基于模型縮聚理論的車橋耦合振動(dòng)分析方法

摘要 文章首先提出了基于模型縮聚理論的車橋耦合振動(dòng)分析方法，然后利用Matlab編制了計(jì)算程序，最后通過(guò)算例對(duì)分析方法和計(jì)算程序進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明，基于模型縮聚的車橋耦合分析方法可以保證計(jì)算精度，提升計(jì)算效率，提出的方法和編制的程序可應(yīng)用于大型、復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)的車橋耦合計(jì)算分析。

關(guān)鍵詞 車橋耦合振動(dòng)；模型縮聚；Matlab程序；對(duì)比驗(yàn)證

中圖分類號(hào) U441.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 2096-8949（2025）02-0010-03

0 引言

隨著橋梁技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，傳統(tǒng)的分析方法給有限元模型的建立和車橋耦合動(dòng)力學(xué)方程的求解計(jì)算都帶來(lái)了挑戰(zhàn)。模型縮聚可以縮減矩陣的階數(shù)，廣泛應(yīng)用于航天器、船舶和其他結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析[1-3]。該文將模型縮聚技術(shù)應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)中，建立了基于模型縮聚的車橋耦合動(dòng)力學(xué)方程，基于Matlab編制了計(jì)算程序，通過(guò)一個(gè)算例對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度、計(jì)算效率進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，該文提出的基于模型縮聚的車橋耦合分析方法及程序計(jì)算結(jié)果可信，計(jì)算效率優(yōu)于傳統(tǒng)方法，可應(yīng)用于復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)的車橋耦合動(dòng)力分析。

1 基于模型縮聚理論的車橋耦合分析方法

綜合考慮結(jié)構(gòu)實(shí)際受力及變形規(guī)律等主要因素，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的力學(xué)簡(jiǎn)化，再通過(guò)有限元離散化建模，得到結(jié)構(gòu)的有限元分析模型，其動(dòng)力學(xué)方程可表示如下：

式中，——質(zhì)量矩陣；——阻尼矩陣；——?jiǎng)偠染仃嚕弧?jié)點(diǎn)自由度的位移；——節(jié)點(diǎn)自由度的速度；——節(jié)點(diǎn)自由度的加速度列陣；——節(jié)點(diǎn)自由度荷載列陣。

將結(jié)構(gòu)離散化的節(jié)點(diǎn)自由度分成兩類：一類為外部主自由度，用下標(biāo)表示，外部主自由度的位移、速度和加速度分別表示為、和；另外一類為內(nèi)部自由度，用下標(biāo)表示，其自由度位移、速度和加速度分別表示為、和。自由度分類后，對(duì)特征矩陣進(jìn)行分塊，則式（1）可以表示如下：

模型縮聚理論的核心思想是在離散化結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)自由度位移中，選擇使用其中的少部分自由度位移代替所有的自由度位移，轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

式中，——節(jié)點(diǎn)自由度的轉(zhuǎn)換矩陣。

常用的模型縮聚方法有模態(tài)疊加法、靜力縮聚（GMS），IRS（Improved Reduced System）動(dòng)力縮聚和固定界面模態(tài)綜合法縮聚（后文簡(jiǎn)稱CMS縮聚）。不同的模型縮聚方法，其轉(zhuǎn)換矩陣的表達(dá)式不同。靜力縮聚轉(zhuǎn)換矩陣、IRS動(dòng)力縮聚轉(zhuǎn)換矩陣和CMS縮聚轉(zhuǎn)換矩陣的計(jì)算表達(dá)式分別如下[4-6]：

針對(duì)模塊化拼組的橋梁結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)拼組特點(diǎn)，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)先進(jìn)行拆分，再進(jìn)行縮聚，將模塊化的橋梁分段作為低一級(jí)的子結(jié)構(gòu)，建立各模塊的有限元模型。橋梁結(jié)構(gòu)第個(gè)模塊子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程表示如下：

式中，上標(biāo)——第個(gè)模塊的動(dòng)力學(xué)方程。

對(duì)橋梁子結(jié)構(gòu)進(jìn)行縮聚，其第個(gè)模塊的縮減動(dòng)力學(xué)方程為如下：

引入各模塊子結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系，由各模塊子結(jié)構(gòu)縮減矩陣裝配可得到橋梁系統(tǒng)的縮減動(dòng)力學(xué)方程式，其表達(dá)式如下：

車輛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示如下：

對(duì)于模型縮聚橋梁動(dòng)力學(xué)方程，在處理車橋耦合振動(dòng)方程時(shí)，采用的方法同常規(guī)方法一樣；在時(shí)域內(nèi)求解時(shí)，同樣可以采用整體法和分離法耦合車橋系統(tǒng)的振動(dòng)方程。采用分離法求解時(shí)，在時(shí)刻車輛行駛到橋梁橋面某位置處，假定某車輪位置處的豎向位移為，車輛車輪中心節(jié)點(diǎn)的豎向位移為，路面不平整度為，則車輪中心和路面的位移差表示如下：

該車輪受到的力為，則有：

式中，——車輪的剛度；——車輪的阻尼。

若該車輪處橋梁受到的力為，根據(jù)牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律，有：

由式（11）、式（12）和式（13），可以計(jì)算得到時(shí)刻的車橋耦合作用力，結(jié)合該時(shí)刻的其他外力，可

設(shè)定計(jì)算收斂誤差為，若，則時(shí)刻內(nèi)的計(jì)算結(jié)束；若不滿足，則令，再求解動(dòng)力學(xué)方程式（9）和式（10），直到符合誤差要求為止。

2 算例對(duì)比分析

論文以車輛通過(guò)簡(jiǎn)支板橋?yàn)槔捎肕atlab編制計(jì)算程序，對(duì)該文提出的計(jì)算方法和編制的程序進(jìn)行驗(yàn)證。圖1所示為空間雙軸車輛模型，其詳細(xì)參數(shù)值如表1所示，整車自由度為。

橋梁采用簡(jiǎn)單的空間板橋，其參數(shù)如下：橋長(zhǎng)16 m，寬5.4 m，高0.25 m，彈性模量為2×1011 N/m2，密度為3 500 kg/m3。

圖2為該文程序基于不同縮聚矩陣求解的跨中位移計(jì)算結(jié)果與常規(guī)矩陣計(jì)算結(jié)果的對(duì)比曲線。由圖2可知，除IRS縮聚外，兩種方法下的其他計(jì)算結(jié)果與常規(guī)矩陣完全相同。

表2所示為程序采用不同的計(jì)算方法在同一計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間匯總表，由表2可知，不同求解矩陣的求解速度比較結(jié)果如下：靜力縮聚＞IRS縮聚＞CMS縮聚＞原始矩陣。無(wú)論哪種車橋耦合求解方法，都需要求解車輛通過(guò)橋梁的每一個(gè)時(shí)間步下的動(dòng)力學(xué)方程，縮聚矩陣大幅降低了動(dòng)力學(xué)方程的維度，使得求解更加快捷，這點(diǎn)在需要迭代求解的動(dòng)力學(xué)方程的分離法中表現(xiàn)得非常明顯。不同縮聚方法的耗時(shí)不同，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一是求解轉(zhuǎn)換矩陣的耗時(shí)不同，靜力縮聚轉(zhuǎn)換矩陣最簡(jiǎn)單，CMS縮聚轉(zhuǎn)換矩陣求解最難；第二是求解維數(shù)，CMS縮聚由于增加了附加模態(tài)，其動(dòng)力學(xué)維數(shù)大于其他兩種方法。因此，三種方法中的求解時(shí)間，靜力縮聚最快，而CMS縮聚則最慢。

3 總結(jié)

該文編制了基于靜力縮聚、IRS縮聚和CMS縮聚理論的車橋耦合分析程序，并通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)支板橋算例進(jìn)行了對(duì)比研究，得出以下結(jié)論：

（1）采用不同的計(jì)算方法，對(duì)空間自由度雙軸車輛模型通過(guò)空間板橋的過(guò)程進(jìn)行了車橋耦合分析，計(jì)算結(jié)果表明：靜力縮聚矩陣、CMS縮聚矩陣的計(jì)算結(jié)果和原始矩陣計(jì)算結(jié)果接近，而IRS縮聚矩陣的計(jì)算結(jié)果偏小。

（2）對(duì)比了不同計(jì)算方法的耗時(shí)，對(duì)于原始矩陣，分離法耗時(shí)最長(zhǎng)，整體法耗時(shí)最短；對(duì)于同一車橋耦合處理方法，CMS縮聚方法的耗時(shí)大于IRS縮聚方法，而靜力縮聚方法耗時(shí)最短。

該文基于模型縮聚車橋耦合分析方法的Matlab程序計(jì)算結(jié)果可信，與傳統(tǒng)方法相比，計(jì)算速度快、效率高，可應(yīng)用于大型、復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)的車橋耦合計(jì)算分析，相關(guān)方法和程序也可拓展應(yīng)用于其他大型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析。

參考文獻(xiàn)

[1]沈海鵬，陳徐均，黃恒，等.基于多重靜態(tài)子結(jié)構(gòu)的浮橋接頭受力分析[J].港工技術(shù)， 2019（5）：31-38.

[2]李播博，袁惠群，王光定，等.基于子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的重型牽引車優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2019（4）：531-536+542.

[3]陳兆林，楊智春，王用巖，等.基于能量有限元法和虛擬模態(tài)綜合法的高頻沖擊響應(yīng)分析方法[J].航空學(xué)報(bào)， 2018（8）：182-191.

[4]GuyanRJ. Reduction of Stiffness and Mass martics [J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal， 1965（2）：380.

[5]Irons B M. Structural Eigenvalue Problems-elimination of Unwanted Variables[J].American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal， 1965（5）：961-962.

[6]劉明杰.固定界面模態(tài)綜合法的動(dòng)力學(xué)原理[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)， 1985（6）：189-192.