圖信號處理綜述

摘 要：在面對海量、高維且不規則的數據時，傳統的信號處理方法已無法滿足此類數據的處理需求。而圖信號處理技術作為一種新興的信號處理技術，在處理復雜數據方面有著巨大的潛力。以交通網絡為例，其可以將交通樞紐視為圖的頂點，而交通樞紐間的連接可視為圖的邊。相較于傳統的信號處理方法，經過優化后的圖信號處理技術具備更高的計算效率。基于此，對圖信號處理所面臨的挑戰進行了介紹，并對圖信號處理的理論基礎，如圖上傅里葉變換、圖卷積等理論進行了概述。在此基礎上，介紹了圖信號處理在各方面的應用，并總結了其相較于一般信號處理方法的獨特優勢，進一步凸顯其在處理復雜數據上的不可替代性。

關鍵詞：圖信號處理；圖卷積神經網絡；拉普拉斯矩陣；圖傅里葉變換；生物網絡分析；三維點云處理

中圖分類號：TP39；TN911.7 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2025）05-0-03

0 引 言

圖作為一種通用數據表示形式，在眾多應用領域中扮演著重要角色，用以描繪數據域的幾何結構[1]。這些領域包括但不限于社會網絡、能源系統、交通網絡、傳感器陣列以及神經元網絡。在圖中，兩個頂點之間的相似程度可以用其邊的權值表示，這種相似程度有時根據所研究問題的物理特性來決定，有時則需要依賴于數據進行判斷。例如，邊的權重值可以與其兩端頂點的距離成反比，因此可以將其形象化為一個有限的樣本集合，其中每個頂點都對應一個樣本點。這樣的圖形化表示有助于人們更直觀地理解和分析數據之間的關聯和模式。

圖數據作為非歐空間數據，不滿足平移不變性，即每個節點具有各異的局部結構[2]。當需要處理的數據是高維度的網狀結構時，其與傳統的時域或空域信號相比具有不規則的拓撲結構[3]，如圖1所示。

與傳統信號處理方法不同，圖信號處理可以應對不規則、復雜且高維的信號[4]，因此擁有極為廣泛的應用前景。在這些應用場景中，數據域由圖定義。圖由頂點組成，其中的數據值能夠被定義/感知，并且由邊連接這些頂點，圖可以根據數據的相關屬性來利用數據之間的基本關系。

本文以圖信號處理為核心，系統地介紹圖信號處理的理論基礎，以及其在一些領域的應用，最后總結其相較于傳統信號處理方法所具有的優勢。

1 圖信號處理理論基礎

1.1 圖的介紹

圖論（Graph Theory， GT）作為數學的一個分支已經存在了近3個世紀。它在化學、運籌學、工程、社會網絡和計算機科學領域被廣泛使用。具有N個頂點的圖上信號和具有N個樣本的經典離散時間信號都可以看作是RN中的向量。然而在圖信號領域中應用經典信號處理技術的一個主要障礙是：若按照處理離散時間信號的方式處理圖信號，則忽略了由不規則數據域產生的關鍵依賴性。此外還有許多經典信號處理技術中非常基本的操作，在圖信號處理中卻變得更具挑戰性。除此之外，經典信號處理中可以通過信號乘以復指數來對應于傅里葉域中的平移，然而由于在圖領域中的相似譜是離散的和不規則間隔的，因此在圖譜域中定義一個對應的平移算子同樣面臨著挑戰。圖被定義為由頂點（Vertex）和連接頂點的邊（Edge）構成[5]，通常用G（V， E， A， X， D）表示。對于給定的頂點和邊集，圖可以用鄰接矩陣A表示，這個矩陣描述了頂點的連通性。如果有N個頂點，那么A就是一個N×N的矩陣。如果鄰接矩陣A中的元素Amn∈{0，1}，頂點m和n有一條邊相連接，則賦值Amn=1；反之，則賦值Amn=0。對于無向圖，鄰接矩陣是對稱的，故有：

1.2 圖拉普拉斯矩陣

1.3 圖上的傅里葉變換

經典的傅里葉變換表達式為[10]：

2 圖信號處理的應用

圖作為一種強大的工具，能夠通用地表示眾多領域中的復雜網絡結構。本章將深入探討圖信號處理框架在多個領域的應用。為了展示其多樣性，選取了三個不同類型的場景進行詳細討論。這些場景不僅凸顯了圖信號處理框架的靈活性和實用性，也進一步驗證了其在處理不規則數據結構時的強大能力。其中，這些場景所涉及的網絡在規模和所屬領域方面均呈現出顯著的多樣性。

2.1 傳感器上的應用

在多種應用場景中，傳感器網絡無疑是圖信號處理最直接的應用領域之一。通過構建圖模型，能夠有效表示傳感器在環境中的相對位置關系[12]。為了定義與傳感器網絡相關聯的圖，通常選擇將邊的權值作為節點（傳感器）之間距離的遞減函數。當頂點間的數據觀測呈現相似性時，自然會促使圖信號展現出低通的特性，從而提升數據處理的準確性和效率[13]。此外，還可以借助圖信號來分析應用給出的數據。以社交網絡為例，在該網絡中，頂點代表網絡成員，而邊則定義了它們在網絡中的關系。如果與兩個成員相關，則對應的邊權值為1，此時權值矩陣等于鄰接矩陣。在一些應用中，圖信號處理技術已被用于監測城市空氣污染[14]，并且還能通過分析圖上的信息來評估交通情況[15]，例如判斷道路是否擁堵等。

2.2 生物網絡上的應用

圖信號處理在生物網絡領域同樣展現出了活躍的應用態勢，其研究重心主要聚焦于對有網絡結構系統的數據分析，如人類大腦，以及關于先驗未知生物網絡的推測。已有研究利用圖信號處理技術來探索人腦網絡，發現人腦上的電信號可以表示到圖上，其中圖上的頂點代表大腦上的某個區域，而邊之間的權重則表示區域之間的連接程度或其功能之間的相似性[16]。通過深入分析這些圖信號特性，有望更深入地理解人腦的工作機制。

圖信號處理框架也被提出用于腦部圖信號的分類以及異常或疾病的分析。例如，基于稀疏正則化的源定位算法可以用于基于大量重復核磁共振成像掃描來定位阿爾茨海默病的可能起源[17]。這有助于理解阿爾茨海默病的動態和起源。越來越多的研究開始從圖信號處理的角度出發，解釋大腦活動或大腦網絡特征，這有助于更深入地了解人類大腦中重要的結構與功能之間的關系。

2.3 圖像和三維點云處理上的應用

圖信號處理不僅擅長處理不規則結構的數據集，也可應用于處理其他傳統信號的數據集，比如圖像和視頻序列。在處理圖像時，可以將需要處理的圖像視為一組像素，每個像素都與一個頂點相關聯，形成一個所有邊的權重都等于1的規則圖（線圖或網格圖）。圖信號處理還可以用于捕獲圖像中的幾何結構，如攜帶關鍵視覺信息的輪廓，以避免在濾波的過程中模糊它們。通過使用圖譜去噪的方法，可以有效提高圖像的質量[18]。

圖信號處理還可應用于新興的視覺模式，如3D網格或3D點云，其中數據在3D空間的不規則位置采樣很適合用圖表示。在這種表示中，將節點表示為顏色或三維信息，并將它們與最近的鄰居相連，形成一個圖，然后基于圖的變換便可以壓縮靜態或動態點云中的結果圖信號。此外，圖譜特征還可以用于有效估計三維點云幀之間的時間冗余[19]。這種基于圖的轉換可以充分利用每一幀內的空間相關性和幀之間的時間相關性，從而實現高效的壓縮。

3 結 語

在實際情況中，信號通常在時間與空間上是不規則的，且數據傳感域與所考慮的系統/網絡的其他屬性相關聯。面對這類非歐幾里得空間數據的處理挑戰，傳統的信號處理方法顯得力不從心。鑒于此，本文提出了一種圖信號處理的方法，即將傳統卷積神經網絡（CNN）推廣到圖信號領域。本文介紹了圖信號處理及圖結構的相關知識，詳細解釋了圖上傅里葉變換等相關公式。研究表明，圖信號模型不僅能有效降低處理復雜度，還能顯著提升準確率，為后續處理非歐幾里得空間數據提供了新的視角與思路。在此基礎上，介紹了圖信號處理在各領域的應用，最后總結了其與一般信號處理相比所具有的優勢，表明了其在處理復雜數據上的不可替代性。

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