復雜多變的圓

【摘要】圓形相關知識作為初中階段學生主要學習的數學知識之一，其在中考數學中的地位不可撼動，這不僅在于圓形自身的靈活性，還在于它的考查方式多樣，題目綜合性強，多出現在壓軸題的位置.本文以一道中考數學圓形壓軸題的解題過程進行綜合分析，體會與圓相關問題的解題思路以及其中蘊含的數學思想.

【關鍵詞】圓；初中數學；動點分析

1引言

圓形的相關性質是中考數學常常考查的知識，以此為基礎的問題也屢見不鮮.面對復雜多變的圓形相關問題，如何將性質應用在解題過程中，尋求解題思路的最優(yōu)解呢？在圓的類型題中，解題時又需要注意哪些知識點，或者說有哪些思想可以讓學生在不同題目中進行遷移應用呢？下面以一道中考數學圓的相關問題為例進行探究.

2中考數學圓形綜合題解析

例題已知⊙O的半徑為3，弦MN=25.△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=32.在平面上，先將△ABC和⊙O按圖1位置擺放（點B與點N重合，點A在⊙O上，點C在⊙O內），隨后移動△ABC，使點B在弦MN上移動，點A始終在⊙O上隨之移動.設BN=x.

（1）當點B與點N重合時，求劣弧AN的長；

（2）設點O到BC的距離為d.

①當點A在劣弧MN上，且過點A的切線與AC垂直時，求d的值；

②直接寫出d的最小值.

解題指導

（1）求弧長，可以利用點在圓上，連接圓心到點的距離，觀察其圓心角，從而得到弧長占圓周的比例，進一步求出弧長.

連接OA，OB，如圖2，⊙O的半徑為3，AB=3，

所以△AOB為等邊三角形，

故∠AOB=60°，所以圓心角為60°，

劣弧AN的長為60360×2π×3=π.

分析本題求解較為簡單，使用圓的相關性質就可直接求出，同時在解題中輔助線要注意恰當使用，跳脫出圖象的固有模式，從問題出發(fā)思考解題方法.

（2）①過點A作圓O的切線l，由切線性質可知OA⊥l，

又因為AC⊥l，

所以點A，O，C三點共線，如圖3所示.

在△ABC中，由勾股定理可知，

AB2+BC2=AC2，

AB=3，BC=32，

所以AC=33.

由于OA為圓O的半徑，

所以OA=3，

故OC=AC－OA=33－3.

過點O作OF⊥BC于點F，即d的值就是OF的長度，

OF=OC·sinC=33－3×333=3－3，

所以d的值為3－3.

分析解題的關鍵就在于確定點的位置，同時勾股定理以及銳角三角函數是解題的突破點，其中也使用了圓的切線性質和垂線性質.

②過點O作OF⊥BC于點F，即d的值就是OF的長度，連接OA，OB，通過輔助線構造三角形，使得垂線與已知的固定長度間產生聯系，同時由于連接OA，使得OA=AB，出現等腰三角形，當作垂線后，即過點A作AG⊥OB于點G，由于∠ABC=90°，依據等腰三角形垂線性質，所以會出現∠GAB+∠ABG=90°，∠ABG+∠OBF=∠ABC=90°，故得到∠GAB=∠OBF，且兩個角所在的三角形為直角三角形，故△ABG∽△BOF，如圖4.

根據相似三角形性質，可知ABOB=BGOF，

即3OB=12OBOF，

可以得到OF=16OB2，此時得到一個有關OF的關系式，利用函數思想，將其看作一個二次函數，當OB取最小值時，OF就會最小.

由題可知，點B始終在弦MN上進行運動，點到直線的最短距離為過點作直線的垂線，垂線段最短，即當OB⊥MN時，OB取到最小值

在△BON中，由勾股定理可知，

OBmin2+BN2=ON2，

ON=3，BN=5，

所以OBmin=2，

OFmin=16OB2min=23.

分析解題的關鍵在于構造合適的三角形，利用三角形間的關系以及垂線的相關知識進行求解，同時由于整個幾何過程均在以圓形為基礎的圖形中，所以可以使用圓形性質得到數值.

3結語

圓形的相關問題在求解過程中，除了其自身性質特點，還可以在其中通過構建不同的圖形，利用圖形性質與圓形內部長度之間的聯系求解.在解決這類問題時，題目難度不定，但對于學生的思維靈活性以及知識的掌握程度有一定的要求.