圓錐曲線最值問題探究

摘要：近幾年高考中的圓錐曲線最值問題常常以弦長(zhǎng)最值、離心率范圍，以及與圓錐曲線相關(guān)的三角形或四邊形的面積或周長(zhǎng)最值問題的形式出現(xiàn).本文中選取橢圓和雙曲線的兩道試題，進(jìn)行深入探討，引導(dǎo)學(xué)生掌握此類題型的解題思路，并形成有效的解題策略.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；最值；策略探究

1 利用函數(shù)性質(zhì)求最值

圓錐曲線的最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，這類問題往往與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線等知識(shí)點(diǎn)緊密相關(guān).解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，巧妙地引入?yún)?shù)，并靈活運(yùn)用圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí).在解題過程中，要特別注意利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、距離公式等工具，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)式.

例1 （2024·山東臨沂高三檢測(cè)）已知?jiǎng)訄A的圓心在x軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)（－4，0），（x，0），（0，y）.

（1）求點(diǎn)（x，y）的軌跡C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)E（－1，0）的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，若A（x0，4），G為軌跡C上位于點(diǎn)A，B之間的一點(diǎn)，點(diǎn)G關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BM⊥AQ，交AQ于點(diǎn)M，求|AM|·|AQ|的最大值.

解析：（1）根據(jù)題意，因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在x軸上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0），半徑為r.

由題意可得（a+4）2=a2+y2，即y2=8a+16.

由圓心是點(diǎn)（－4，0），（x，0）所連線段的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得a=12（x－4）.代入y2=8a+16可得y2=4x，故點(diǎn)（x，y）的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）根據(jù)題意可知，點(diǎn)A（x0，4）在拋物線C上，則42=4x0，所以x0=4，即A（4，4）.

由于過點(diǎn)E（－1，0）的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，則直線l的斜率為44－（－1）=45，故l的方程為y=45（x+1）.

聯(lián)立y2=4x和y=45（x+1），得y2－5y+4=0，

解得y=1或y=4，故有B14，1，則B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′14，－1.由題意，結(jié)合圖1知，直線AQ的斜率存在，設(shè)為k，直線AB′的斜率為kAB′=43，則kgt;43.

設(shè)直線AQ：y－4=k（x－4）kgt;43，Q（xQ，yQ），M（xM，yM）.

因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線C上，則y－4=k（x－4），y2=4x，可得y2－4ky+16k－16=0，所以yAyQ=16k－16，則yQ=4k－4，xQ=y2Q4=41k－12.

因?yàn)锽M⊥AQ，所以直線BM的方程為y－1=－1kx－14.

由y－1=－1kx－14，y－4=k（x－4），得xM=4k2－3k+14k2+1.

因?yàn)閨AM|·|AQ|=AM·AQ=（xM－4，yM－4）·（xQ－4，yQ－4）

=（xM－4）（xQ－4）+（yM－4）（yQ－4）

=（xM－4）（xQ－4）+k2（xM－4）（xQ－4）

=（k2+1）×（xM－4）（xQ－4）

=（k2+1）4k2－3k+14k2+1－4

×

41k－12－4〗

=24k2+18k－15k2=－151k2+18×1k+240lt;1klt;34，所以當(dāng)1k=－182×（－15）=35時(shí)，即k=53時(shí)，|AM|·|AQ|取到最大值，最大值為1475.

2 利用基本不等式求最值

例2 （2024·福建福州高三檢測(cè)）已知雙曲線C和橢圓x24+y2=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=62.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）如圖2，過點(diǎn)P（2，1）作兩條相互垂直的直線PM，PN，分別交雙曲線C于不同于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線MN距離的最大值.

解析：（1）因?yàn)闄E圓x24+y2=1的焦點(diǎn)在x軸上，

所以雙曲線C的半焦距c=4－1=3.又因?yàn)閑=ca=3a=62，所以a=2，b=c2－a2=1.

所以雙曲線C的方程為x22－y2=1.

（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)M（x0，y0）（y0gt;0），則N（x0，－y0）.此時(shí)

PM=（x0－2，y0－1），PN=（x0－2，－y0－1），

則PM·PN=（x0－2，y0－1）·（x0－2，－y0－1）=0，

即（x0－2）2－（y20－1）=0.

整理得x20－4x0－y20+5=0.

由x20－4x0－y20+5=0，x202－y20=1，可解得x0=6，y0=17，或x0=2，y0=1（舍去），所以M（6，17），N（6，－17）.此時(shí)點(diǎn)P到直線MN的距離為6－2=4.

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN的方程為y=kx+m.

聯(lián)立y=kx+m，x22－y2=1，消去y并化簡(jiǎn)整理，可得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0.又因?yàn)榕袆e式是

Δ=16k2m2－4（2k2－1）（2m2+2）=－16k2+8m2+8gt;0，則m2－2k2+1gt;0.由韋達(dá)定理可知x1+x2=－4km2k2－1，x1x2=2m2+22k2－1.

根據(jù)已知條件，可得

PM·PN=（x1－2，y1－1）（x2－2，y2－1）=0.

所以（x1－2）（x2－2）+（y1－1）（y2－1）=（x1－2）＼5（x2－2）+（kx1+m－1）（kx2+m－1）=（k2+1）

×x1x2+（km－k－2）（x1+x2）+m2－2m+5

=（k2+1）·2m2+22k2－1+（km－k－2）·－4km2k2－1+m2－2m+5=0.將該式子整理，可得m2+8km+12k2+2m－3=0，

即（m+2k－1）（m+6k+3）=0.由于P直線MN，所以1≠2k+m，所以m+6k+3=0，所以m=－6k－3.

函數(shù)y=m2-2k2+1=（－6k－3）2－2k2+1=34k2+36k+10開口向上，又其判別式Δ1=－362－4×34×10=1 296－1 360=－64lt;0，所以m2-2k2+1gt;0恒成立，故直線MN的方程為y=kx－6k－3，即kx－y－6k－3=0.

所以點(diǎn)P到直線MN的距離

d=|2k－1－6k－3|k2+1=4|k+1|k2+1.

所以d42=k2+1+2kk2+1=1+2kk2+1.

當(dāng)k≤0時(shí)，1+2kk2+1≤1；當(dāng)kgt;0時(shí)，1+2kk2+1=1+2k+1k≤1+22k·1k=2，

當(dāng)且僅當(dāng)k=1k，即k=1時(shí)等號(hào)成立.

所以d42≤2，則d4≤2，所以d≤42.

綜上所述，點(diǎn)P到直線MN距離的最大值為42.

近年，在新高考背景下，圓錐曲線的最值和范圍問題逐漸成為統(tǒng)考?jí)狠S題的熱點(diǎn).這類問題全面考查解析幾何的重要知識(shí)點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合法以及高中數(shù)學(xué)的其他核心思想方法，綜合性強(qiáng)，解題方法靈活多變，能夠真實(shí)反映學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和問題解決能力，因此具有很高的區(qū)分度.解決這類問題的關(guān)鍵在于識(shí)別核心變量，建立不等關(guān)系或運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想研究最值或函數(shù)值域問題.在求解過程中，需要準(zhǔn)確分析題目中的變量，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń⒉坏汝P(guān)系，確定變量范圍，并找到相關(guān)變量的函數(shù)關(guān)系式.最后，結(jié)合導(dǎo)數(shù)或基本不等式等知識(shí)，利用變量范圍和函數(shù)關(guān)系式求出函數(shù)的值域，從而找到最值.通過這種強(qiáng)化思維的訓(xùn)練，學(xué)生可以多動(dòng)腦、多思考，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法來探究和解決問題，不斷提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.