一道多元三角最值題的解法探究

摘 要：多元最值問(wèn)題是高考或各地模擬考試的熱點(diǎn)題型，而以三角函數(shù)為背景的多元最值問(wèn)題，則無(wú)疑增加了試題的難度.求解這類問(wèn)題的基本思路是：首先通過(guò)

三角恒等變換進(jìn)行減元，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、均值不等式等工具求最值.

關(guān)鍵詞：多元；三角函數(shù)；最值；解法

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）01-0086-03

收稿日期：2024-10-05

作者簡(jiǎn)介：張則惶，本科，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

湖北省武漢市2024屆高三畢業(yè)生四月調(diào)研考試第14題是一道以三角函數(shù)為背景，考查三角函數(shù)、簡(jiǎn)單的三角恒等變換等知識(shí)的三元最值試題，該題以素養(yǎng)立意命題，綜合性強(qiáng)，求解難度較大.下面對(duì)該試題的解法從不同視角進(jìn)行探析.

1 試題再現(xiàn)

題目 已知A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則cosA（3sinB+4sinC）的最小值為_(kāi)_____.

2 試題簡(jiǎn)析

試題設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)明，短小精悍，思路明確.解答該題按兩步走的策略：一是減元，利用三角函數(shù)知識(shí)和三角恒等變換等將三元化為二元，二元化為一元；二是化為一元函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)工具或三元均值不等式等手段求得最值.試題作為三角函數(shù)板塊的難題，涉及主次元變換消元、換元、求導(dǎo)等方法

，很好地考查了化歸轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用及分析、解決問(wèn)題的能力，是一道落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)試題.

3 解法探析

解法1 （輔助角公式+配湊+均值不等式）

4 結(jié)束語(yǔ)

上述試題是以三角為背景的多元條件最值問(wèn)題，情形冗繁、復(fù)雜，而對(duì)于一般的多元條件最值問(wèn)題，無(wú)論是何種情形，在多個(gè)變?cè)嗷ヂ?lián)系、制約的條件式中，應(yīng)用減元、配湊及換元等技巧，化歸為均值不等式或運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等工具求最值，則是解答問(wèn)題的常規(guī)思路和方法.許多時(shí)候，也可以轉(zhuǎn)換角度，進(jìn)行聯(lián)想和類比，挖掘出設(shè)問(wèn)中式子或圖形的特征，則可尋到“非同尋常”解題途徑.許多典型的數(shù)學(xué)試題，其中蘊(yùn)含的思想方法或規(guī)律需要進(jìn)行挖掘、延伸，因而在我們平時(shí)的解題過(guò)程中，要適時(shí)地將問(wèn)題推廣延伸為一般性的結(jié)論用于解決相關(guān)問(wèn)題［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 朱彬，胡曉靜.對(duì)一道橢圓聯(lián)考題的解法與延伸探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（07）：56-58.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］