函數分析法在追及與相遇問題中的運用

摘 要：追及與相遇問題是高中物理動力學常見的經典問題，文章對不同類型的追及與相遇問題進行分析，詳細闡述如何運用函數分析法建立模型、分析運動過程、尋找關鍵時刻以及解決優化問題.通過具體的例題分析，展示函數分析法在解決追及與相遇問題中的優勢和實用性，并對其教學意義進行總結.

關鍵詞：函數分析法;追及問題;相遇問題

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）01-0099-03

收稿日期：2024-10-05

作者簡介：李湖進，碩士研究生，從事物理教學研究；肖劍，本科，副教授，從事物理教學研究.

函數分析法是一種數學分析的方法，在追及與相遇問題的解題過程中，主要運用數學上的函數知識來解決問題.例如，可以利用二次函數關于對稱軸取得最大值來求解最值距離，利用判別式來求解相遇次數等.追及與相遇問題的實質是研究兩物體能否在相同的時刻到達相同的空間位置的問題［1］.以下從不同類型的追及與相遇問題，闡述函數分析法在具體實際問題中的運用.

1 不同類型中的追及與相遇問題

1.1 含有最值距離的追及與相遇問題

在含有最值距離的問題中，當速度小但加速度大的物體從后追前方速度大但加速度小的物體時，二者速度相等的時刻，之間的距離最遠.當速度大但加速度小的物體從后追前方速度小但加速度大的物體時，當二者速度相等的時刻，之間距離最近.

例1 一輛小汽車以3 m/s2的加速度從靜止出發追趕一輛從旁邊通過的自行車，而自行車以6" m/s的速度勻速行駛.求解兩車在追及過程中的最大距離［2］.

解析 在速度相等之前，小汽車的速度小于自行車的速度，導致兩者之間的距離逐漸增大.當小汽車的速度超過自行車時，距離開始減小.因此，兩車在速度相等時相距最遠.根據運動學公式，我們可以計算出兩車的位移，進而得出兩車之間的距離.用函數分析法與一般解法對比如表1所示.

解決追及與相遇問題的關鍵是抓住“一個條件，兩個關系”，即兩者速度相等時，出現恰好追上、恰好追不上、距離最大、距離最小的臨界狀態，明確兩者的時間關系和位移關系，列出時間和位移的運動學方程后分析求解.

1.2 含有避免相碰的追及與相遇問題

例2 在水平道路上有兩輛汽車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0，加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度大小為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同，要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件

［3］.

解析 設兩車在速度相等時恰好不相撞，根據勻變速直線運動公式求出v0應滿足的條件.A、B兩車運動過程如圖1所示.

設A經過時間t追上B，兩車的位移關系為x=xA-xB，即v0t-12·2at2=x+12at2，整理得3at2-2v0t+2x=0.這是一個關于時間t的一元二次方程，當判別式Δ=（2v0）2-4·3a·2xlt;0時，t無實數解，即兩車不相撞［4］.所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0≤6ax.

1.3 含有相遇次數的追及與相遇問題

例3 同一直線上的A、B兩質點，相距x，它們向同一方向沿直線運動（相遇時互不影響各自的運動），A做速度為v的勻速直線運動，B從此時刻起做加速度為a、初速度為0的勻加速直線運動.若A在B前，兩者可相遇幾次？若B在A前，兩者最多可相遇幾次？

解析 A質點做勻速直線運動，B質點做勻加速直線運動，運用運動學公式表示出位移差后再進行討論.

若A在前，A做勻速直線運動，B做勻加速直線運動，B的速度總有大于A的時候，所以B一定能追上A，而且追上A時B的速度大.此后B一直在前，A不能追上B，則A、B之間有一次相遇.

若B在前，A做勻速直線運動，位移x1=v1t；B車做勻加速直線運動，位移x2=12at2.兩車的間距為Δx=x+x2-x1，整理得Δx=x+12at2-v1t.相遇即Δx=0，根據數學知識得：

①當Δ=v21-2axgt;0時有兩解，即相遇兩次；

②當Δ=v21-2ax=0時有一解，即相遇一次；

③當Δ=v21-2axlt;0時無解，即追不上；

所以當B在前時最多有兩次相遇.

在用函數法分析追及與相遇的問題時，通過化簡得出關于時間t的一元二次函數，用數學知識關于一元二次方程函數的判別式來分析能否相遇及相遇次數.但用判別式判斷相遇次數時，當t的解為小于0的時候，只有一次相遇，t是大于0的實數.

1.4 圓周運動中的追及與相遇問題

圓周運動中的追及與相遇問題是一個涉及物體在圓周上運動，并考慮它們之間相對位置變化的問題，需要理解物體在圓周上的運動規律以及它們之間的相對速度關系.

例4 甲、乙兩運動員在同一圓形軌道上的同一地點同時出發，沿同一繞向進行比賽，可認為甲、乙二人做的都是勻速圓周運動，若甲的周期為T1，乙的周期為T2，并且T1gt;T2.試求：經過多長時間甲、乙兩運動員相距最近？經過多長時間甲、乙兩運動員相距最遠？

解析 當兩名運動員相遇時，相距最近；當兩運動員之間的距離為直徑時，相距最遠.

設經過t1時間兩名運動員相距最近，甲、乙的運動示意圖如圖2所示，有2πT2t1-2πT1t1=2nπ，（n=1，2，3…），解得t1=nT1T2T1-T2（n=1，2，3…）.

當兩名運動員分別在直徑的兩端時相距最遠，設經過t2時間兩名運動員相距最遠，運動示意圖如圖3所示，有2πT2t2-2πT1t2=（2n-1）π，（n=1，2，3…），解得t2=（2n-1）T1T22（T1-T2）（n=1，2，3…）.

本題考查了圓周運動規律的基本運用，當兩者的路程相差為周長的整數倍時，相距最近，當兩者的路程差是半個周長的奇數倍時相距最遠.需要注意的是，圓周運動的追及與相遇問題可能涉及多種復雜情況，如不同速度、不同半徑、不同運動方向等.因此，在解決問題時，需要仔細分析具體情況，并選擇合適的數學工具和方法進行求解.

1.5 自由落體運動中的相遇問題

例5 如圖4所示，在地面上B球的正上方有A球，且A、B間距離為H，某時刻A球自由下落，同時B球以初速度v0豎直向上拋出（已知重力加速度為g，不計空氣阻力）.問：

（1）欲使二者在B球上升過程中相遇，v0應多大？

（2）欲使二者在B球下降過程中相遇，v0應多大？

解析 解題時需要先找到兩個相遇的臨界點，即B在上升到最高點相遇和B下降到地面時相遇.

臨界點一：B上升到最高點時相遇.設B在t1時間上升到最高點時恰好與A相遇，則由自由落體運動公式有H=v0t1-12gt21+12gt21，v0=gt1，聯立以上三式解得v0=gH.

臨界點二：B下落到地面時相遇.設B恰好經過t2到達地面時與A相遇，則由自由落體運動公式有v0=g·t22，H=12gt22.由以上兩式聯立解得v0=gH2.

綜上所述，當v0gt;gH時，兩球在B上升的過程中相遇；當gH2lt;v0lt;gH時，兩球在B下降的過程中相遇；當v0lt;gH2時，兩球不相遇.

2 結束語

通過研究和分析，可以看到物理追及與相遇問題的解題過程與數學緊密相連，數學提供了描述和分析物理現象的語言和工具.在解答物理題目時，嫻熟運用數學知識是解題的基礎.通過物理知識結合數學函數，我們可以更直觀地看出物體運動特征及其規律，這不僅簡化了解題步驟，而且提升了解題的效率.此外，函數與物理知識結合的方法還有助于鍛煉學生的數學思維技巧和物理模型構建能力，對高中生物理解題具有很大的影響.

參考文獻：［1］ 韓立峰.運動學中的追及問題探討［J］.中學物理教學參考，2022，51（24）：56-59.

［2］ 汪志杰.追及和相遇問題求解策略［J］.高中數理化（高一版），2008（09）：20-21.

［3］ 孫景川，寧鵬程.圖象法在勻變速直線運動中的運用［J］.試題與研究，2014（22）：9-13.

［4］ 張花麗.追及問題之解題研究［J］.考試周刊，2012（77）：146-148.

［責任編輯：李 璟］