數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用“化整為零”思想的策略及研究

【摘要】“化整為零”思想是數(shù)學(xué)中常用的解題思想，是指將復(fù)雜的綜合問題分解成多個(gè)簡單的小問題，再各個(gè)擊破，以此解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.這一解題思想的運(yùn)用能逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象領(lǐng)悟和思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

【關(guān)鍵詞】初學(xué)數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；化整為零

在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生解題時(shí)對(duì)已知條件應(yīng)用不充分，問題推理不夠全面，這是因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)未有效地運(yùn)用分類解題思想，需要教師提高學(xué)生對(duì)問題的拆解、分類能力. 運(yùn)用“化整為零”解題思想可將復(fù)雜問題從多個(gè)方面進(jìn)行分類、討論，從而有效降低解題難度，有助于學(xué)生 形成全面思考的解題思維.

1“化整為零”思想簡介

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯于1916年提出“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”.這說明要想高效、準(zhǔn)確解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，不僅需要掌握重要的數(shù)學(xué)基本知識(shí)理論和實(shí)踐技巧，還需要具備相應(yīng)的解題思路和解題方法.“化整為零”解題思想實(shí)質(zhì)上是一種分類討論思想，針對(duì)蘊(yùn)含多個(gè)解題方法和解題標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題，按照一定的方式將其進(jìn)行分解，再對(duì)其進(jìn)行逐一分析和解決，整合后得到最終結(jié)果.和小學(xué)階段相比，初中階段學(xué)生的思維能力得到明顯提升，更能領(lǐng)悟到“化整為零”的解題方式，通過教師的引導(dǎo)，能有效培養(yǎng)學(xué)生高效率、高準(zhǔn)確率的數(shù)學(xué)解題能力.為了保證“化整為零”的準(zhǔn)確應(yīng)用，充分發(fā)揮其解題價(jià)值，必須按照一定的原則進(jìn)行，如表1所示.

2“化整為零”思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2.1“化整為零”思想在幾何中的應(yīng)用

例1在一個(gè)半徑為5的⊙O中 ， 存在弦AB和弦CD ，長度分別為 6和8， 已知弦AB與弦CD互相平行 ， 求弦AB和弦CD之間的距離 .

分析（1）此題分兩種情況，第一種情況為兩條弦在圓心O的同側(cè)，第二種情況為兩條弦在圓心O的異側(cè). （2）過圓心O作垂直于弦AB的直線，交AB于M，交CD于N，連接OB和OD，得到Rt△ODN和Rt△OBM，根據(jù)勾股定理求得OM和ON，進(jìn)而得到答案.

解析過圓心O作垂直于弦AB的直線，交AB于M，交CD于N，連接OB和OD ，得到Rt△ODN和Rt△OBM.因?yàn)橄褹B與弦CD互相平行，所以O(shè)N⊥CD，并且BM和DN分別是弦AB和弦CD的一半.即BM和DN分別為3和4.在Rt△ODN和Rt△OBM中，根據(jù)勾股定理，得到，OM=4，ON=3.

按照“化整”原則分類，得到：

（1）弦在圓心O的同側(cè)，如圖1所示，

此時(shí)，弦AB和弦CD之間的距離 MN=OM－ON=1.

（2）弦在圓心O的異側(cè) ，如圖 2所示 .此時(shí)，弦AB和 弦CD之間的距離MN=OM+ON=7.

綜上 ， 弦在同側(cè)，弦AB和弦CD之間的距離為1；弦在異側(cè)，弦AB和弦CD之間的距離為7.

點(diǎn)評(píng)利用“化整為零”思想，兩弦之間的距離可以分解為過圓心并于兩弦垂直的線段長度問題，計(jì)算ON和OM；同時(shí)根據(jù)兩弦的位置將其分為弦在同側(cè)與弦在異側(cè)兩種類型，分別計(jì)算兩種條件下的結(jié)果，整合后得到最終答案.

2.2“化整為零”思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例2已知函數(shù)y=kx2－6x+1（k為常數(shù)）的圖象與橫軸僅有1個(gè)交點(diǎn) ，請(qǐng)求出常數(shù)k的值.

分析此題需要對(duì)k值進(jìn)行“化整”，可以按照k值所屬情況將其分為k=0和k≠0兩種情況，再逐一求解.

解析（1）當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=kx2－6x+1可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=－6x+1，此時(shí)函數(shù)為與橫軸相交于一點(diǎn)的直線.

（2）當(dāng)k≠0時(shí)，根據(jù)函數(shù)y=kx2－6x+1的圖象與橫軸僅有 1個(gè)交點(diǎn)，可以得到一元二次方程kx2－6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而得到△=0，計(jì)算得出k=9.

綜上所述，k=0或k=9.

點(diǎn)評(píng)此題涉及的概念包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、函數(shù)和橫軸相交的特征等.“化整”時(shí)，可以根據(jù)函數(shù)的概念進(jìn)行分解，即k=0和k≠0.當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)；當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，需要利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系來求解 .

3結(jié)語

“化整為零”解題思想在一方面為解決綜合類數(shù)學(xué)問題提供思路，另一方面也有效提高學(xué)生的邏輯思維能力以及解題推理能力.新教材更加注重學(xué)生的綜合分析以及實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)，且基于“化整為零”思想，學(xué)生可以將復(fù)雜的問題一一提取出來，并進(jìn)行逐一擊破，增強(qiáng)解題條理性.

參考文獻(xiàn)：

[1]杜云亮.初中數(shù)學(xué)解題中的“化整為零”思想方法探析[J].生活教育，2023（17）：98-100.

[2]羅霞飛.分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（18）：63-64.