周期波紋夾芯結構動力學解析建模及振動特性分析

摘要： 本文基于動剛度方法建立了一種周期波紋夾芯結構的動力學解析模型。該模型將耦合結構解耦為若干開口圓柱殼和矩形板，并基于Kirchhoff薄板理論和Flügge薄殼理論推導了對邊簡支條件下子結構的動剛度矩陣。根據耦合邊界處的位移連續性條件和力平衡條件，得到了子結構的坐標轉換矩陣，并采用類似于有限元的思想組裝了周期結構的全局動剛度矩陣?；诮M裝的全局動剛度矩陣，計算了三種類型周期波紋夾芯結構的振動特性，并將計算結果與有限元軟件ANSYS仿真數據進行對比。研究結果表明，本文建立的解析模型能夠在較少的自由度下獲得準確的計算結果。此外，還探究了不同夾芯類型和幾何參數對周期波紋夾芯結構振動特性的影響。

關鍵詞： 波紋夾芯結構； 振動特性； 動剛度方法； 解析模型

中圖分類號： V214.3⁺5； TB532""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0019-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.003

Dynamic analytical modeling and vibration characteristics analysis of periodic corrugated sandwich structures

LI Zhibing， JIN Guoyong， YE Tiangui， YANG Tiejun， CHEN Yukun

（College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： This paper presents a dynamic analytical model of periodic corrugated sandwich structures by using the dynamic stiffness （DS） method. In the model， the coupled structure is decoupled into several open cylindrical shells and rectangular plates， and then based on Kirchoff’s thin plate theory and Flügge’s thin shell theory， the DS matrices of substructures under the condition of simply supported on the opposite side are derived. According to the continuity condition and equilibrium conditions on the coupling boundary， the coordinate transformation matrix of each substructure is derived， and the global DS matrices of the periodic structure are assembled using a similar strategy to the finite element method （FEM）. Based on the assembled global DS matrices， the vibration characteristics for the three types of periodically corrugated sandwich structures are calculated， and the results are compared with those from FEM solutions. The results show that the presented model can obtain accurate calculation results with fewer degrees of freedom. In addition， the effects of different core styles and geometric parameters on the band gap characteristics of the periodic sandwich structure are also explored.

Keywords： corrugated sandwich structure；vibration characteristics；dynamic stiffness method；analytical model

波紋夾芯結構以其輕質、高強度和耐腐蝕等優點被廣泛應用于飛機、汽車、船舶等各種工程結構。在實際運用中，該結構的振動是影響其強度和可靠性的關鍵因素。振動可能導致材料性能下降、疲勞損傷和結構破裂等問題，從而對使用安全構成潛在威脅。因此，對波紋夾芯結構的動力學特性進行研究具有重要意義。

近年來，國內外學者對波紋夾芯結構的動力學特性進行了大量的研究。SHU等^［1］運用Castigliano定理和等效均質理論提出了一種用于預測三角形波紋板彎曲性能的方法。袁文昊等^［2］基于Hamilton變分原理建立了不同邊界條件下的波紋板動力學模型，并采用指數剪切變形理論分析了材料和幾何參數對其振動特性的影響。隨后，李鳳蓮等^［3］建立了四邊簡支下的波紋夾芯板的動力學方程，并探究了不同夾芯結構的聲振特性。LIU等^［4］基于非線性幾何關系和Hamilton變分原理建立了石墨烯增強復合材料波紋板的非線性動力學方程，并探究了幾何尺寸對其振動特性的影響。李鎖斌等^［5］通過引入超材料提出了一種超結構夾芯板，并基于有限元方法探究了其帶隙特性，結果表明所建立的超材料波紋板具有良好的力學承載和低頻帶隙特性。XIA等^［6］從實驗、數值和理論三個方面研究了波紋夾芯板在沿其中心線方向施加縱向載荷時的力學響應。LIU等^［7］ 通過試驗和有限元仿真分析深入研究了U型波紋夾芯板在準靜態壓縮載荷下的變形機理，并推導了U型波紋夾芯板變形抗力的解析公式。李震等^［8］采用微分求積有限元方法建立了由多個圓弧殼組成的波紋板的動力學模型，隨后，基于前期的研究，他們又探究了新型波紋夾芯板結構在各種邊界條件下的振動特性^［9］。

從以上文獻可知，目前對波紋夾芯結構的動力學特性研究主要基于有限元方法和等效介質理論。雖然等效介質理論可以簡化數學模型，但它忽略了波紋板內部復雜的結構和材料不均勻性，對模型的精確度和可靠性有一定的影響。有限元方法雖然對模型具有很強的適應性，但在處理大型結構和高頻計算時，往往需要將結構劃分成足夠小的單元，這會導致巨大的計算量并對計算機性能有更高的要求。鑒于此，本文采用動剛度方法建立了對邊簡支條件下周期波紋夾芯結構的動力學精確解析模型。在本模型中首先將耦合結構劃分為若干開口圓柱殼和矩形板，并基于相應的控制微分方程獲得其在對邊簡支條件下的精確位移解。然后，根據邊界處位移和力的關系推導出各子結構的動剛度矩陣，并根據耦合邊界處的位移連續性和力平衡條件，得到了子單元的坐標變換矩陣。接著，采用與有限元方法類似的策略組裝了周期波紋夾芯結構的全局動剛度矩陣。最后，基于建立的解析模型，計算了三種不同波紋夾芯結構的振動特性，并將計算結果與有限元軟件ANSYS的仿真結果進行對比。同時，探究了不同夾芯類型和幾何參數對周期波紋夾芯結構振動特性的影響。

1 模型介紹

本研究建立的周期波紋夾芯結構如圖1（a）所示，整個周期結構由多個胞元沿著y_g方向相互耦合而成。圖1（b）給出了其中一種胞元結構，其由開口圓柱殼和矩形板組成，其中L_x、L_y、L_z是胞元在不同方向上的長度，θ和r分別為開口圓柱殼的圓心角和半徑。在本研究中假設矩形板和開口圓柱殼都為均勻的、各向同性的彈性材料，且都具有相同的厚度，并忽略轉動慣量和剪切效應的影響，故分別采用Kirchhoff薄板理論和Flügge薄殼理論進行動力學建模。

1.1 子結構動力學模型

1.1.1 矩形板

首先，建立矩形板的動力學模型，其位移和載荷如圖2所示。在本研究中，將同時考慮板的橫向和面內振動，并假設板在x=0和x=a上處于簡支支撐（v_p=w_p=0）。根據Kirchhoff薄板理論，在小變形范圍內，板的橫向和面內振動控制微分方程可以解耦為^［10?11］：

（1）

式中，分別為矩形板不同方向的位移；為圓頻率；為板的彎曲剛度；；；，E_p為板的彈性模量；ρ_p為板的密度；υ_p為板的泊松比；h_p為厚度。

矩形板的位移與力和力矩的關系為^［10?11］：

（2）

式中，和分別為矩形板內對應方向的面內剪力；和為橫向剪力和彎矩。

簡支邊界條件下，板的位移解可以表示為：

（3）

式中，m表示板單元在x方向上的波數；M為三角級數項數；分別為矩形板在y方向的位移分量。將式（3）代入方程（1）可得到如下的位移解析解：

（4）

式中，c_i為未知系數；r_i為特征方程的4個根。將式（4）得到的位移解析解代入式（2）便可得到矩形板力和力矩的解析表達式。

沿著邊界線y=0和y=b的位移和載荷可以表示為：

（5）

（6）

式中，上標“in”和“out”分別代表板面內和橫向振動；。結合式（3）～（6）及載荷和位移的關系，可得到如下矩陣：

（7）

（8）

式中，分別為與波數m相關的矩形板邊界位移和載荷組成的矩陣，其維度為4M×4M。通過式（5）～（8），可以得到矩形板的動力學方程為：

（9）

式中，為板的面內/橫向動剛度矩陣。

板完整的動力學方程可表示為：

（10）

式中，

（11）

其中每個子矩陣的維度為2M×2M。

1.1.2 開口圓柱殼

接下來，將建立開口圓柱殼的動力學方程，其位移和載荷如圖3所示。在本研究中，假設開口圓柱殼兩曲邊 （α=0，α=L）為簡支支撐（v_s=w_s=0）。基于Flügge 薄殼理論，開口圓柱殼的振動控制微分方程為^［12］：

（12）

式中，，，分別為開口圓柱殼不同方向的位移。

（13）

式中，，h_s為厚度；系數A_i （i=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）的詳細表達式見文獻［12］。

開口圓柱殼的位移與力和力矩的關系為^［12］：

（14）

式中，為開口圓柱殼的彎曲剛度；，分別為開口圓柱殼的彈性模量和泊松比。

簡支邊界條件下，開口圓柱殼的位移解可以表示為^［12］：

（15）

式中，m代表開口圓柱殼單元在α方向上的波數；為三角級數項數；分別為開口圓柱殼在β方向的位移分量。

將式（15）代入式（12）便可得到開口圓柱殼的位移解析解如下：

（16）

式中，p_i （i=1，2，3，4，5，6，7，8） 為特征方程的根；δ_i、γ_i為將U_s.m和V_s.m用W_s.m表示時的系數；為未知系數。

將式（16）代入式（14）便可得到開口圓柱殼的力和力矩的解析解。與板單元類似，沿著邊界線β=θ和β=0的位移和載荷可以表示為：

（17）

式中，。結合式（14）～（17）及載荷和位移的關系，可得到如下矩陣：

（18）

式中，分別為與波數m相關的開口圓柱殼邊界位移和載荷組成的矩陣，其維度為8M×8M。通過式（17）～（18），可以得到開口圓柱殼的動力學方程為：

（19）

式中，為開口圓柱殼動剛度矩陣，其維度為8M×8M。

1.2 耦合結構動力學模型

為了建立耦合結構的整體動力學方程，需將開口圓柱殼和矩形板的動剛度矩陣從局部坐標系轉換到統一的全局坐標系下。在本研究中，選取以開口圓柱殼的圓心為原點的笛卡爾坐標系作為整體結構的全局坐標系（如圖4所示），對于圖1所示的波紋夾芯結構，由于其上下面板與所建立的全局坐標系在同一平面，因此對于矩形板單元，無需進行坐標變換。若芯層由矩形板組成，僅需進行類似于文獻［13］描述的坐標變換即可。此外，在組裝全局動剛度矩陣和進行坐標變換之前，應先對矩形板和開口圓柱殼的動剛度矩陣進行排序，具體排序過程可參考文獻［13］。

圖4給出了開口圓柱殼在全局坐標下的幾何關系示意圖，其中ξ₁和ξ₂為開口角連線與全局坐標y_g正方向之間的夾角，當其在z_g正方向為正，反之為負。根據耦合邊界上的位移連續性條件和平衡條件，可得到如下關系矩陣^［14］：

（20）

式中，分別表示局部坐標下開口圓柱殼的位移和載荷向量；分別表示全局坐標下開口圓柱殼的位移和載荷向量。

（21）

（22）

（23）

式中，右上角上標數字代表開口圓柱殼邊界；I、I_cosξ，I_sinξ分別為對角線元素為1、cosξ和sinξ的對角矩陣，且維度均為M×M。

結合式（20）～（23），全局坐標下的開口圓柱殼的動力學方程可以表示為：

（24）

式中，和分別為局部和全局坐標下的開口圓柱殼動剛度矩陣。

一旦獲得基礎單元的動剛度矩陣及其坐標轉換矩陣，各種耦合結構的全局動剛度矩陣就可以像有限元一樣進行組裝，其組裝過程如圖5所示，但值得注意的是，此時子結構是通過線節點而不是點節點進行連接的。此外，由于本文建立的模型適用于x_g方向對邊簡支，而y_g方向為任意經典邊界條件（自由：u_g=v_g=w_g=≠0；簡支：v_g=w_g =0；固支：u_g=v_g=w_g==0），因此對于y_g方向所需的邊界條件，只需要像有限元方法一樣通過劃行劃列的方式將全局動剛度矩陣中約束位移對應的行和列去掉即可。

在研究周期結構的振動特性時，需要考慮外部載荷的施加，由于夾芯結構外部載荷主要作用于上下面板，故本研究只考慮外部載荷作用于面板的情況。對于外部載荷，一般有兩種載荷形式，一種是點載荷，一種是線載荷，具體表達式如下：

點載荷：

（25）

線載荷：

（26）

式中，F₀、M₀分別為外部簡諧力和的幅值。

2 數值算例

為了驗證本文建立模型的準確性，對圖1所示的三種胞元進行自由振動分析。為了方便計算，所有開口圓柱殼和矩形板均采用相同的厚度和材料參數，包括彈性模量E=210 GPa、密度ρ=7800 kg/m³、泊松比υ=0.3和厚度h=0.003 m，且所有殼和板的尺寸分別相同，除非特殊說明。三種胞元的整體尺寸分別為L_x=0.3 m，L_y=0.2828 m，L_z=0.0586 m，其中所有開口圓柱殼的尺寸為r=0.1 m，θ=45°，L=0.3 m，耦合角度ξ_i有兩種情況，分別為90°和45°，對應不同的坐標系方向有不同的值，具體可見圖4。對于類型Ⅲ胞元，芯層中板的寬度L_y=0.0707 m。 此外，值得注意的是，本文給出的所有算例邊界條件均為x_g方向兩端簡支約束，而y_g方向全自由。

表1給出了對邊簡支條件下不同類型胞元的前10階固有頻率，其中有限元結果采用ANSYS仿真軟件計算得到。在有限元仿真中，單元類型采用SHELL63，單元尺寸為0.01×0.01 m²，該網格尺寸已滿足收斂性要求。從表1可以看出，所建立的模型具有良好的收斂性（粗體表示收斂值），并且計算結果與有限元仿真結果基本相同。此外，圖6展示了本文方法和有限元軟件繪制的不同類型胞元的第1階振型圖。從中不難發現，兩種方法繪制的振型圖吻合良好，進一步驗證了本文建立模型的正確性。

為了進一步驗證本文提出方法的正確性，分別采用本文方法和有限元仿真軟件ANSYS對圖1所示的類型Ⅰ周期結構進行諧響應分析。在本次計算中，模型的整體尺寸為：0.3 m×1.1312 m×0.0586 m，由4個類型Ⅰ胞元組成，其有限元計算模型如圖7所示。點載荷F=10e^iωt作用于最左側邊界中點（0.15， 0， 0.0586） m，響應提取位置為最右測邊界點（0.05， 1.1312，0.0586） m，如圖1（a）所示。在ANSYS中，采用SHELL63單元，并分別采用（0.015×0.015） m²粗網格和（0.01×0.01） m²細網格進行求解。當使用粗網格時，整個結構需要5120個單元和5250個節點，而使用細網格時，達到11040個單元和11222個節點，可見，在有限元方法中網格數量是巨大的，而本文方法只需要使用28個動剛度單元和22個線節點。圖8對比了兩種方法的計算結果，從中可以看出，三條曲線的整體趨勢吻合良好，且細網格的計算結果更接近本文結果。此外，從圖8中可以發現，在0～2000 Hz范圍內有5個較明顯的禁帶（灰色區域），這些禁帶主要由周期結構對彈性波或振動的反射和折射效應引起，當振動或彈性波傳播到周期性結構表面時，根據Bragg定律，彈性波會被散射回去或者在結構內部被反射和折射，當波長與周期結構的間距相適應時，散射和反射將不斷增強，使得特定頻率范圍內的振動和彈性波無法傳播，從而形成Bragg帶隙。

如前文所述，周期波紋夾芯結構主要生成Bragg帶隙，而這種帶隙通常受到結構幾何參數的影響。接下來，將研究不同的幾何和材料參數以及夾芯類型對周期結構帶隙特性的影響。值得注意的是，在接下來的研究中，計算模型的材料和幾何參數與前文的諧響應分析時相同，除非另有說明。首先，探究不同厚度對帶隙特性的影響。在本次研究中，假定上下面板和芯層具有相同的厚度，并分別選取0.002，0.003和0.004 m。圖9給出了不同厚度下周期波紋板結構的頻率響應曲線。從圖9中可以觀察到，不同厚度的周期波紋結構的禁帶位置和諧振頻率變化明顯，隨著板厚的增加，周期夾芯結構的帶隙越來越明顯。因此，若要充分利用周期結構的帶隙特性以實現所需的隔振效果，結構的厚度是一個值得考慮的重要因素。

周期結構的帶隙特性不僅取決于其幾何參數，還受到材料特性的影響。為了探究不同材料對整體結構帶隙的影響，在本次研究中假定夾芯結構的上下面板采用鋼材，這是因為鋼材具有較高的強度和剛度，能夠提供足夠的支撐和保護，而芯層材料分別選取鋼材、鎂合金和鋁合金，其中，鎂合金的材料參數為E=45 GPa，ρ=1800 kg/m3，υ=0.35；鋁合金的材料參數為E=79 GPa，ρ=2800 kg/m3，υ=0.33，厚度均為0.003 m。圖10給出了不同芯層材料下周期結構的頻響曲線。通過對比，可以觀察到鋼材芯層具有最寬的帶隙。這意味著鋼材能夠更有效地限制波在結構中的傳播。相比之下，鎂合金芯層的帶隙相對較小，其限制波傳播的效果較差。鋁合金芯層的帶隙介于鎂合金和鋼材之間，因此芯層材料對周期結構的影響也是不可忽略的。

接下來探究結構阻尼對帶隙特性的影響。在周期波紋結構中，結構阻尼可以通過選擇不同的材料、調整結構設計等方式來實現。在此次計算中，采用復楊氏橫量來描述結構阻尼的影響，阻尼系數η分別設置為0、005和0.01。圖11展示了周期結構在不同結構阻尼水平下的頻響曲線。從中可以發現，結構阻尼并不會影響結構的禁帶數目和范圍，但隨著結構阻尼的增加，共振峰值會明顯降低。因此，在設計周期波紋板的面板和夾芯時，應根據實際應用情況，選擇適當的結構阻尼。

此外，胞元數目也是影響Bragg帶隙的重要因素。圖12展示了沿y_g方向不同胞元數目時周期結構的帶隙特性曲線。通過觀察可以發現，由于胞元的幾何和材料參數相同，不同胞元數目的周期結構具有相同的禁帶位置。然而，隨著胞元數目的增加，禁帶內的響應下降得更為顯著，這意味著禁帶中的波在結構中傳播更加困難。通常情況下，通過增加胞元數目可以增加周期結構的復雜性，并增強材料的非均勻性，從而擴大帶隙的范圍。然而，需要注意的是，胞元數目越多并不一定意味著帶隙越明顯，因為周期結構的帶隙特性還取決于結構的材料和幾何參數等其他因素。

芯層是波紋夾芯結構中不可或缺的一部分，它可以引入額外的振動模態并影響結構的帶隙特性。不同類型的夾芯會影響周期結構的頻率響應函數，并對帶隙特性產生不同的影響。例如，水平型連通的夾芯可以提高結構的剪切剛度，從而引入新的振動模態，并擴大帶隙范圍。在這種類型的夾芯中，上下面板通過夾芯角連接起來，形成類似于梁的結構，從而增強了結構的剪切剛度。相反，采用更柔軟的泡沫夾芯可以減小結構的剪切剛度，并降低結構的共振頻率，從而縮小帶隙寬度。因此，接下來將分析圖1中的三種不同形狀夾芯結構的帶隙特性，其中所有板和開口圓柱殼均采用前文所述的材料參數（鋼材），且三種類型的結構整體長度均為0.3 m×1.1312 m×0.0586 m，對于類型Ⅲ，芯層中板的長度L_y=0.0707 m。圖13展示了不同夾芯類型的周期波紋夾芯結構的帶隙特性，可以看出在0～2000 Hz范圍內，類型Ⅱ結構的帶隙特性最為顯著，這是因為類型Ⅱ結構具有更多的開口圓柱殼單元，增強了反射聲波或振動的能力，相比之下，類型Ⅰ和類型Ⅲ的帶隙特性不怎么明顯，究其原因是其殼體單元較少，間隔較大，使得聲波和振動容易穿透。

為了深入研究夾芯類型對結構帶隙特性的影響，本文還構建了一個由矩形板夾芯組成的三角形周期夾芯結構，如圖14所示。該結構的整體尺寸與前文研究中相同，即0.3 m×1.1312 m×0.0586 m，中間夾芯板的尺寸為0.3 m×0.1531 m，板與板之間的夾角為22.51°。圖15展示了三角形周期夾芯結構和前文建立的類型Ⅰ周期夾芯結構的頻率響應曲線。在計算過程中，仍然采用鋼材材料，并保持激勵力大小、激勵位置、響應位置以及約束條件與之前的研究相同。從圖15中可以觀察到，在給定的頻段內，類型Ⅰ波紋板具有更寬的禁帶，表明它能更有效地抑制振動。然而，三角形波紋板具有更簡單的結構和便于制造的優勢，因此在實際應用中，應根據具體需求和約束條件選擇適當的結構形式。

3 結 論

本文基于動剛度方法建立了由開口圓柱殼和矩形板組成的周期夾芯結構的通用解析模型。首先詳細推導了子結構動剛度矩陣，并闡述了耦合結構全局動剛度矩陣的組裝過程和外部載荷的處理方法。接著，基于建立的解析模型計算了三種類型的周期波紋夾芯結構的振動特性，并將計算結果與有限元仿真值進行比較。結果表明，所建立的解析模型能夠在較少自由度下獲得準確的計算結果。此外，還探究了周期結構幾何、材料參數以及夾芯類型對結構帶隙特性的影響。研究結果表明，增加結構的厚度有利于周期結構獲得更寬的帶隙，而增加胞元數目也會導致帶隙寬度的增加。此外，隨著夾芯類型的變化，帶隙寬度也會發生變化。結構阻尼對結構的禁帶數目和范圍沒有明顯影響，但隨著結構阻尼的增加，共振峰值會顯著降低。總之，這項研究為波紋夾芯結構的理論建模提供了思路和方法，為周期波紋夾芯結構的設計和優化提供了理論參考。

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第一作者： 李直兵（1996―），男，博士研究生。E-mail：zhibingli@hrbeu.edu.cn

通信作者： 靳國永（1980―），男，博士，教授。E-mail：guoyongjin@hrbeu.edu.cn

基金項目："國家自然科學基金資助項目（5225109，52241101，52271309）；黑龍江省優秀青年科學基金資助項目（YQ2022E104）