基于四元數分數階廣義拉蓋爾圖像矩的空間域零水印算法

摘" " 要：現有的基于空間域零水印算法缺乏圖像內容信息丟失檢測的能力，特別是當圖像遭受大面積裁切、隨機涂抹或圖像行列移除等攻擊，水印提取算法就會失效。為了提高零水印算法抵抗圖像遭受大面積裁切攻擊的魯棒性，提出一種基于四元數分數階廣義拉蓋爾圖像矩的空間域零水印算法。首先介紹分數階廣義拉蓋爾多項式，其次構建四元數分數階廣義拉蓋爾矩及不變量，最后設計彩色圖像零水印算法。實驗結果證明，所提出的零水印算法對常見的幾何變換攻擊具有一定的魯棒性，同時對于濾波、有損壓縮，特別是對圖像大尺度剪切攻擊具有較好的檢測能力。

關鍵詞：四元數；拉蓋爾多項式；零水印；魯棒性

中圖分類號：TP391" " " " 文獻標志碼：A" " " " "文章編號：1009-5128（2025）02-0087-08

信息化及人工智能時代，數字圖像數據很容易被盜用和篡改。因此，圖像內容的數字版權保護是保護作者知識產權的關鍵性問題。［1］數字水印被認為是一種重要的版權保護技術，通過在圖像中嵌入數字水印（或消息）來實現。水印嵌入宿主圖像中，同時還需具有不可見性及魯棒性。目前，在數字水印領域，許多學者和研究人員都專注于零水印的研究。［2–5］近年來，零水印技術解決了傳統水印技術的不可見性和魯棒性之間的矛盾，成為信息安全領域的研究熱點。溫泉等［6］于2003年首次提出零水印的概念，此后，零水印的研究受到越來越多學者的關注，許多相關的研究成果被應用于數字版權保護領域。

正交矩作為一種有效的圖像描述子，在圖像重建、數字圖像水印和目標識別等圖像處理和分析領域得到廣泛應用。［7–9］正交矩包括連續正交矩和離散正交矩，其中連續正交矩如澤尼克矩、正交傅里葉-梅林矩和貝塞爾-傅里葉矩；離散正交矩如克勞丘克矩、切比切夫矩和哈恩矩。由于圖像本身是數字化的，沒有數值近似操作，因此，與連續正交矩相比，離散正交矩具有更好的數值穩定性。在圖像處理和分析領域，彩色圖像能夠比灰度和二值圖像包含更多的信息。基于四元數代數的彩色圖像表示方法將圖像視為描述彩色圖像各個分量的三維向量，可有效利用彩色圖像不同通道的顏色信息。［10］因此，對于彩色圖像，可以使用四元數代數來構造四元數圖像矩。研究人員通過現有的正交多項式構造出許多四元數圖像矩，如四元數極諧-傅里葉矩（QPHFMs）、四元數指數傅里葉矩（QEFM）、四元數澤尼克矩（QZMs）等。為了對圖像進行更加穩定和準確的描述，相關學者將整數階圖像矩擴展到分數階，并提出相關的分數階正交矩，如分數階切比雪夫矩（Fr-CMs）、分數階正交傅里葉-梅林矩（Fr-OFFMs）、分數階澤尼克矩（Fr-ZMs）和分數階通用雅可比傅里葉矩等。

本文基于四元數分數階廣義拉蓋爾矩（QFr-GLOP）和Radon變換旋轉角度檢測算法提出一種新的零水印方案，并將其應用于彩色圖像的數字版權保護之中。利用QFr-GLOP具有局部特征提取的特性來抵抗圖像傳輸過程中所遭受的大規模裁切和涂抹攻擊。另外，由于引入四元數方法，相比基于灰度和單通道的零水印方案，本文所提出的零水印方案在抵抗幾何和傳統圖像處理攻擊方面的性能更優。

1" "四元數分數階廣義拉蓋爾矩及不變量

1.1" "廣義拉蓋爾正交多項式

廣義拉蓋爾正交函數或多項式（簡稱GLOP）可表示為[L（α）n]（[x]）。當[αgt;-1]時，在區間［0，[+∞]）上滿足以下正交關系

[0+∞exp] （[-x]）[xαL（α）n]（[x]）[L（α）m]（[x]）[dx=Γ（n+α+1）n！δnm]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " （1）

設[w（α）]（[x]）[=exp]（[-x]）[xα]為加權函數，[Γ（n+α+1）n！=γ（α）n]為加權歸一化系數，[Γ（·）]為伽馬函數，則上述方程可修改為

[0+∞w（α）]（[x]）[L（α）n]（[x]）[L（α）m] （[x]）[dx=γ（α）nδnm]" 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （2）

其中：[δnm]是Kronecker函數；[L（α）n]（[x]）可以表示為

[L（α）n]（[x]）[=（α+1）nn！1 F1]（[-n]，[α+1]；[x]）。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（3）

其中：（[α]）[k=α] [（a+1）]" [（a+2）][ …（a+k-1）]是Pochhammer函數；[1F1]（[-n]，[α+1]；[x]）是一個超幾何函數，可以表示為

[1F1]（[a]，[b]；[z]）[=1+abz+a（a+1）z2b（b+1）2！+…=k=0∞（a）k（b）kzkk！]" 。" " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

結合式（3）和（4），GLOP被重新定義為

[L（α）n]（[x]）[=][k=0n（-1）" k（n+α）！（n-k）！（k+α）k！xk]" 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " （5）

為了便于計算，GLOP可以通過以下遞歸算法實現

[nL（α）n]（[x]）[=]［2（[n-1]）[+α+1][-][x]］[L（α）n-1]（[x]）[-]（[n-1+α]）[L（α）n-2]（[x]）。" " " " " " " " " " " "（6）

GLOP初始化的前兩個多項式分別是[L（α）0]（[x]）[=1]和[L（α）1]（[x]）[=1+α-x]。

1.2" "分數階廣義拉蓋爾正交多項式

分數階廣義拉蓋爾正交多項式（Fr-GLOP）可表示為

[L（α，λ）n]（[x]）[=L（α）n]（[xλ]）" 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（7）

其中：[λgt;0，x∈]［0，[+][∞]），Fr-GLOP在［0，[+][∞]）上滿足以下正交性

[0+∞w（α，λ）]（[x]） [L（α，λ）n] （[x]）[L（α，λ）m] （[x]）[dx=γ（α，λ）nδnm]" 。" " " " " " " " " " " " " " " " （8）

其中：[w（α，λ）]（[x]）[=λx（α+1）λ-1exp]（[-xλ]），[γn（α，λ）=Γ（n+α+1）n！]。

根據二項式展開形式，Fr-GLOP可表示為

[L（α，λ）n] （[x]）[=nψnixλi]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（9）

其中：[ψni=]（[-1]）[i] [Γ（n+α+1）Γ（i+α+1）" " " " " " " " " " " ]。

Fr-GLOP也可以通過以下遞歸方法實現：

[nL（α，λ）n]（[x]）[=]［2（[n-1]）[+α+1-xλ]］[L（α）n-1]（[x]）[-]（[n-1+α]）[L（α，λ）n-2]（[x]）。" " " " " " " " " " " "（10）

其中：[L（α，λ）0]（[x]）=1，[L（α）1]（[x]）=1+[α-][xλ]。

為了提高多項式在實際應用中的穩定性，通常使用歸一化多項式來代替常規多項式。因此，歸一化分數階廣義拉蓋爾正交多項式定義如下

[L（α，λ）n] （[x]）=[L（α，λ）n]（[x]）[w（α，λ）（x）γ（α，λ）n] 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （11）

歸一化分數階廣義拉蓋爾正交多項式在區間［0，+[∞]）上滿足以下正交關系

[0+∞L（α，λ）n]（[x]）[L（α，λ）m]（[x]）[dx=δnm]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （12）

考慮到計算復雜性和數值穩定性，歸一化分數階廣義拉蓋爾正交多項式的計算過程可以通過以下遞歸算法實現

[L（α，λ）n] （[x]）[=]（[AO+A1xλ]）[L（α，λ）n-1]（[x]）[+A2L（α，λ）n-2]（[x]） 。" " " " " " " " " " " " " " " " " "（13）

其中：[L（α，λ）0]（[x]）[=][w（α，λ） （x）Γ（α+1）]，[L（α，λ）1]（[x]）=（[1+α-xλ]）[w（α，λ）（x）Γ（α+2）]；[AO=2n+α-1n（n+α）] ， [A1=-1n（n+α）]，[A2=-（n+α-1）（n-1）n（n+α）] 。

1.3" "加權徑向歸一化分數階廣義拉蓋爾正交多項式

加權徑向歸一化分數階廣義拉蓋爾正交多項式具體形式為

[L（α，λ）n] （[r]）[=1rL（α，λ）n] （[r]） 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（14）

加權徑向歸一化分數階廣義拉蓋爾正交多項式在區間［0，+∞）和極坐標空間中滿足以下正交性關系

[0+∞L（α，λ）n]（[r]） [L（α，λ）m] （[r]）[rdr=δnm] 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （15）

1.4" "四元數分數階廣義正交拉蓋爾矩

笛卡爾坐標系中灰度圖像的分數階廣義拉蓋爾正交矩可以定義為

[FrS （α，λ）nm=wN-1N-1fg]（[i，j]）[L（αx，λx）n] （[xi]） [L（αy，λy）m]（[yj]）。" " " " " " " " " " " " " " " " "（16）

其中：[fg]（[i]，[j]）表示二維數字圖像。

為了便于計算，可以將原始二維圖像數字矩陣映射到［0，[L]］[×]［0，[L]］的正方形區域。在這里， [Lgt;0]，

[w=（L∕N） 2]，[xi=iLN]，[yi=jLN]，" [i，j=0]，1，2，…，[N-1]。

根據四元數理論，可以在RGB顏色模型空間中使用純四元數代數表示彩色圖像，如

[f（rgb）]（[x，y]）[=fr]（[x，y]）[i+][fg]（[x，y]）[j+fb]（[x，y]）[k]，" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（17）

則笛卡爾坐標系中RGB彩色圖像的右側四元數分數階廣義拉蓋爾正交矩（QFr-GLOM）定義如下：

[QFrS （α，λ）nm=wi=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m]（[yj]）[frgb]（[i，j]）[μ]

[=13wi=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m]（[yj]）（[ifr+jfg+kfb]）（[i+j+k]）

[=-13wi=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m]（[yj]）（[fr+fg+fb]）[+13k]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m]（[yj]）（[fr-fg]）］[+]

[13j]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m]（[yj]）（[fb-fr]）］[+13i]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m]（[yj]）（[fg-fb]）］。" " "（18）

其中：[μ]是單位純四元數。表示的四元數分數階廣義拉蓋爾正交矩與對應于傳統RGB彩色圖像單通道的分數階廣義拉蓋爾正交矩之間的關系如下：

[QFrS（α，λ）nm=A+iB+jC+kD]" "。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（19）

其中：[A=-13]［[FrS（α，λ）nm]（[fr]）[+FrS（α，λ）nm]（[fg]）+[FrS（α，λ）nm]（[fb]）］，[B=13]［[FrS（α，λ）nm]（[fg]）[-FrS（α，λ）nm]（[fb]）］，

[C=13]［[FrS（α，λ）nm]（[fb]）[-FrS（α，λ）nm]（[fr]）］，[D=13]［[FrS（α，λ）nm]（[fr]）[-FrS（α，λ）nm]（[fg]）］ 。

因此，彩色數字圖像也可以用有限階四元數分數階廣義拉蓋爾正交矩重建。具體重建為

[frgb]（[i，j]）[=wi=0N-1j=0N-1QFrS（α，λ）nmL（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy λy）m]（[yj]）[μ]

[=13wi=0N-1j=0N-1（A+iB+jC+kD）][L（αx ，λx）n（xi） L（αy，λy）m]（[yj]）（[i+j+k]）

[=-13]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m] （[yj]）（[B+C+D]）］ [+]

[13k]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m] （[yj]）（[A+B-C]）］ [+]

[13j]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx，λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m] （[yj]）（[A-B+D]）］ [+]

[13i]［[w][i=0N-1j=0N-1L（αx， λx）n]（[xi]）[L（αy，λy）m] （[yj]）（[A+C-D]）］ 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （20）

2" "幾何不變量預處理框架

由于在不同坐標系中構造的正交矩不變量由不同的算法實現，我們假設原始正交矩（而不是不變矩）作為所提出的零水印系統中圖像特征的描述子。為了公平比較并正確評估不同正交矩的圖像描述能力，我們設計一個統一的幾何不變量預處理框架，該框架可處理不同坐標空間中構建的圖像矩。在此框架中，幾何變形通過以下方法統一處理：

（1）旋轉引起的幾何變形由RTDO（Radon變換檢測方法）來校正旋轉角度，然后計算圖像矩。

（2）通過計算幾何矩、在圖像質心處設置坐標系原點以及計算圖像矩來校正平移引起的幾何失真。

（3）通過對圖像進行尺度歸一化，然后提取矩特征來校正由尺度引起的幾何變形。

3" "零水印注冊及檢測算法設計

3.1" "零水印注冊算法設計

算法通過以下步驟進行：

步驟1：將需要版權保護的原始彩色宿主圖像分成W×W塊。為了保持圖像的細節并降低數字水印中的虛警率，圖像中分割的塊圖像的大小不應太小。根據經驗，塊圖像的大小應超過原始圖像大小的1/9。在本文中，彩色宿主圖像[I（RGB）M×N]的大小為192×192。因此，將原始圖像分成3×3塊，并將分割的圖像標記為[B（RGB）k]。

步驟2：提取每個塊圖像對應的彩色主圖像的局部特征參數（即[αx，][ αy，][ λx，] [λy]和[L]），并將其設置為關鍵字符序列[keyi=αix，] [αiy，] [λix，] [λiy，] [Li]，[i=]1，2，…，9，然后提取所提出的QFr-GLOM的多個低階矩作為特征向量[V（RGB）k]，[k=]1，2，…，9。這里設置[V（RGB）k=]｛[v（1）nm，v（2）nm，…，v（k）nm，k=9]｝，此特征向量在證書頒發機構中心（CA中心，第三方版權保護中心）注冊。

步驟3：上述信息帶有時間戳，并與用戶的簽名信息一起在CA中心注冊。此時，原始彩色主機圖像被宣布受到版權保護。

3.2" "零水印檢測算法設計

水印的正確檢測或提取是數字水印系統設計中的關鍵問題。現有的傳統水印檢測系統在通過信號處理操作（例如主圖像的強裁切或涂抹）丟失之后不能正確地提取或檢測水印。因此，本文提出一種有效抵抗信息丟失和幾何攻擊的水印檢測方案。實現步驟如下：

步驟1：如果版權認證的宿主彩色圖像受到旋轉變換的攻擊，則通過Radon變換檢測方法校正旋轉角度，并執行下一操作。否則，直接執行步驟2。

步驟2：完成彩色主機圖像的縮放標準化。縮放歸一化通常通過以下兩種方法之一來執行：（1）將彩色圖像映射到笛卡爾坐標系中的正方形區域，（2）在執行插值操作的同時將彩色圖像的大小縮放為固定大小的模板。在本文中，圖像通過第二種方法進行歸一化：讓彩色圖像[f（RGB）]（[x]，[y]）成為縮放操作之后的目標圖像。通過[f（RGB）（x，y）=As]［[f（RGB）]（[x]，[y]）］獲得[f（RGB）]（[x]，[y]），其中[f（RGB）]（[x]，[y]）是縮放圖像，[As]是變換矩陣

[As=]［[μ00v]］ 。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（21）

在此矩陣中，參數[μ]和[v]分別表示圖像矩陣中行和列的縮放因子。圖像處理或模式識別也需要插值操作，不同的插值方法會影響縮放圖像的視覺質量。基于MATLAB的仿真環境，在[μ≥0.5，v≤1]時采用雙線性插值，在[μ≥0，] [v≤0.5]或[μ，] [v≥2]時采用雙三次插值。

步驟3：此步驟執行平移。首先，從彩色圖像[f（RGB）]（[x]，[y]）計算幾何矩[M（RGB）" pq]（[x]，[y]），這些矩指定圖像重心的坐標位置：[xa=x-M（RGB）10M（RGB）00，ya=y-M（RGB）01M（RGB）00]。其次，將圖像[f（RGB）]（[x]，[y]）轉換為[f（RGB）]（[xa]，[ya]）。最后，獲得中心化彩色圖像。

步驟4：在處理旋轉、縮放和平移步驟之后，通過水印注冊方案中的步驟1和2處理彩色圖像，從而獲得新的特征向量[V（RGB）k，] [k=1，] [2]，[…，] [9]。

步驟5：從CA中心提取特征向量[V（RGB）k]，并將在前一步驟中獲得的特征向量[V（RGB）k]與在零水印算法的注冊階段獲得的特征向量[V（RGB）k]之間的絕對差相加。總額計算如下：

[d=min]｛[1cnt2n=1cntm=1cnt]│[v（k）nm-v（k）nm]│｝。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（22）

在本實驗中，[cnt=10]和[k=1，] [2]，[…，] [9]。當[d≥ε]（其中[ε]是經驗閾值，在當前實驗中設置為0.02）且時間戳與CA中心提供的信息不匹配時，驗證完成，證明水印不存在；否則證明彩色宿主圖像包含水印信息。

4" "仿真實驗及結果分析

為了驗證所提出的QFr-GLOM的零水印算法的有效性，從COIL-100數據庫中選擇“cat”彩色圖像作為原始圖像，并將其大小歸一化為192[×]192。大小歸一化圖像被作為宿主圖像（如圖1所示）并給出了兩組實驗結果及分析。第一組實驗研究本文提出的算法對各種信號處理和幾何攻擊的魯棒性。第二組實驗檢驗所提出的零水印算法在強裁切和隨機涂抹圖像上的性能，并可視化了cat宿主彩色圖像上不同裁剪和涂抹比例的結果。通過PSNR測量原始彩色宿主圖像和攻擊彩色圖像之間的相似度，并且通過式（22）判斷檢測到的特征向量[V（RGB）k]和CA中心中的特征向量之間的相似度。顯然，越接近0，零水印方案魯棒性越強。

實驗1：在網絡傳輸過程中，圖像極易受到噪聲干擾。在該實驗中，原始彩色宿主圖像在方差為0.02的高斯白噪聲、密度為5%的椒鹽噪聲和方差為0.04的斑點噪聲的攻擊下進行了測試。由于噪聲干擾通常通過濾波操作來消除，濾波是圖像處理和模式識別中另一個經常遇到的攻擊。在實驗中，用一個窗口對原始彩色宿主圖像進行中值和平均濾波。此外，計算機視覺或信號處理中的圖像經常通過模糊和JPEG壓縮來處理。圖像模糊導致部分塊失真，JPEG壓縮導致像素丟失。在這個實驗中，在Matlab 2023a軟件環境中，高斯模糊參數被設置為默認值，JPEG壓縮比被設置為60。

表1比較了所提出的零水印方案和其他方案（基于直接灰度的方法和基于單信道的方法）的結果，所提出的算法具有較強的魯棒性，并且優于已有的兩種方案。彩色宿主圖像上最常見的幾何攻擊是旋轉、縮放和平移。這些攻擊改變了圖像中的像素位置，增加了水印檢測的難度。在抗旋轉實驗中，將宿主彩色圖像旋轉30°，45°和180°。在抗縮放實驗中，縮放參數變化為0.8，1.1，1.5和2.0。轉換參數如表2所示。在某些情況下，彩色宿主圖像受到組合幾何攻擊，例如旋轉+縮放、旋轉+平移、縮放+平移和旋轉+縮放+平移攻擊，彩色宿主圖像經受組合幾何攻擊的結果如表2所示。將本文的算法和現有方案的實驗數據進行比較，可以發現所提出的方案總體性能優于其他方法。

實驗2：裁切或涂抹攻擊是數字水印中最困難的問題。盡管現有的數字水印算法對小規模裁切和涂抹操作具有魯棒性，但大多數算法在大規模裁切或涂抹操作下都會失敗。在這個實驗中，彩色宿主圖像在圖像的不同區域以不同的比例（25%，70%，68%，82%，）進行裁切，也以16%，74%和86%的比例隨機涂抹。表3顯示了裁切的圖像及其實驗結果。結果表明：本文所提出的基于QFr-GLOM的方案能夠有效地檢測到水印，即使在裁切了82%的圖像上也是如此。因此，所提出的方案適用于裁切或涂抹圖像的真實圖像版權保護。

5" "結語

本文提出了一種針對彩色圖像版權保護的優化空間域零水印方案，該方案依托QFr-GLOM圖像矩技術，對傳統圖像處理操作具有高度的魯棒性，具體包括噪聲干擾、平滑濾波攻擊，特別是大規模裁切與涂抹攻擊等，從而在彩色圖像版權保護領域展現出重要的實際應用價值。對于未來的研究方向，將專注于探索與彩色圖像緊密相關的其他領域，涵蓋圖像檢索、圖像分類、圖像匹配及其他相關科研范疇。

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【責任編輯" " 牛懷崗】

On Spatial Domain Zero Watermarking Algorithm Based on Quaternion Fractional-Order Generalized Laguerre Image Moments

WANG Jing， JIA Xiaoqiang

（School of Computer Science and Technology， Weinan Normal University， Weinan 714099， China）

Abstract：The existing spatial domain zero-watermarking algorithms lack the capability to detect loss of image content information， especially when images suffer from large-scale cropping， random scribbling， or row and column removal attacks， it can cause the watermark extraction algorithm to fail. To enhance the robustness of zero-watermarking algorithms against large-scale cropping attacks on images， this paper proposes a spatial domain zero-watermarking algorithm based on quaternion fractional-order generalized Laguerre image moments. Firstly， the paper introduces fractional-order generalized Laguerre polynomials； secondly， it constructs quaternion fractional-order generalized Laguerre moments and invariants based on these polynomials； finally， it designs a color image zero-watermarking algorithm based on the constructed invariants. Experimental results demonstrate that the proposed zero-watermarking algorithm has a certain level of robustness against common geometric transformation attacks and exhibits good detection capabilities for filtering， lossy compression， and particularly for large-scale image cropping attacks.

Key words：Quaternion； Laguerre polynomial； zero watermark； Robustness

基金項目：陜西省體育局資助項目：智能圖像處理及數字版權保護在競技體育中的應用研究（20240371）；渭南師范學院科學研究計劃人才項目：分數階正交圖像矩及其在圖像檢測中的關鍵技術研究（2021RC19）；渭南師范學院科學研究計劃人才項目：基于超復數分數階矩的魯棒性數字圖像零水印算法研究（2023RC01）

作者簡介：王晶，女，山東德州人，渭南師范學院計算機學院講師，信息學博士，主要從事數字版權保護、圖像水印、人工智能教育研究。