依據定義轉化 依循角度簡化

摘 要：文章從高考真題入手，引導學生利用拋物線定義進行轉化，從傾斜角切入解決拋物線的焦點弦問題，進而簡化運算.

關鍵詞：拋物線焦點弦；幾何特征；角度

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）01-0068-03

收稿日期：2024-10-05

作者簡介：高小娟，本科，一級教師，從事中學數學教學研究.

拋物線中焦點弦問題歷來是高考的重點和熱點.學生在遇到拋物線焦點弦問題時，一般的求解思路是先設焦點弦所在的直線方程，與拋物線方程聯立，然后借助韋達定理求解.這種解法思路簡單，但計算煩瑣，費時費力.關注到拋物線中定義唯一且明了，這給焦點弦問題的解決帶來了多姿多彩的解法.本文從課堂教學設計的四個環節展開，通過高考真題感知焦點弦問題，探究解決焦點弦問題的策略，引導學生利用拋物線定義進行轉化，從傾斜角切入解決拋物線的焦點弦問題.

1 教學設計

1.1 創境導學，感知拋物線焦點弦背景例1 （2020年新高考Ⅰ卷13題）斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則|AB|=______.

思路1 求出直線方程，與拋物線方程聯立，得到兩交點坐標，或者韋達定理，進而求出弦長|AB|.

思路2 幾何法.斜率是代數量，其對應的傾斜角是幾何量，關注到斜率為3，對應的傾斜角是特殊角，借助角這個幾何量來分析圖形中的數量關系，也可得出弦長.這種解法關鍵要用拋物線定義進行轉化，抓住直角梯形，減少計算量.

對比以上思路，幾何法更優，計算更簡便.因此，挖掘圖形的幾何特征，可以簡化計算，體現“多思少算”的思想.

設計意圖 引領學生通過問題思考解決問題的方法，對比代數法和幾何法，凸顯幾何法的優越.

母題溯源 （《選擇性必修第一冊》135頁）斜率為1的直線過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，求線段AB的長.

本題中，書本著重展示數形結合的方法，注重拋物線定義的應用，簡化問題.其實很多高考題都是源自課本習題的改編，因此在復習的時候我們要關注課本的習題，如《選擇性必修第一冊》138頁復習鞏固第5題：

如圖1，M是拋物線y2=4x上的一點，F是拋物線的焦點，以Fx為始邊，FM為終邊的∠xFM=60°，求|FM|.

如圖1，過點M作MN⊥準線，垂足為點N，則

|MN|=|MF|.

過點F作FE⊥MN交MN于點E，在

Rt△FME中，

因為|ME|=|MN|-|EN|=|MF|-2，

所以cos∠EMF=cos60°=|ME||MF|=|MF|-2|MF|=12.

因此|FM|=4.

可見過焦點的弦，只要再確定傾斜角，那么直線即可確定.對應的焦點弦長、焦半徑也都隨之確定，因此在拋物線的焦點弦問題中，角這個幾何量起到至關重要的作用，只要研究分析透“角”這個條件，那么很多問題都將迎刃而解.

設計意圖 引領學生

挖掘圖形幾何特征，構造∠xFM的直角三角形，結合拋物線定義，得到一般拋物線的焦半徑公式，使得問題得以快速解決.

1.2 數學探究，抽象拋物線焦點弦特征

根據以上的分析，讓我們感知到拋物線的焦點弦問題，可以從幾何角度進行分析，依據定義轉化.

例2 過拋物線y2=2px（pgt;0）的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若|FA|=3|FB|，則直線l的傾斜角等于______.

問題1 基于A，B兩點在拋物線上，如何進行轉化？

預設 可以利用拋物線的定義實現一次轉化，構造直角梯形.

問題2 基于條件|FA|=3|FB|，借助圖形中的直角梯形，如何尋找傾斜角的幾何關系？

預設 可以過點B作AA′的垂線，構造一個直角三角形，實現第二次轉化，借助直角三角形的邊角關系求出傾斜角.

解析 如圖2所示，由拋物線y2=2px（pgt;0）的焦點為F，準線方程為x=-p2，分別過點A，B作準線的垂線，垂足為點A′，B′，則|AA′|=|AF|，

|BB′|=|BF|.

由|FA|=3|FB|，過點B作AA′的垂線，垂足為點M，

所以|AM|=|AA′|-|BB′|=|AF|-|BF|=2|BF|，|AB|=|AF|+|BF|=4|BF|.

所以∠ABM=30°.

即直線l的傾斜角等于∠AFx=60°.

同理可得直線l的傾斜角為鈍角時即為120°.

設計意圖 引領學生利用拋物線定義實現第一次轉化；充分挖掘圖形幾何特征，基于條件構造直角三角形，實現第二次轉化，使得問題得以解決.

例3 如圖3，過拋物線y2=2px（pgt;0）焦點的直線l依次交拋物線及其準線于點A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則拋物線的方程是______.

思路分析 基于A，B兩點在拋物線上，可以借助拋物線的定義進行一次轉化，得到特征梯形，則|BD|=|BF|，|AE|=|AF|.

基于圖形特征，以及條件|AF|=3，尋找與p有關的等式：過點F作AE的垂線，構造Rt△AFM，結合平面幾何知識求解，由△CBD∽△FAM，則|BD||BC|=|AM||AF|.即12=3-P3.所以p=32.

設計意圖 引領學生

充分運用拋物線的定義，將問題轉化，進而挖掘圖形幾何特征，抽象幾何性質，最終快速、準確地解決問題.

1.3 數學體悟，概括拋物線焦點弦問題要義

焦點弦問題的解題策略：拋物線的焦點弦問題的關鍵點在于依據定義進行轉化，解析幾何問題的根本又在于圖形，因此需要探尋圖形特征，實現簡化.如何尋找拋物線焦點弦問題中的圖形特征呢？應把握兩個“基于”

實現問題的轉化：基于拋物線的定義，將焦半徑轉化為點到準線的距離，構造特征梯形；基于角度，用幾何眼光觀察，根據題目條件或者問題，尋找傾斜角或其等角所在的三角形，結合平面幾何知識將問題轉化.

1.4 數學應用，深化拋物線焦點弦問題理解

例4 已知拋物線C的焦點為F，準線為l，點P在C上，PQ垂直l于點Q，直線QF與C相交于M，N兩點.若M為QF的三等分點，則（" ）.

A.cos∠PQM=12

B.sin∠QPM=277

C.NF=QFD.PN=3PQ

思路分析 本題是過焦點的弦問題，利用上述總結的解題策略，充分挖掘幾何特征.利用拋物線定義進行轉化，抓住“角”這個幾何量，結合平面幾何的知識加以解決.

設計意圖 基于直觀想象和數學抽象，從題設的條件出發，利用定義進行轉化，充分挖掘圖形的幾何特征，建立形與數的聯系，將問題求解，這是本題的價值所在.

2 教學思考

章建躍提出：數學教學的基本要點應是以數學知識的教學為載體開啟學生的智慧大門，引發學生實質性的數學思維，促進學生的全面發展，所以數學課堂中應有更多的探究和理解，更少的簡單記憶和機械模仿［1］.作為一線教師，如何有效地實施探究式教學，如何引導學生有效學習做到學有所得，是值得我們思考的.

（1）筆者認為要充分挖掘課本內容，吃透課本.高考題很多都是源自課本而又高于課本.在復習的時候有意地回歸課本，充分利用課本例題、習題，并在此基礎上進行加工變式，多題一解，為解決某一類問題打下扎實的基礎，有利于學生形成知識體系，逐漸提升學生解決問題的能力.

（2）在問題解決的同時關注思想方法的滲透，讓學生體會數學思想方法在解題中的運用.教學中要不斷滲透建構知識體系的思想，學生只有從數學思想角度去理解數學，才能把握數學知識的本質，也就能做到會一題通一類.因此在教學過程中，要讓學生體會到題目中蘊含的數學思想，才能加深學生對知識的鞏固和理解，促進學生數學學習的有效性.

（3）史寧中教授指出：一個好的數學教學，需要教師理解數學的本質，創設出合適的教學情境，讓學生在情境中理解數學概念和運算法則，感悟數學命題的構建過程，感悟問題的本源和數學表達的意義［2］.高考題靈活多變，不僅考查知識，更考查學生的能力，這就要求學生既要掌握基礎知識，還要提高數學能力.因此，教師在教學中要注重知識產生與發展的過程，重視過程的教學，讓學生知道其所以然，把握知識的本質，在此過程中不斷培養學生的數學思維能力，提高學生的數學核心素養.

3 結束語

數學是一個體系，它需要學生能把各種知識點、解題方法和經驗有機地聯系起來，構建自己的知識體系，從而才能應對高考題目的各種兇險.

參考文獻：

［1］ 龔浩生.讓學生積極主動有序有效地探究：“拋物線焦點弦的性質的探究”課實錄及評注［J］.中學數學研究，2008（11）：7-11.

［2］ 史寧中.數學基本思想18講［M］.北京：北京師范大學出版社， 2016.

［責任編輯：李慧嬌］