值范圍，證明公切線等相關問題.通常根據等量關系列出方程并解決問題，列出的等量關系式如下：①切點處的導數值等于切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.

2 公切線問題考查方向

2.1 求公切線方程

例1 （2016新課標Ⅱ卷理科）若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則b=.

解：對函數y=ln x+2求導得到y′=1x，對函數y=ln（x+1）求導得y′=1x+1.設直線y=kx+b與y=ln x+2相切于點P1（x1，y1），與y=ln（x+1）相切于點P2（x2，y2），則y1=ln x1+2，y2=ln（x2+1）.

在P1（x1，y1）處的切線為y-（ln x1+2）=1x1＼5（x-x1），在點P2（x2，y2）處的切線為y-ln（x2+1）=1x2+1（x-x2），由于這兩條直線表示的是同一條直線，

所以1x1=1x2+1，ln（x2+1）=ln x1+2x2+1x2+1，進而解得

x1=12.

所以k=1x1=2，于是b=ln x1+2-1=1-ln 2.

點評：本題的求解策略是不知道切點一定要把切點設出來，然后利用導數的幾何意義求出切線斜率，用點斜式寫出兩條切線方程，聯立得到的等量關系，進而求值.

2.2 判斷公切線的條數

例2 已知函數f（x）=x2-4x+4，g（x）=x-1，則f（x）和g（x）的公切線的條數為（" ）.

A.3條

B.2條

C.1條

D.0條

解：設兩函數的公切線與f（x）和g（x）分別相切于點（m，f（m）），（n，g（n）），f′（x）=2x-4，且g′（x）=-x-2.由g′（n）=f′（m）=g（n）-f（m）n-m，解得m=-n-22+2，代入化簡得8n3-8n2+1=0.

令h（x）=8x3-8x2+1，則h′（x）=8x（3x-2），所以函數h（x）在（-∞，0）和23，+∞上單調遞增，在0，23上單調遞減，極大值h（0）gt;0，極小值h23lt;0.因此函數h（x）和x軸有3個交點，所以方程8n3-8n2+1=0有三解.

所以公切線有3條.故選：A.

點評：本題求解策略是通過設切點，建立函數在某一點處的切線方程，將方程的解的個數轉化為函數零點個數問題，即轉化為函數圖象和x軸的交點問題.

2.3 由公切線問題求參數的值或范圍

例3 若f（x）=3x2-2，g（x）=-2-mln x

（m≠0）存在公切線，則實數m的最小值為（" ）.

A.-6e

B.-3e

C.2e

D.6e

解：由已知得f′（x）=6x，g′（x）=-mx.

設公切線與曲線f（x）切于點（x1，3x21-2），與曲線g（x）切于點（x2，-2-mln x2），根據導數幾何意義，可得6x1=-mx2=-2-mln x2-（3x21-2）x2-x1=-mln x2-3x21x2-x1.

所以m=-6x1x2，6x1=6x1x2ln x2-3x21x2-x1，可得x1=0

或x1=2x2-2 x2ln x2.又m≠0，所以x1≠0，

則m=-6（2x2-2x2ln x2）x2=12x22ln x2-12x22.

令函數h（x）=12x2ln x-12x2，則h′（x）=12x（2ln x-1）.當0lt;xlt;e時，h′（x）lt;0;當xgt;e時，h′（x）gt;0.

所以h（x）在（0，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，則h（x）min=h（e）=-6e.

故選：A.

點評：涉及公切線問題一般先設切點，再根據斜率相等得到方程，即可找到參數之間的關系，最后構造函數，利用導數求出函數的最值.

變式1 （2022新高考Ⅰ卷）若曲線y=（x+a）ex

有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是.

解：由已知，得y′=（x+1+a）ex.設切點坐標為（x0，y0），

則y0=（x0+a）ex0，k=（x0+1+a）ex0，切線方程為y-（x0+a）ex0=（x0+1+a）ex0（x-x0）.因為坐標原點在切線上，所以-（x0+a）ex0=（x0+1+a）ex0（-x0），

整理得到x20+ax0-a=0.因為切線有兩條，所以Δ=a2+4agt;0，解得alt;-4或agt;0.故答案為：（-∞，-4）∪（0，+∞）.

變式2 （2022高考全國甲卷文科節選）已知函數f（x）=x3-x，g（x）=x2+a，曲線y=f（x）在點（x1，f（x1））處的切線也是曲線y=g（x）的切線.求a的取值范圍.

解：由已知，得f′（x）=3x2-1，則f（x）在點（x1，f（x1））處切線方程為y-（x31-x1）=（3x21-1）＼5（x-x1），

即y=（3x21-1）x-2x31.

設該切線與g（x）切于點（x2，g（x2）），g′（x）=2x，則g′（x2）=2x2，則切線方程為y-（x22+a）=2x2（x-x2），即y=2x2x-x22+a.

因為兩條切線是同一條直線，所以3x21-1=2x2，2x31=x22-a，聯立得a=x22-2x31=3x212-122-2x31=94x41-2x31-32x21+14.

設h（x）=94x4-2x3-32x2+14，對函數求導得h′（x）=9x3-6x2-3x=3x（3x+1）（x-1）.令h′（x）gt;0，解得-13lt;xlt;0或xgt;1；令h′（x）lt;0，解得xlt;-13或0lt;xlt;1.

所以h（x）在-∞，-13和（0，1）上單調遞減，在-13，0和（1，+∞）上單調遞增.又h-13=527，h（1）=-1，所以h（x）的值域為

2.4 證明公切線相關問題

例4 （2019高考全國Ⅱ卷理科）f（x）=ln x-x+1x-1.（1）討論f（x）的單調性，并證明f（x）有且僅有兩個零點；（2）設x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=ln x在點A（x0，ln x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

（1）解：略.

（2）證法1：因為設y=ln x在點A（x0，y0）處的斜率為1x0，所以切線l1的方程為y-y0=1x0（x-x0），即y=xx0+ln x0-1.

由ex=1x0，得x=-ln x0.所以曲線y=ex斜率為1x0的切線的切點為-ln x0，1x0，則切線l2的方程為y=xx0+ln x0+1x0.

由ln x0=x0+1x0-1，可得ln x0-1=

2x0-1，則有ln x0+1x0=2x0-1，所以

曲線y=ln x在A（x0，ln x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

證法2：由題設知f（x0）=0，即ln x0=x0+1x0-1.

曲線y=ln x在點A（x0，ln x0）處的切線l的方程可寫為y-ln x0=1x0（x-x0）.

設在曲線y=ex上取一點B（x1，y1），若其在點B處的斜率與直線l的斜率相等，則有ex1=1x0，即x1=-ln x0，故B-ln x0，1x0.

將點B代入直線l的方程y-ln x0=1x0（x-x0）中，可得1x0-ln x0=1x0（-ln x0-x0），整理得ln x0=x0+1x0-1，上式顯然成立.

所以直線l過點B，即曲線y=ln x在A（x0，ln x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

點評：證法1是分別求得兩條切線方程，說明兩個切線方程的斜率和截距相同，進而證明是同一條方程；證法2利用了切線斜率相等是證明切線重合的必要思路.

公切線問題的實質是導數幾何意義的綜合運用，我們可以從數和形兩個角度來考慮公切線問題.求解此類問題，切點是構建等量關系的關鍵，所以不知道切點一定要把切點設出來.在高考中常以求公切線，判斷公切線的條數，求解公切線問題中的參數值或者范圍，證明公切線相關問題為命題方向，考查學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算素養.