探究一道圓錐曲線中線段恒等式的證明題

摘 要：文章以2024年3月湖北七市州調(diào)考圓錐曲線題為例，闡述對它的拓展推廣及高考溯源，引導(dǎo)學(xué)生對問題進行深層次的探究及引申，充分挖掘題目的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生能夠用更高的觀點去看待問題.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；線段恒等式；拓展推廣；追本溯源

中圖分類號：G632"" 文獻標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）01-0082-04

收稿日期：2024-10-05

作者簡介：王東海，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：安徽合肥市教育信息技術(shù)2023年度課題“智慧課堂下利用GGB培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)探究能力的實踐研究”（項目編號：HDJ23017）.

圓錐曲線的證明問題是高考中的熱點，常見的有點線位置關(guān)系的證明和數(shù)量關(guān)系相等、不相等證明兩類，其處理手段主要是利用圖形的幾何性質(zhì)、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算進行證明，但此類問題思維量及運算量較大，往往費時費力難以攻破，困擾著一部分學(xué)生.本文以一道調(diào)考題為例，談?wù)勂湟话阈酝茝V及高考溯源，以期對圓錐曲線備考有所啟發(fā).

1 考題呈現(xiàn)

題目 如圖1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，直線AO交拋物線的準(zhǔn)線于點D，設(shè)拋物線在點B處的切線為l.

（1）若直線l與y軸的交點為E，求證：|DE|=|EF|;

（2）過點B作l的垂線與直線AO交于點G，求證：|AD|2=|AO|·|AG|.

分析 利用點參法易證得第（1）問|DE|=

|EF|；第（2）問既可以利用點參法結(jié)合比例性質(zhì)，也可借助幾何法等手段證得|AD|2=|AO|·|AG|.試題內(nèi)涵豐富，具有很好的探究價值.

2 一般性探究

波利亞曾說：“在你找到第一個蘑菇時，繼續(xù)觀察，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇.”細(xì)品兩個小題的結(jié)論，筆者思考該題的結(jié)論是偶然還是必然呢？嘗試將第（1）（2）問推廣至一般的情形.

結(jié)論1 已知F為拋物線y2=2px（pgt;0）的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，直線AO交拋物線的準(zhǔn)線于點D，則直線BD平行于拋物線的對稱軸［1］.

證明 如圖1所示，設(shè)點A（y202p，y0）（y0≠0），則直線OA：y=2py0x，聯(lián)立拋物線的準(zhǔn)線方程x=-p2，可解得點D縱坐標(biāo)yD=-p2y0.

當(dāng)直線AB斜率存在時，即y20≠p2時，直線AB的方程為y=2py0y20-p2（x-p2）.

再與拋物線方程聯(lián)立并消去x，得

y0y-（y20-p2）y-y0p2=0.

故由韋達定理知yAyB=-p2.

所以yB=-p2y0.

所以yB=yD.

于是BD∥x軸.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，即y20=p2時，易知BD∥x軸，所以BD平行于對稱軸.

考慮拋物線的焦點和準(zhǔn)線是一對特殊極點極線，能否將其推廣到一般的極點和極線呢？

結(jié)論2 已知拋物線y2=2px（pgt;0），點T（t，0）（tgt;0），過點T的直線交拋物線于A，B兩點，直線AO交點T的極線x=-t于點D，則直線BD平行于拋物線的對稱軸.

證明類似結(jié)論1.

6 結(jié)束語

通過對這道線段恒等式證明題的探究，啟發(fā)考生在平時的高考備考中，要嘗試學(xué)會研題，嘗試對經(jīng)典高考真題進行解法探究、變式探究及推廣探究.通過多解探究，可以開闊自己的解題視野，打破思維定式，提升自己的推理論證能力及數(shù)學(xué)運算能力；通過推廣探究可以探究出問題的本質(zhì)，從而達到“解一題通一類會一片”的效果.

參考文獻：

［1］ 王東海.一道解析幾何分點弦問題的深入探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（15）：29-31.

［2］ 王東海.一道聯(lián)考試題的解法探究、背景分析及拓展推廣［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（08）：41-43，61.

［3］ 王東海.對一道解析幾何最值問題的深入探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（21）：19-21.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］